1、正方形菱形创新题例析一、操作题例 1在数学活动中，小明为了求 234112n的值（结果用 n 表示），设计如图 11 所示的几何图形12234图 1-1 图 1-2（1）请你利用这个几何图形求 23412n的值为_（2）请你利用图 22，再设计一个能求341n的值的几何图形解：由图形知利用的是面积法：第一次把面积为 1 的正方形等分，得到 12，第二次把面积为 2的一个矩形等分得到 21，第三次把面积为 2的一个正方形等分得到 3，第四次把面积为 31的一个等腰直角三角形等分得到 4，最后把面积为 1n的一个等腰直角三角形的面积等分得到两个 2n，从而易知 234112= ，由以上过程知：首次
2、把正方形的面积等份，以后每次均为等分上次所得的两个图形中的一个，n-1次即达到目的，如图 2 给出供参考，事实上，方法还有很多，不再列举，答案如下：（1） n（2）如图 21 或如图 22 或如图 23 或如图 24 等，图形正确二、拼图题1212123233344 图 21 图 22 图 23 图 24例 2如图 3，是由四个形状大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式： 分析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，成为近年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，可列出 22()()4abab，或 22()4
3、()ab，或 三、探究题例 3如图 4 甲，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABDC由 4 个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形（1）求四边形 ABCD 四个内角的度数；（2）试探究四边形 ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图解：（1）如图，1=2=3，1+2+3=360，所以 31=360，即1=120所以梯形的上底角均为 120，下底角均为 60 （2）由于 EF 既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰等于上底 连接 MN，则FMN=FNM=30从而HMN=30，HNM=90所以
4、NH= AH21因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长 （3）能拼出菱形 如图 5：(拼法不唯一) 评析：本题是考察学生观察能力和综合分析能力的好素材，由图甲（等腰梯形）到图乙（平行四边形）的拼合中隐含了等腰梯形内角之间的内在的关系只要认真观察，就不难发现角的关系：即下底角的 3 倍等于 180或三个上底角拼成了一个周角，同时由乙图中隐含的信息很容易看出等腰梯形上底等于其腰长，这样问题便很容易得到解决了四、猜想题ba图 3图 4图 5例 4如图 61，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF
5、 的中点 O（点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转（1）如图 62，当 EF 与 AB 相交于点 M， GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM， FN的长度，猜想 BM， FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺 GEF 旋转到如图 63 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由分析：本题是以正方形为背景的操作探究题，以学生非常熟悉的学具-等腰直角三角尺进行操作，只要动手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制
6、动”，借助正方形和全等知识就可以解决了解：（1） BM=FN 证明： GEF 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是正方形， ABD = F =45，OB = OF又 BOM= FON， OBM OFN ， BM=FN （2） BM=FN 仍然成立证明： GEF 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是正方形， DBA= GFE=45，OB=OF MBO= NFO=135点评：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它推广旋转角度的变化，来探究图形的规律，寻找出不变量，并证明猜想的开放题五、方案设计题例 5正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：仿上用图 7（1）示的方法，解答下列问题：操作设计：（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形图 62EA BDGFOMNC图 63A BDGEFOMNC图 61A( G ) B( E )COD( F )（2）如图 7（2），对任意三角形设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索，发散思维，优化解题方案和过程的策略本题的方案很多，略举几例：（1）方案 1 方案 2（2）方案 1 方案 2 图7（1）图7（2）中点中点 中点中点中点 中点 中点 中点
