1、- 1 -A B x2x D yC 数学题根（1） 评十年高考 看一个题根(2009 年版)以阿波罗圆为例问题有根吗？回答是肯定的.我们来用考题研究题根，最便于调动人的积极性，最容易展开话题讨论.因为考题能把题根的科学性与题根的功利性最紧密地结合起来 .用考题研究题根，请弄明白三种关系：（1）题目与题根的关系；（2）考题与考根的关系；（3）题根与考根的关系.那么，什么是题根？我们先看高考中的题根例子（一） 考题全新 课本藏根【考题】 满足条件 的ABC 的面积的最大值是 BCA2,【说明】这是 2008 年江苏卷第 13 题. 想当年，50 万江苏考生为此题拼搏，有的胜了，有的败了；有的说繁，
2、有的说简；有的稿纸遍地，有的一望而答！然而在考场内外，对此题的评价一致，齐声说好：设计新颖，不落俗套！ 【点评】本题好在哪里？如实地说，本题的“新意”只是在形式上，就其考查的知识内容而言，却不是一般的“陈旧”！从题根上看，这个题目已经考了十年，只是有些人不认识它罢了。以下，我们按“考题寻根”的思路，对本题的题根进行搜索【思路 1】 向三角形面积公式寻根【考题】满足条件 的ABC 的面积的最大值是 BCA2,【解法 1】 设 BC =x，则 ，作 CDAB 于xD，设 DB= y，则： ，所以 222)()(yxx42所以 )1(8)4(222xC- 2 -x2x C B A x2x C B A
3、 所以 4)12(821xCDABSC显然当 x 2 = 12，即 时，三角形面积有最大值3x 2【点评】 一道 5 分的填空题，寻得一个“无理函数” ，值得吗？【思路 2】 向正弦面积公式寻根【解法 2】 ABC 的面积 ，BCASBCsin21设 BC = x，得 .xA在ABC 中得 ，4cos2又 B21sin所以 ，4)12(8)4(1cos22 xxxSABC则当 时 的最大值为 .32AB【点评】 殊途同归，寻得同一个“无理函数”！巧合吗？【思路 3】向三边面积公式寻根【解法 3】设 BC = x，得 ，xAC2由海伦公式 )()(cpbapSABC（其中 ） ，2cbap得 2
4、)1(841xSABC当 时， 的最大值为3xABCS【分析】为何还是寻得同一个“无理函数”？因为你设了同一个自变量 BC = x ， 故寻得同一个函数！其结果与三种不同的“思路” （中间过程）无关！【思路 4】 从函数式转向轨迹方程【解法 4】建立如图的坐标系，设 C(x，y)，A(-1,0) 、B（1，0） ，- 3 -由 得 .BCA2 22)1()1( yxyx化得(x - 3)2 + y2 = 8 (x0) ，方程显示：C 点的轨迹是为以（ 3，0）为圆心，以 为半径的圆. 2ABC 高的最大为 圆的半径 .2【点评】 转向方程，数形结合，运算量减少！题根何在？莫非就是这个圆？这是个
5、什么圆？【寻根】我们寻根教材，结果找到此圆现行高中课本（必修）数学第二册（上）例题 ：已知一曲线是与两个定点 O (0，0)、A（3，0）距离之比为 的点的轨迹，求此曲线的方程.21例题答案：动点的轨迹方程是(x + 1) 2 + y 2 = 4. （1）考题：满足条件 AB = 2， 的 ABC 的面积的最大值是 BC答案：点 C 的轨迹方程是(x - 3) 2 + y 2 = 8 （2）【研究】 方程（1） （2）中的圆兄圆弟，你们是否出自一家？追根：更换例题中的距离之比和线段长，则由例题的轨迹方程（1）变得考题轨迹方程.（2）.原来，它们只是换了两个数据！请问（1） （2）：兄弟贵姓？
6、答曰：阿波罗！（二） 阿波罗圆 全族集合【有请】 有请阿波罗，全族集合！轨迹问题；动点 P(x、y ) 到定点 F1(-c，0)、F2(c，0) 的距离之比为 .（c， 为正数） 求 P (x、y) 的轨迹方程 .【探求】依题意，由距离公式得 化简后22)()( yxyx012)1()(2 ccyx【讨论】方程的图形是什么？- 4 -（1）=1 时，得 x = 0 , 即阿波罗直线；（2）1 时，可以判定方程的轨迹是圆：阿波罗圆.【欣赏】 阿波罗轨迹的和谐美阿波罗圆； 动点 P 到两定点 F 1、F 2 距离之比为定值 （c ， 为正数）. 则动点 P 的轨迹是阿波罗圆（线）.圆锥曲线； 动点
