1、2.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质,主题抛物线的几何性质类比椭圆、双曲线的几何性质及其探究方法,你能否结合抛物线图形,探索抛物线的几何性质?,提示:由如图所示的抛物线图形可见,开口向右的抛物线顶点在原点,以x轴为对称轴且向右无限伸展;图形变化趋势比较平缓,且图形上任一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.,结论:抛物线的简单几何性质,x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,x,y,O(0,0),1,【微思考】1.在同一坐标系中作出抛物线y2=4x,y2=2x,y2=x,y2= x的图形.观察并回答抛物线的开口大小由什么决定.提示:作出图形如图所示,根据图形比较可知
2、,开口大小由p决定,p越大,开口越开阔,p越小则开口越小.,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段的长度是多少?提示:2p.,【预习自测】1.顶点在原点,准线方程为y=2的抛物线方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y,【解析】选D.因为准线为y=2,设抛物线的方程为x2=-2py(p0),且 =2,p=4,所以抛物线方程为x2=-8y.,2.若抛物线y= x2上一点P到焦点F的距离为5,则P点的坐标为()A.(4,4)B.(4,4)C. D.,【解析】选B.因为抛物线方程为y= x2,所以焦点为F(0,1),准线为l:y=-
3、1,设所求点的坐标为P(x,y),作PQl于Q.根据抛物线定义可知P到准线的距离等于PQ的长度,即y+1=5,即y=4,代入抛物线方程,求得x=4,故点P坐标为(4,4).,3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y,【解析】选C.设抛物线y2=2px或y2=-2px(p0),p=4,可得抛物线方程.,4.抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,则a=_,m=_.【解析】由题意得,a0且 所以,答案:42,5.设抛物线y2=1
4、6x上一点P到对称轴的距离为12,则点P与焦点F的距离|PF|=_.【解析】不妨设P(x,12),代入y2=16x得x=9,所以|PF|=x+ =9+4=13.,答案:13,6.已知抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M( ,-2 ),则它的方程为_.【解析】因为抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M( , -2 ),所以可设它的标准方程为x2=-2py(p0).,又因为点M在抛物线上,所以( )2=-2p(-2 ),即p= .因此所求方程是x2=- y.答案:x2=- y,类型一抛物线的性质及其应用【典例1】(1)(2016全国卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点
5、,曲线y= (k0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A. B.1C. D.2,(2)已知点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+ y2+4的最小值为_.【解题指南】(1)P是两条曲线的交点,先利用抛物线方程y2=4x求出交点坐标,再代入曲线方程y= .(2)将z表示为关于x的二次函数求解,注意x的取值范围.,【解析】(1)选D.因为抛物线方程是y2=4x,所以F(1,0).又因为PFx轴,所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y= (k0),即 =2,所以k=2.,(2)z=x2+ y2+4=x2+2x+4=(x+1)2+3,因为y2=4x0,所以x0,+),所以当x=0时,zmi
6、n=4.答案:4,【方法总结】抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离为 .,【巩固训练】(2017孝感高二检测)在抛物线y2=16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A.(4 ,2)B.(4 ,2)C.(2,4 )D.(2,4 ),【解析】选D.抛物线y2=16x的顶点为O(0,0),焦点为F(4,0),设P(x,y)符合题意,则有 所以符合题意的点为(2,4 ).,【补偿训练】(2017长沙高二检测)已知定点A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则
7、 的最小值等于_.,【解析】设P(x,y),因为A(-3,0),B(3,0),则 =(x+3,y)(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x0),所以当x=0时,( )min=-9.答案:-9,类型二根据抛物线的性质求方程【典例2】若抛物线的焦点与椭圆 的一个焦点重合,则抛物线的标准方程为_.【解题指南】用待定系数法求方程,分类讨论焦点的位置.,【解析】由题意知椭圆的焦点为(2,0),(-2,0),当抛物线的焦点为(2,0)时,方程为y2=8x,当抛物线的焦点为(-2,0)时,方程为y2=-8x,所以抛物线的标准方程为y2=8x或y2=-8x.,答案:y2=8x或y
