1、2018 年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）集合 A=0，1，2，B=x|1x2，则 AB=（ ）A0 B1 C0，1 D0，1，22 （5 分）如果复数 （其中 i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么 b 等于（ ）A B C D23 （5 分）该试题已被管理员删除4 （5 分）已知变量 x 与变量 y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x 6 5 10 12y 6 5 3 2则变量 x 与 y 之间的线性回归直线方程可能为（ ）A =
2、0.7x2.3 B =0.7x+10.3 C =10.3x+0.7 D =10.3x0.75 （5 分）已知数列a n满足： a1=1，a n0，a n+12an2=1（n N*） ，那么使 an5成立的 n 的最大值为（ ）A4 B5 C24 D256 （5 分）已知函数 f （x）=2sin（x+ ） （0）的部分图象如图所示，则函数 f （ x）的一个单调递增区间是（ ）A （ ） B （ ） C （ ）D （ ）7 （5 分）若 0m1，则（ ）Alog m（1+ m）log m（1 m） Blog m（1+m） 0C 1m（1 +m） 2 D8 （5 分）已知一个棱长为 2 的正方体
3、，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A B4 C3 D9 （5 分）函数 f（x ）=x 3+x2ax4 在区间（1，1）内恰有一个极值点，则实数 a的取值范围为（ ）A （1 ，5 ） B1，5） C （1，5 D （ ，1）（5，+）10 （5 分）已知 A，B，C，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面 ABC，AD=2AB=6 ，则该球的体积为（ ）A B48 C24 D1611 （5 分）设数列a n前 n 项和为 Sn，已知 ，则 S2018 等于（ ）A B C D12 （5 分）已知抛物线 C：x 2=4y，直线 l：y=1，
4、PA，PB 为抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A，B，则“点 P 在 l 上”是“PAPB” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x4y 的最小值为 14 （5 分）数列a n满足：若 log2an+1=1+log2an，a 3=10，则 a8= 15 （5 分）若圆 O1：x 2+y2=5 与圆 O2：（x +m） 2+y2=20（mR）相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 16 （5 分）函
5、数 f（x ）= ，若方程 f（x ）=mx 恰有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）设函数 （1）求函数 f（x）的最小正周期和值域；（2）记ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，且 ，求角 C 的值18 （12 分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査 100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示（1）求 100 名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在35，45） ，4
6、5，55的使用者中利用分层抽样选取了 6 人，再从这 6 人中选出 2 人，求这 2 人在不同的年龄组的概率19 （12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 与等边三角形 ABE 所在的平面互相垂直，M ， N 分别是 DE，AB 的中点（1）证明：MN平面 BCE；（2）求三棱锥 BEMN 的体积20 （12 分）已知椭圆 + =1（ab 0）的左右焦点分别为 F1、F 2，左顶点为 A，若|F 1F2|=2，椭圆的离心率为 e=（）求椭圆的标准方程（）若 P 是椭圆上的任意一点，求 的取值范围21 （12 分）已知函数 f（ x）=e x，直线 l 的方程为 y=kx+b， （k R
7、，b R） （1）若直线 l 是曲线 y=f（x ）的切线，求证：f（x）kx+b 对任意 xR 成立；（2）若 f（x）kx+b 对任意 x0，+）恒成立，求实数 k，b 应满足的条件请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；（2）设点 P（0，2） ，l 和 C 交于 A，B 两点，求| PA|+|PB|23已知函数 f（x ）=|x+ 1|（1）求不等式
8、f（x）| 2x+1|1 的解集 M；（2）设 a，bM，证明： f（ab ）f （a） f（b ） 2018 年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）集合 A=0，1，2，B=x|1x2，则 AB=（ ）A0 B1 C0，1 D0，1，2【解答】解：A=0，1，2，B=x|1x2AB=0，1故选：C2 （5 分）如果复数 （其中 i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么 b 等于（ ）A B C D2【解答】解： = + i由 =
