1、第 1 页 共 21 页第 4 课时 万有引力与航天考纲解读 1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度1对开普勒三定律的理解火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案 C解析 火星和木星在各自的椭圆轨 道上绕太阳运动，速度的大小不可能始终相等，因此B 错；太阳在这些椭圆的一个焦点上，因此 A 错； 在相同时间内，某个
2、确定的行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，因此 D 错，本 题答案为 C.2对万有引力定律的理解关于万有引力公式 FG ，以下说法中正确的是( )m1m2r2A公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B当两物体间的距离趋近于 0 时，万有引力趋近于无穷大C两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D公式中引力常量 G 的值是牛顿规定的答案 C解析 万有引力公式 FG ，虽然是牛顿由天体的运 动规律得出的，但牛顿又将它m1m2r推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间 的引力当两个物体 间的距离趋近于 0 时，两个物体就不能 视为质点了，万有引力公式不再适用两物体 间的万
3、有引力也符合牛顿第三定律公式中引力常量 G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的故正确答案 为 C.3第一宇宙速度的计算美国宇航局 2011 年 12 月 5 日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星“开普勒22b” ，其直径约为地球的 2.4 倍至第 2 页 共 21 页今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于( )A3.310 3 m/s B7.9 103 m/sC1.210 4 m/s D1.9 104 m/s答案 D解析 由该行星的密度和地球相当可得 ，地球第一宇宙速度 v1 ，该行M1
4、R31 M2R32 GM1R1星的第一宇宙速度 v2 ，联立解得 v22.4v 11.9 104 m/s，选项 D 正确GM2R24对人造卫星及卫星轨道的考查 a、b、c、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星其中 a、c 的轨道相交于 P，b、d 在同一个圆轨道上，b、c 轨道在同一平面上某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图 1 所示下列说法中正确的是( )图 1Aa、c 的加速度大小相等，且大于 b 的加速度Bb、c 的角速度大小相等，且小于 a 的角速度Ca、c 的线速度大小相等，且小于 d 的线速度Da、c 存在在 P 点相撞的危险答案 A解析 由 G m mr 2mr ma
5、 ，可知 B、C、D 错误，A 正确Mmr2 v2r 42T2一、万有引力定律及其应用1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比2表达式：F ，G 为引力常量：G6.6710 11 Nm2/kg2.Gm1m2r23适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点第 3 页 共 21 页(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离二、环绕速度1第一宇宙速度又叫环绕速度推导过程为：由 mg 得：mv21R GMmR2v1 7.9
6、 km/s.GMR gR2第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度3第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度特别提醒 1.两种周期自 转周期和公转周期的不同2两种速度环绕速度与发 射速度的不同，最大 环绕速度等于最小 发射速度3两个半径天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的不同三、第二宇宙速度和第三宇宙速度1第二宇宙速度(脱离速度)：v 211.2 km/s ，使物体挣脱 地球引力束缚的最小发射速度2第三宇宙速度(逃逸速度)：v 316.7 km/s ，使物体挣脱 太阳引力束缚的最小发射速度.考点一 天体质量和密度的计算1解决天体(卫星)
7、运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G manm m 2rmMmr2 v2r 42rT2(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 G mg( g 表示天体表MmR2面的重力加速度)2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R.由于 G mg ，故天体质量 M ，MmR2 gR2G天体密度 .MV M43R3 3g4GR(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r.由万有引力等于向心力，即 G m r，得出中心天体质量 M ；Mmr2 42T2 42r3GT2第 4 页 共 21 页若已知天体半径
