1、i1While i 6ii 2S2i 3End WhilePrint S（第 3 题）宿迁市 2017 届高三第二次调研测试数学学科一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1 已知集合 ， ，则 034 A， ， 1023 B， ， ， AB2 已知复数 ，其中 为虚数单位，则复数 的模是 i1zi z3 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 是 S4 现 有 1 000 根 某 品 种 的 棉 花 纤 维 ， 从 中 随 机 抽 取 50 根 ， 纤 维 长 度 （ 单 位 ： mm） 的 数 据分 组 及 各 组 的 频 数 见 右 上 表 ， 据 此 估 计 这
2、1 000 根 中 纤 维 长 度 不 小 于 37.5 mm 的 根 数 是 5 100 张卡片上分别写有 1，2，3，100从中任取 1 张，则这张卡片上的数是 6 的倍数的概率是 6 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 3，则点 的xOy24yxPP横坐标是 7 现有一个底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗） ，则该铁球的半径是 cm 8 函数 的定义域是 2()lg5fxx9 已知 是公差不为 0 的等差数列， 是其前 n 项和若 ， ，则nanS2345a927S的值是 110在平面直角坐标系 中，
3、已知圆 ： ，圆 ：xOy1C22481xy2C纤维长度 频数22.5，25.5) 325.5，28.5) 828.5，31.5) 931.5，34.5) 1134.5，37.5) 1037.5，40.5) 540.5，43.5 4（第 4 题）2269xy若圆心在 轴上的圆 同时平分圆 和圆 的圆周，则圆 的方程是 xC12CC11如图，在平面四边形 中， 为 的中点，且 ，ABDO3OA若 7，5OCAB AD 则 的值是 BC DC 12在 中，已知 ， ，则 的最大值是 ABC226ACBtanC13已知函数 其中 若函数 有 3 个不同的零0()1 xmf， ， ， 0()1yfx点
4、，则 m 的取值范围是 14已知对任意的 ， 恒成立，则当 取得xR3sinco2sin3 axbxabR ， ab最小值时， 的值是 a二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15 （本小题满分 14 分）已知 ， 2sin410，求：（1） 的值；co（2） 的值si16 （本小题满分 14 分）如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ， A1B 与 AB1 交 于 点 D， A1C 与 AC1 交 于1ABCC点 E B CDO(第 11 题)ABC1A CA1B1D(第 16 题)E求证：（1）DE平面 B1BCC1；（2）平面 平面 AC17 （本小题满分 14 分）如图，在平
5、面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，C 为xOy21 (0)yxab23椭圆上位于第一象限内的一点（1）若点 的坐标为 ，求 a，b 的值；C523，（2）设 A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且 ，求直线 AB 的斜率AB 12OC (第 17 题)OABCxy18 （本小题满分 16 分）一缉私艇巡航至距领海边界线 l（一条南北方向的直线）3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行（1）若 走 私 船 沿 正 东 方 向 逃 离
6、 ， 试 确 定 缉 私 艇 的 追 击 方 向 ， 使 得 用 最 短 时 间 在 领 海 内 拦 截成 功 ； （参考数据： ， ）sin1765.746（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由领海AB北(第 18 题)30公海l19 （本小题满分 16 分）已知函数 ， ，其中 e 为自然对数的底数1()exf()lngx（1）求函数 在 x 1 处的切线方程；y（2）若存在 ，使得 成立，其中 为常数，12x， 12221()()gxffx求证： ；e（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范0， ()()fa围20 （本小题满分 16
7、 分）设数列 的前 n 项和为 Sn ，且满足：na*N ； ，其中 且12 221 1nrpaarpR， ， 0r（1）求 p 的值；（2）数列 能否是等比数列？请说明理由；na（3）求证：当 r 2 时，数列 是等差数列na数学（附加题）21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分）如图，已知ABC 内接于O，连结 AO 并延长交O 于点 D， ACB求证： 2DBCAB选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）设矩
8、阵 满足： ，求矩阵 的逆矩阵 A12063A1C选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 直 线 （ l 为 参 数 ） 与 曲 线 （ 为xOy23xyl， 218xty，参 数 ） 相交于 ， 两点，求线段 的长ABABD选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）设 均为正实数，且 ，求证： xyz， 1xyz331xyzxyzDAC事项考生在答各题答题要求1本试卷题前认真阅读本注意事项及共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本