9、 得 b= 故选：C3 （5 分）该试题已被管理员删除4 （5 分）已知变量 x 与变量 y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x 6 5 10 12y 6 5 3 2则变量 x 与 y 之间的线性回归直线方程可能为（ ）A =0.7x2.3 B =0.7x+10.3 C =10.3x+0.7 D =10.3x0.7【解答】解：根据表中数据，得；= （ 6+5+10+12）= ，= （ 6+5+3+2）=4，且变量 y 随变量 x 的增大而减小，是负相关，所以，验证 = 时， =0.7 +10.34，即回归直线 =0.7x+10.3 过样本中心点（ ， ） 故选：B5 （5 分）已知数列a
10、 n满足： a1=1，a n0，a n+12an2=1（n N*） ，那么使 an5成立的 n 的最大值为（ ）A4 B5 C24 D25【解答】解：由题意 an+12an2=1，a n2 为首项为 1，公差为 1 的等差数列，a n2=1+（n 1）1=n ，又 an0，则 an= ，由 an5 得 5，n25那么使 an5 成立的 n 的最大值为 24故选：C6 （5 分）已知函数 f （x）=2sin（x+ ） （0）的部分图象如图所示，则函数 f （ x）的一个单调递增区间是（ ）A （ ） B （ ） C （ ）D （ ）【解答】解：由图象可知： T= = ，T= =，=2，又 2+
11、=（或 2+= ） ，= ，f （ x）=2sin（2x ） ，由 2k 2x 2k+ ，得其单调递增区间为：k ，k+ 当 k=1 时，单调递增区间为： ， 显然， （ ， ） ， 故选：D7 （5 分）若 0m1，则（ ）Alog m（1+ m）log m（1 m） Blog m（1+m） 0C 1m（1 +m） 2 D【解答】解：0m1，函数 y=logmx 是（0，+）上的减函数，又1+m1m0，log m（ 1+m）log m（1 m） ；A 不正确；0m1，1+m1，log m（1+m）0；B 不正确；0m1，01m 1，1+m1，1 m（ 1+m） 2；C 不正确；0m1，01m
12、 1，函数 y=（1 m） x 是定义域 R 上的减函数，又 ， ；D 正确；故选：D8 （5 分）已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A B4 C3 D【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形 FHDE，正方体的棱长为 2，FH= ， DE= ，梯形的高为 该截面的面积为 S= 故选：A9 （5 分）函数 f（x ）=x 3+x2ax4 在区间（1，1）内恰有一个极值点，则实数 a的取值范围为（ ）A （1 ，5 ） B1，5） C （1，5 D （ ，1）（5，+）【解答】解：由题意，f（x ）=3x 2+2xa，则 f
13、（1 ）f（1）0 ，即（1a ） （5 a）0，解得 1a5，另外，当 a=1 时，函数 f（x）=x 3+x2x4 在区间（ 1，1）恰有一个极值点，当 a=5 时，函数 f（x）=x 3+x25x4 在区间（ 1，1）没有一个极值点，故选：B10 （5 分）已知 A，B，C，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面 ABC，AD=2AB=6 ，则该球的体积为（ ）A B48 C24 D16【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把 A、B、C、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，ABC 是正三角形，所以 AE=
14、AO= 所求球的体积为： = =32 故选 A11 （5 分）设数列a n前 n 项和为 Sn，已知 ，则 S2018 等于（ ）A B C D【解答】解：a 1=a 2=2 1= ，a3=2 1= ，a4=2 =a5=2 = ，数列a n是以 4 为周期的周期数列，a 1+a2+a3+a4= + + + =2，S 2018=504（a 1+a2+a3+a4）+a 1+a2=1008+ = ，故选：B12 （5 分）已知抛物线 C：x 2=4y，直线 l：y=1， PA，PB 为抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A，B，则“点 P 在 l 上”是“PAPB” 的（ ）A充分不必要条件 B必要
15、不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由 x2=4y，对其求导得 设 A ，B ，则直线 PA，PB 的斜率分别为 kPA= ，k PB=由点斜式得 PA，PB 的方程分别为：y = = （x x2） ，联立解得 P ，因为 P 在 l 上，所以 =1，所以 kPAkPB= =1，所以 PAPB 反之也成立所以“点 P 在 l 上” 是“PA PB”的充要条件故选：C二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x4y 的最小值为 1 【解答】解：由 z=3x4y，得 y= x ，作出不等式对应的可行域（阴
16、影部分） ，平移直线 y= x ，由平移可知当直线 y= x ，经过点 B（1，1）时，直线 y= x 的截距最大，此时 z 取得最小值，将 B 的坐标代入 z=3x4y=34=1，即目标函数 z=3x4y 的最小值为1故答案为：114 （5 分）数列a n满足：若 log2an+1=1+log2an，a 3=10，则 a8= 320 【解答】解：log 2an+1=1+log2ana n+1=2an数列a n是 2 为公比的等比数列a 8=a325=320故答案为：32015 （5 分）若圆 O1：x 2+y2=5 与圆 O2：（x +m） 2+y2=20（mR）相交于 A，B 两点，且两圆
