1、如何学习二次根式的两个重要性质（如何学习 2a与 ）2a a 与 2 是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据，那么怎样才能深刻领会、正确运用这两个性质呢？笔者认为应注意掌握以下几个要点：一、正确理解 2a与 的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道 a（ a0），即 是一个非负数， a是非负数 a 的算术平方根，那么2就是负数 a 的算术平方根的平方，但只有当 a0 时才能有意义.如 2、 5等等才能有意义；而 3等等就没有意义.对于 2，则表示 a2的算术平方根，由于 2a中的被开方数是一个完全平方式，所以 a 无论取什么值， a2总是非负数，即 2总是有意
2、义的.如 2、 25等等都是有意义的.二、能熟练掌握 与 2的区别和联系由于2a（ a0）与 这两个表达式的结构相似，极易被混淆，因此必须弄清楚它们之间的区别与联系. 2与 区别：（1）表示的意义不同. 2a表示非负实数 a 的算术平方根的平方； 2a表示实数a 的平方的算术平方根.（2）运算的顺序不同. 2是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而 则是先求实数 a 的平方，再求 a2的算术平方根.（3）取值范围不同. 在 2中， a 只能取非负实数，即 a0；而在 2中， a 可以取一切实数.（4）写法不同.在2a中，幂指数 2 在根号的外面；而在 2中，幂指数 2 在根号的
3、内面.（5）结果不同. 2a a（ a0），而 2 a0,. 2a与 联系：（1）在运算时，都有平方和开平方的运算.（2）两式运算的结果都是非负数，即 2a0， 20.（3）仅当 a0 时，对有2 .三、能灵活运用二次根式的这两个性质解题二次根式的这两个重要性质是进行有关二次根式的化简、运算、求值的基础.许多题目若能灵活运用这两个性质，往往会能避繁就简，容易找到求解的途径.下面举例说明.例 1 实数 a、 b 在数轴上的位置如图 1 所示，那么化简| a b| 2的结果是（ ）A.2a b B.b C. b D.2 a+b简析 因为实数 a、 b 在数轴上的位置如图，由此可知： a0， b0，
4、所以，a b0， 即| a b| 2 b a( a) b.故应选 B. 说明 这里化简 时，正用了公式 2 .例 2 计算：（1）234；（2） ；（3）213；（4） 257.简析 利用二次根式的性质求解，其中(2)、(3)、(4)题还必须运用整式乘除中学习的幂的运算性质.即（1）234 ；（2）233 2 218；（3）23(2) 2 1 ；（4） 257(1) 225735.说明 本题正向运用了公式 2a a（ a0）.a 0 b图 1例 3 把多项式 n56 n3+9n 在实数范围内分解因式.简析 按照因式分解的一般步骤先对多项式 n56 n3+9n 提取公因式得 n (n46 n2+
5、9)，再利用完全平方公式分解得 n (n23) 2，要求在实数范围内分解，所以可以将 3 写成23即 n56 n3+9n n(n+ )2(n 3)2.说明 本题逆向运用了公式 a a（ a0）.例 4 把( a b) 1的根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是（ ）A. B. C. ba D. b简析 要使 1ab有意义，必须满足 10，即 a b0，所以要将根号外面的因式移到根号里面化简，就必须将 a b 变形为( a b)，所以( a b)1ab 21 .故应选 C.说明 处理本题要从条件出发，判断根号里面式的数是非负数还是负数，然后再逆用公式 2 .例 5 对于题目“化简并求值： 212a，其中 a 51”，甲、乙两人的解答不同.甲的解答是： 212a21a 1 a 2 a 549；乙的解答是： 22 a a .谁的解答是错误的？为什么？简析 乙的解答是错误的因为当 a 51时， 5， a 10，所以21a a ，而应是 aa12.说明 在利用公式 2 0,a 化简二次根式时，当根号内的因式移到根号外面时，一定要注意原来根号里面的符号，这也是化简时最容易出错的地方.