8、2=-8x,【方法总结】待定系数法求抛物线标准方程的步骤(1)定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向.(2)设方程:根据确定的焦点位置设出相应的方程,若未能确定则要分情况讨论.,(3)列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程,确定p的值.(4)写出方程:根据求出的p值,代入设出的方程,确定抛物线方程.,【巩固训练】设抛物线y2=mx(m0)的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线的方程.【解析】当m0时,由2p=m,得 = ,这时抛物线的准线方程是x=- .因为抛物线的准线与直线x=1的距离为3,所以1- =3,解得m=8,这时抛物线的方程是y2=8x.同理,当m0)的焦
9、点,则该抛物线的标准方程是_.,【解析】线段OA的垂直平分线为4x+2y-5=0,与x轴的交点为 ,所以抛物线的焦点为 ,所以其标准方程是y2=5x.答案:y2=5x,类型三焦点弦问题【典例3】(2017九江高二检测)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=7,求线段AB的长.【解题指南】利用抛物线的定义,把|AB|=|AF|+|BF|转化为A,B两点到准线的距离的和来求解.,【解析】由抛物线的方程得 =1,所以根据抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+1+x2+1=7+2=9.,【延伸探究】1.本例中
10、,若点A,B是倾斜角为60的直线与抛物线的交点,则|AB|等于多少?【解析】因为抛物线的焦点是(1,0),所以直线AB的方程为y= (x-1),与抛物线方程联立消去y得3x2-10x+3=0,所以x1+x2= ,从而|AB|=x1+x2+p= +2= .,2.本例中,证明以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切,该结论能否推广到任意抛物线方程y2=2px?【解析】因为线段AB中点的横坐标为 ,所以以AB为直径的圆的圆心到准线x=-1的距离为 ,而AB的长度为9,所以以AB为直径的圆的半径为 ,故该圆与准线相切.该结论可以推广,证明如下:,设抛物线方程y2=2px过焦点的弦为AB,中点为M,准线为
11、l,A1,B1分别为A,B在准线l上的射影,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是M到l的距离d= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|=半径,故相切.,【方法总结】抛物线焦点弦问题的解法(1)由于抛物线的焦点弦过焦点,因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解.(2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立,再结合根与系数的关系求解.,(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式,也可以利用弦长公式,但由于弦过焦点,结合抛物线的定义得出焦点弦长.以抛物线y2=2px(p0)为例,过抛物线焦点F,作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x
12、2,y2),则焦点弦长为x1+x2+p,同时由弦长x1+x2+p2 +p=2p,当且仅当x1=x2时,取“=”知,通径是所有弦中最短的弦.,【拓展延伸】1.抛物线的焦点弦的常见结论(1)若AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦(过焦点的弦),且A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2= ,y1y2=-p2.(2)若AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,且直线AB的倾斜角为,则|AB|= (0).,2.焦点弦公式抛物线y2=2px(p0),|AB|=p+(x1+x2);抛物线y2=-2px(p0),|AB|=p-(x1+x2);抛物线x2=2py(p0),|AB|=p+(y1+y2)
13、;抛物线x2=-2py(p0),|AB|=p-(y1+y2).,【补偿训练】设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,如果直线AF的斜率为- ,那么|PF|=()A.4 B.8C.8 D.16,【解析】选B.设A(-2,y),F(2,0),所以所以y=4 ,所以yP=4 ,因为P在抛物线上,所以yP2=8xP,所以由抛物线定义可得|PF|=|PA|=xP-xA=6-(-2)=8.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结抛物线几何性质的研究方法(1)标准方程法:由标准方程的形式明确抛物线的几何特征.(2)数形结合法:结合抛物线的定义,在坐标系中将线段长用坐标表示,进而解决与几何特征相关问题的方法.,