7、 P 到定点 F 与定直线 L 的距离之比为定值 . 则动点 P 的轨迹是二次曲线线.阿波罗圆（线）有四美：（1）直线与圆的统一美；（3）两族曲线的对应美；（2）量变质变的运动美；（4）解几图形的完整美.【初试】 阿波罗圆实现“小题小作”. 江苏第 13 题本是一道填空小题：满足条件 AB = 2， 的 ABC 的面积的最大值是 BCA大作不值：5 分的填空题，搬动无理函数 ： 4)12(8)4(22 xxD中作尚可：5 分的填空题，搬动轨迹方程：(x - 3) 2 + y 2 = 8小作恰当； 阿波罗圆的圆心在直线 AB 上， 拿线段 AB 的内、外分点的连线段为直径 .因此，阿波罗圆的问题
8、可以从平面退到轴上解决！【简解】 阿波罗圆的轴上解决动点 C 到定点 A ( - 1，0 ) 和 B（1，0）距离之比为 2则有 |2|xx得 为内分点， 为外分点.31 232圆半径为 ，即为三角形高的最大值.2ABC 高的最大值是 .【说明】阿波罗圆的“轴上解决” ，可以实现 2008 年江苏卷第 13 题.的“一望而答”！【赞歌】 题根不只看外观，由表及里到内涵，此题出得内外好，题是三角根是圆。- 5 -（三） 十年离散 一朝相聚【寻亲】阿波罗圆 “全族同根” , 以下是阿波罗圆的“ 考场寻亲 ”! 看十年考场，何等兴旺！寻亲 1： 设 A( -3，0)，B ( 3，0) 为两定点，动点
9、 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离为定比 12，则 P 点的轨迹图形所围得的面积是（ ）. （1999 年全国卷）寻根 1 ：对照课本例题，定比 1 2 未变，但两定点间的距离由 3 变成了 6.寻亲 2：已知两定点 A (-2，0)，B (1，0) ，如果动点 P 满足| PA | =2| P B|，则点 P 的轨迹所包围的面积等于（ ） （2006 年四川卷）A. B.4 C.8 D.9 寻根 2 ：定比 12 变成 2，但两定点间的距离变.寻亲 3： 设 A ( -c，0)，B ( c，0) ( c0 )为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a (a 0
10、)，求 P 点的轨迹方程及图形. （2003 年北京卷）寻根 3 ： 定比与定距已经一般化，图形要讨论.略解 (1-a 2 ) x2 + (1-a 2 ) y 2 + 2c (1 + a 2 ) x + (1 -a 2) c 2 = 0（1）当 a =1 时，得 x = 0.图形是直线 .（2）当 a 1 时，方程化为22211)(aya轨迹图形是以 为圆心，以 为半径的圆.0,)(2ac|2c寻亲 4： 阿波罗伸向圆的切割线如图，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，O 1O2 = 4，过动点 P 分别作圆 O1、O 2 的切线PM、PN（M 、 N 分别为切点） ，使得 . 试建立适当PN
11、M的坐标系，求动点 P 的轨迹方程.寻根 4：两定点用两定圆替换，距离之比用切线长之比替换.略解 1)2(1)2( yxyx即 (x -6)2 + y2 = 33轨迹是以（6，0）为圆心，以 为半径的圆.3- 6 -C2D1 34A T BC点评 至此，阿波罗圆与圆幂问题链接.寻亲 5： 阿波罗圆伸向角的平分线 ABC 中 ， 角 C 的平分线交 AB 于点 T， 且 AT = 2， TB = 1. 若 AB 上的高线长为 2， 求 ABC 的周长. 寻根 5 定比 21，定距为 3.略解 按角分线的性质 有 C AC B = ATT B = 21，点 C 的轨迹是直径为 4 的圆 . 圆的半
12、径 2 为三角形的高线.（再勾股定理求 C A 、 C B 的长度)点评 至此，阿波罗圆与角的平分线（内、外）链接.寻亲 6： 阿波罗圆伸向定比分点已知定点 B (3，0)，点 A 在圆 x2 +y2 =1 上运动，AOB 的平分线交 AB 于点 M，则点 M 的轨迹方程是 .略解 BMMA = OBOA = 31，设 M (x，y)，解得 A 点的坐标：代入 x 2 + y 2 =1，)34,1(yx1694(2这就是点 M 的轨迹方程.点评 与定比分点链接，完成了阿波罗圆“身与魂的合一”.图示 AB 定长，CA 、 CB 定比, 顶 C 的轨迹是阿波罗圆 .作 C 的内外角平分线 CT、 CD.线段 TD 是阿波罗圆的直径.