8、R，则天体的平均密度 ；MV M43R3 3r3GT2R3若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可 认为其 轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 .可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心3GT2天体的密度例 1 1798 年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量 G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人若已知万有引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间 T1(地球自转周期)，一年的时间 T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2.你能计算出( )A地球的质量 m 地 gR2GB太阳的质
9、量 m 太 42L32GT2C月球的质量 m 月 42L31GT21D可求月球、地球及太阳的密度解析 对地球表面的一个物体 m0 来说，应有 m0g ，所以地球质量 m 地 ，Gm地 m0R2 gR2G选项 A 正确对地球绕太阳运动来说，有 m 地 L2，则 m 太 ，B 项Gm太 m地L2 42T2 42L32GT2正确对月球绕地球运动来说 ，能求地球 质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C、 D 项错误答案 AB突破训练 1 (2012福建16) 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为
10、m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N.已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为( )A. B. C. D.mv2GN mv4GN Nv2Gm Nv4Gm答案 B解析 设卫星的质量为 m由万有引力提供向心力，得 G m MmR2 v2R第 5 页 共 21 页m mgv2R由已知条件：m 的重力为 N 得 Nmg由得 g ，代入得：RNm mv2N代入得 M ，故 B 项正确mv4GN考点二 卫星运行参量的比较与运算1卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地
11、球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心深化拓展 (1)卫星的 a、v、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其他量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它 们由轨道半径和中心天体的 质量共同决定(2)卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大例 2 “嫦娥四号” ，专家称“四号星” ，计划在 2017 年发射升空，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料
12、已知月球的半径为 R，月球表面的重力加速度为 g，月球的平均密度为 ， “嫦娥四号”离月球中心的距离为 r，绕月周期为 T.根据以上信息下列说法正确的是( )A月球的第一宇宙速度为 grB “嫦娥四号”绕月运行的速度为 gr2R第 6 页 共 21 页C万有引力常量可表示为3r3T2R3D “嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球解析 根据第一宇宙速度的定 义有：mgm ，v ，A 错误；根据 G m 和 Gv2R gR Mmr2 v2rmg 可以得到“嫦娥四号”绕月运行的速度为 v ，B 错误；根据 G mMmR2 R2gr Mmr2r 和 M R3 可以知道万有引力常量可表示为 ，C 正确；“
13、嫦娥四号”必须先42T2 43 3r3T2R3加速离开月球，再减速运动才能返回地球，D 错误答案 C突破训练 2 2013 年 6 月 13 日，神州十号与天宫一号成功实现自动交会对接对接前神州十号与天宫一号都在各自的轨道上做匀速圆周运动已知引力常量为 G，下列说法正确的是( )A由神州十号运行的周期和轨道半径可以求出地球的质量B由神州十号运行的周期可以求出它离地面的高度C若神州十号的轨道半径比天宫一号大，则神州十号的周期比天宫一号小D漂浮在天宫一号内的宇航员处于平衡状态答案 A例 3 如图 2 所示，同步卫星与地心的距离为 r，运行速率为 v1，向心加速度为 a1；地球赤道上的物体随地球自转
14、的向心加速度为 a2，第一宇宙速度为 v2，地球半径为 R，则下列比值正确的是( )图 2A. B. ( )2C. D. a1a2 rR a1a2 Rr v1v2 rR v1v2 Rr解析 本题中涉及三个物体，其已知量排列如下：地球同步卫星：轨道半径 r，运行速率 v1，向心加速度 a1；地球赤道上的物体：轨道半径 R，随地球自转的向心加速度 a2；近地卫星：轨道半径 R，运行速率 v2.对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有 G m ，故 .Mmr2 v2r v1v2 Rr第 7 页 共 21 页对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有 a 2r，故 .a1a2 rR答
15、案 AD同步卫星的六个“一定”突破训练 3 已知地球质量为 M，半径为 R，自转周期为 T，地球同步卫星质量为 m，引力常量为 G.有关同步卫星，下列表述正确的是 ( )A卫星距地面的高度为 3GMT242B卫星的运行速度小于第一宇宙速度C卫星运行时受到的向心力大小为 GMmR2D卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度答案 BD解析 天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使 卫星绕地球做匀速圆周运动，即 F 万 F 向 m .当卫星在地表运行时，F 万 mg (R 为地球v2r 42mrT2 GMmR2半径)，设同步卫星离地面高度为 h，则 F 万 F 向 ma 向 m ，即