9、试卷和答题纸一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的05毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。3作答时必须用书写黑色字迹的05毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。4如有作图需要，可用 2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。BO（第 21A 题）【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）某乐队参加一户外音乐节，准备从 3 首原创新曲和 5 首经典歌曲中随机选择 4 首进行演唱（1）求该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率；（2）假 定 演 唱
10、 一 首 原 创 新 曲 观 众 与 乐 队 的 互 动 指 数 为 a（ a 为 常 数 ） ， 演 唱 一 首 经 典 歌曲 观 众 与 乐 队 的 互 动 指 数 为 2a 求 观 众 与 乐 队 的 互 动 指 数 之 和 的 概 率 分 布 及 数 学 期 望 X23 （本小题满分 10 分）设 有 序 数 组 经 m 次 变 换 后 得 到 数 组*2nN ， 12naa， ， ， 其中 ， （ 1，2， ，n） ，12mmnbb， ， ， ， ， 1iiib， 11iiibb， ， ， ， na11， ， (2)例如：有序数组 经 1 次变换后得到数组 ，即 ；3， ， 1231
11、， ， 354， ，经第 2 次变换后得到数组 897， ，（1）若 ，求 的值； (12)ian， ， ， 35b，（2）求证： ，其中 1，2， ，n0Cmjiijba， i（注：当 时， ， 1，2， ，n，则 ）iknt*Ntijta答案1 【答案】 03，2 【答案】 53 【答案】174 【答案】1805 【答案】 （或 0.16）4256 【答案】27 【答案】 398 【答案】 2，9 【答案】 510 【答案】 281xy11 【答案】912 【答案】 513 【答案】 (01)，14 【答案】 4515解：（1）法一：因为 ，所以 ，又 ， 2， 354， 2sin410所
12、以 3 分27cos1sin14401所以 cos4cosinsi472210 6 分35法二：由 得， ，2sin4102sincosin410即 3 分co5又 . 22sins由解得 或 3ccos45因为 ，所以 6 分2， 3cos5（2）因为 ， ， cs所以 8 分2234sin1o15所以 ，ics 12 分2237cos15所以 insincosin44422755 14 分17016证明：（1）在直三棱柱 中，1ABC四边形 A1ACC1 为平行四边形又 E 为 A1C 与 AC1 的交 点 ，所 以 E 为 A1C 的中点 2 分同理，D 为 A1B 的中点， 所以 DE
13、BC 4 分又 平面 B1BCC1， 平面 B1BCC1，DE所以 DE平面 B1BCC1 7 分（2）在直三棱柱 中，AC平面 ABC，1又 平面 ABC，B所以 9 分1AC又 ， ， 平面 ，1A1CA， 1C所以 平面 12 分B因为 平面C1，所以平面 平面 14 分A1C17解：（1）因为椭圆的离心率为 ，23所以 ，即 2ab259a又因为点 在椭圆上，C3，所以 3 分24519ab由解得 2，因为 ，所以 5 分 0ab35ab，（2）法一：由知， ，所以椭圆方程为 ，即 292915yxa229xya设直线 OC 的方程为 ， ， xmy01()B， 2()C，由 得 ，2
14、259xya， 22595a所以 因为 ，所以 8 分22ym20y2259ym因为 ，所以 可设直线 的方程为 AB 12OC /ABABxya由 得 ，2259xya， 2(59)10mya所以 或 ，得 11 分02112因为 ，所以 ，于是 ，AB 12OC 112xayxy， ， 21y即 ，所以 259am2035m所以直线 AB 的斜率为 14 分513法二：由（1）可知，椭圆方程为 ，则 229xya(0)A，设 ， 1()Bxy， 2()Cxy，由 ，得 ，AB 12OC 112xayxy， ，所以 ， 8 分12x12因为点 B，点 C 都在椭圆 上，259xya所以 22
15、25915.xya，解得 ， ， 12 分24x23y所以直线 AB 的斜率 14 分25kx18解：（1）设缉私艇在 处与走私船相遇（如图甲） ，C依题意， 2 分3AB在 中，由正弦定理得， sinsinCsi12036因为 ，所以 i17367BAC从而缉私艇应向北偏东 方向追击 5 分4在 中，由余弦定理得，ABC，224cos108A解得 31.65又 B 到边界线 l 的距离为 4sin301.8因为 ，所以能在领海上成功拦截走私船 8 分1.685.（2）如图乙，以 为原点，正北方向所在的直线为 轴建立平面直角坐标Ay系 xOy则 ，设缉私艇在 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与
16、走私船相23B， ()Pxy，遇，则 ，即 PA223()x整理得， ， 12 分29944yAB C图甲y公海领海AB图乙60 lx所以点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆 ()Pxy， 934， 32因为圆心 到领海边界线 ： 的距离为 1.55，大于圆半径 ， l.8x32所以缉私艇能在领海内截住走私船 14 分 答：（1）缉私艇应向北偏东 方向追击；47（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船 16 分19解：（1）因为 ，所以 ，故 ln()exyfg211elnlnexxxy1exy所以函数 在 x 1 处的切线方程为 ，()f (1)y即 2 分e10xy（2）由已知等式 得 1