16、万有引力大于所需要的向心力，卫星将做Mmr2 v2r近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v 可知其运行速度比原轨道时增大GMr卫星的发射和回收就是利用这一原理例 4 “嫦娥一号”探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球如图 3 所示是绕地飞行的三条轨道，1 轨道是近地圆形轨道，2 和 3 是变轨后的椭圆轨道A 点是 2 轨道的近地点，B 点是 2 轨道的远地点，卫星在轨道 1 的运行速率为 7.7 km/s，则下列说法中正确的是( )图 3A卫星在 2 轨道经过 A 点时的速率一定大于 7.7 km/sB卫星在 2 轨道经过 B 点时的速率一定小于 7
17、.7 km/sC卫星在 3 轨道所具有的机械能小于在 2 轨道所具有的机械能D卫星在 3 轨道所具有的最大速率小于在 2 轨道所具有的最大速率解析 卫星在 1 轨道做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得 G m ，Mmr2 v21r卫星在 2 轨道 A 点做离心运动， 则有 G m ，若 卫星在经过 B 点的 圆轨道上运动，则Mmr2B v2BrBG m ，由于 rvB，故 v2Br r r 月 ，由万有引力定律、牛顿第二定律得，v ，T GMr，卫星在轨道上的运动速度比月球的第一宇宙速度小， 选项 A 正确；卫星在轨42r3GM第 20 页 共 21 页道上经过 P 点的速度比在轨道
18、上经过 P 点时小，选项 B 错误；卫星在轨道上运动周期比在轨道上短，选项 C 正确；卫星从轨道运动到轨道要靠人为控制减速实现，故卫星在轨道上的机械能比在轨道上大， 选项 D 正确102011 年 9 月 29 日，中国首个空间实验室“天宫一号”在酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近地点为 A、远地点为 B 的椭圆轨道上，B 点距离地面高度为 h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上 “天宫一号”飞行几周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图 5 所示已知“天宫一号”在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t，万有引力常量为 G，地球半径为 R.则下列说法正确的是( )图 5A “天宫一号”
19、在椭圆轨道的 B 点的向心加速度大于在预定圆轨道的 B 点的向心加速度B “天宫一号”从 A 点开始沿椭圆轨道向 B 点运行的过程中，机械能守恒C “天宫一号”从 A 点开始沿椭圆轨道向 B 点运行的过程中，动能先减小后增大D由题中给出的信息可以计算出地球的质量 M42n2R h3Gt2答案 BD解析 在 B 点，由 ma 知，无论在哪个轨道上的 B 点，其向心加速度相同，A 项错；GMmr2“天宫一号”在椭圆轨道上运行时，其机械能守恒，B 项对；“天宫一号”从 A 点开始沿椭圆轨道向 B 点运行的过程中，动能一直减小， C 项错；对“天宫一号”在预定圆轨道上运行，有 G m(Rh) ，而 T
20、 ，故 M ，D 项对MmR h2 42T2 tn 42n2R h3Gt2题组 5 双星问题11天文学家如果观察到一个星球独自做圆周运动，那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的星体黑洞星球与黑洞通过万有引力的作用组成双星，以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，那么( )A它们做圆周运动的角速度与其质量成反比B它们做圆周运动的周期与其质量成反比C它们做圆周运动的半径与其质量成反比D它们所受的向心力与其质量成反比第 21 页 共 21 页答案 C解析 星球与黑洞绕某点做匀速圆周运动，它 们之间的万有引力提供向心力，则星球与黑洞的向心力相等，选项 D 错误；星球与黑洞和某点始终共线，说明它们有相
21、同的角速度和周期，选项 A、B 错误；设星球与黑洞的质量、轨道半径分别为 m1、m2 和 r1、r2，角速度为 ，则有 m12r1m 22r2，解得 ，选项 C 正确r1r2 m2m1题组 6 万有引力与航天的综合计算题12有一探测卫星在地球赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为 M，地球半径为 R，万有引力常量为 G，探测卫星绕地球运动的周期为 T.求：(1)探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径；(2)探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小；(3)在距地球表面高度恰好等于地球半径时，探测卫星上的观测仪器某一时刻能观测到的地球表面赤道的最大弧长(此探测器观测不受日照影响，不考虑大气对光的折射)答案 (1) (2) (3)3GMT242 32GMT 2R3解析 (1)设卫星质量为 m，卫星绕地球运动的轨道半径为 r，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：G m ，解得 r Mmr2 42rT2 3GMT242(2)设探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小为 v，v 2rT 32GMT(3)设探测卫星在地球赤道上方 A 点处，距离地球中心为 2R，探测卫星上的观测仪器最远能观测到地球赤道上的 B 点和 C 点，能观测到赤道上的最大弧长是 lBC，如 图所示，cos ，R2R 12则：60观测到的地球表面赤道的最大弧长 lBC2R3