17、221()()gxfxf1122()()()gxfgxf记 ，则 4 分()lnexpfexp假设 e 若 ，则 ，所以 在 上为单调增函数 0()0px()x0+，又 ，所以 ，与 矛盾 6 分12()1212 若 ，记 ，则 0e ()exr()exr令 ，解得 ()rx0ln当 时， ， 在 上为单调增函数；0()r()rx0，当 时， ， 在 上为单调减函数xx，所以 ，所以 ，0()=1ln)0r （ ()0p所以 在 上为单调增函数px+，又 ，所以 ，与 矛盾12()12x12x综合，假设不成立，所以 9 分e（3）由 得 ()()fxgax ln()xa 0记 ， ，lne1F
18、=0则 211exxFaa()= 当 时，因为 ， ，所以 ， ex 0x0Fx()所以 在 上为单调增函数，所以 ，x()0+， 1 =故原不等式恒成立 12 分 法一：当 时，由（ 2）知 ， ，1eaex 321eaxFx()当 时， ， 为单调减函数，3x0()所以 ，不合题意 (1)F=法二：当 时，一方面 eae0a()另一方面， ， 1ex11121e0Fxxax所以 ，使 ，又 在 上为单调减函数，01()， 0=()()0)，所以当 时， ，故 在 上为单调减函数，xxx0，所以 ，不合题意(1)F综上， 16 分ea20解：（1）n 1 时， ，21()0rpSa因为 ，所
19、以 ，12又 ，所以 p 1 2 分0r（2） 不是等比数列理由如下：na假设 是等比数列，公比为 q，当 n 2 时， ，即 ，326rSa211()6raq所以 （i ） 4 分(1)q，当 n 3 时， ，即 ，4312+rSa2321112()raqaq所以 ， （ii） 6 分232(1)6rqq由（i） （ii）得 q 1，与 矛盾，所以假设不成立 12a故 不是等比数列 8 分na（3）当 r 2 时，易知 312a由 ，得21 1()()()nnSa时， ， 2 (n，112()2)2nnS 得， ， 11 分21 12()()()nnnaaaa 即 ，1121()()()(
20、nnn ，11)naaa即 212nn n11()2aa，3121() 02n 所以 111nnaaa，令 d，则 14 分21d()n所以 . ()2na又 时，也适合上式，所以 *1()ndnN所以 a所以当 r 2 时，数列 是等差数列 16 分na数学（附加题）21A选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分）证明：连结 OC因为 ， ，ACBDABCD所以 3 分因为 OC OD，所以 O所以 AB所以 8 分CD所以 ，即 OCB因为 ，所以 10 分12A2ADB解：法一：设矩阵 ，则 ， abcd106abcd23所以 ， ， ， 4 分1262解得 ， ，所以 6 分
21、 0bd10A根据逆矩阵公式得，矩阵 10 分12法二：在 两边同时左乘逆矩阵 得，A120631A 4 分1设 ，则 ，1Aabcd1206abcd1203所以 ， ， ， 6 分36解得 ， ， ， ，从而 10 分1a0bc2d102AC解：法一：将曲线 （ 为参数）化为普通方程为 3 分 218xty， 28yx将直线 （ 为参数）代入 得，32xly， 2yx， 6 分2840ll解得 ， 126l则 ， 24l所以线段 的长为 10 分AB2法二：将曲线 （ 为参数）化为普通方程为 ， 3 分 218xty， 28yx将直线 （ 为参数）化为普通方程为 ， 6 分32xly， 02
22、xy由 得， 或 2830x， 12xy， 96.xy，所以 的长为 10 分AB294D证明：因为 均为正实数，且 ，xyz， 1xyz所以 ， ， 8 分312 32 32xzy所以 10 分3xyzxyz22解：（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件 ，A则事件 的对立事件 为：“没有 1 首原创新曲被演唱” A所以 458C13()1PA答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为 4 分134（2）设随机变量 表示被演唱的原创新曲的首数，则 的所有可能值为x x0，1，2，3依题意， ，故 的所有可能值依次为 8a，7a，6a，5a24XaxX则 ，548C1(8)(0)P，377
23、ax，23548(6)()CX15Pax从而 的概率分布为： 8 分所以 的数学期望 10 分X13198765474EXaaa23解：（1）依题意， 12356n， ， ， ， ， ， ， ， ，经 1 次变换为： ，79131， ， ， ， ， ， ， ，经 2 次变换为： ，82604284n， ， ， ， ， ， ，经 3 次变换为： ，351， ， ， ， ， ，所以 3 分352b，（2）下面用数学归纳法证明对 ， ，其中 *mN0Cmjiijba， 12in， ， ，（i）当 时， ，其中 ，结论成立； 1m110jiiiijba， i， ， ，（ii）假设 时， ，其中 5 分 * ()kNki， 0Cjikja12in， ， ，8a 7a 6a 5aP14则 时，1mk11kikiibb， ， ，100Ckj jiikja110kkjjiikj 0111CCkjjkiikijaa0 111kjkiikij ，110Ckjikja所以结论对 时也成立m由（i） （ii）知， ， ，其中 10 分*N0mjiijba， 12in， ， ，