17、在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 4 【解答】解：由题 O1（ 0，0）与 O2：（ m，0） ，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得 |m| 再根据题意可得 O1AAO 2，m 2=5+20=25，m=5，利用 ，解得：AB=4故答案为：416 （5 分）函数 f（x ）= ，若方程 f（x ）=mx 恰有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （ ， ） 【解答】解：方程 f（x） =mx 恰有四个不相等的实数根可化为函数 f（ x）= 与函数 y=mx 有四个不同的交点，作函数 f（x ）= 与函数 y=mx 的图象如下，由题意，C（ 0， ） ，B （1，
18、0） ；故 kBC = ，当 x1 时，f（x）=lnx，f（x）= ；设切点 A 的坐标为（x 1，lnx 1） ，则 = ；解得，x 1= ；故 kAC = ；结合图象可得，实数 m 的取值范围是（ ， ） 故答案为：（ ， ） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）设函数 （1）求函数 f（x）的最小正周期和值域；（2）记ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，且 ，求角 C 的值【解答】解：（1）因为 = ，所以 f（ x）的最小正周期为 2因为 xR，所以 ，所以 f（ x）的值域为1，1（2）
19、由（1）得 ，所以 因为 0A ，所以 ，所以 ，因为 ，由正弦定理可得 ，所以 sinB=1，因为 0B ，所以 ，故得： 18 （12 分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査 100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示（1）求 100 名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在35，45） ，45，55的使用者中利用分层抽样选取了 6 人，再从这 6 人中选出 2 人，求这 2 人在不同的年龄组的概率【解答】解：（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20估计所有使用者的平均年龄为：0.12
20、0+0.3 30+0.440+0.250=37（岁）（2）由题意可知抽取的 6 人中，年龄在35，45）范围内的人数为 4，记为a， b，c ，d；年龄在45，55范围内的人数为 2，记为 m，n从这 6 人中选取 2 人，结果共有 15 种：（ab ） ， （ac） ， （ad） ， （am） ， （an ） ， （bc） ，（bd ） ， （bm） ， （bn） ， （cd） ， （cm ） ， （cn） ，（dm ） ， （dn） ， （mn） 设“这 2 人在不同年龄组“为事件 A则事件 A 所包含的基本事件有 8 种，故 ，所以这 2 人在不同年龄组的概率为 19 （12 分）如图，
21、边长为 2 的正方形 ABCD 与等边三角形 ABE 所在的平面互相垂直，M ， N 分别是 DE，AB 的中点（1）证明：MN平面 BCE；（2）求三棱锥 BEMN 的体积【解答】 （1）证明：取 AE 中点 P，连结 MP，NP由题意可得 MPADBC，MP平面 BCE，BC 平面 BCE，MP平面 BCE，同理可证 NP平面 BCEMPNP=P，平面 MNP平面 BCE，又 MN平面 MNP，MN平面 BCE；（2）解：由（1）可得 MPDA，且 MP= DA，平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABE=AB，且 DAAB ，DA平面 ABE，M 到平面 ENB 的距离为 ，
22、N 为 AB 的中点， ， = = 20 （12 分）已知椭圆 + =1（ab 0）的左右焦点分别为 F1、F 2，左顶点为 A，若|F 1F2|=2，椭圆的离心率为 e=（）求椭圆的标准方程（）若 P 是椭圆上的任意一点，求 的取值范围【解答】解：（I）由题意， |F 1F2|=2，椭圆的离心率为 e=c=1，a=2，b= ，椭圆的标准方程为 + =1 （4 分）（II）设 P（x 0，y 0） ，则A（2 ，0） ，F 1（1 ，0） ， =（ 1x0） （2 x0）+y 02= x2+3x+5，由椭圆方程得2x2，二次函数开口向上，对称轴 x=62当 x=2 时，取最小值 0，当 x=2
23、 时，取最大值 12 的取值范围是 0，12 （12 分）21 （12 分）已知函数 f（ x）=e x，直线 l 的方程为 y=kx+b， （k R，b R） （1）若直线 l 是曲线 y=f（x ）的切线，求证：f（x）kx+b 对任意 xR 成立；（2）若 f（x）kx+b 对任意 x0，+）恒成立，求实数 k，b 应满足的条件【解答】解：（1）因为 f（x ）=e x，设切点为（t，e t） ，所以 k=et，b=e t（1 t） ，所以直线 l 的方程为：y=e tx+et（1 t） ，令函数 F（x）=f（x）kx b，即 F（x）=e xetxet（1t） ，F（x）=e xet
24、，所以 F（x）在（，t ）单调递减，在（t，+）单调递增，所以 F（x） min=f（t ）=0，故 F（x）=f（x）kxb0，即 f（x）kx+b 对任意 xR 成立（2）令 H（x）=f（x ）kx b=exkxb，x 0，+） H（x）=e xk，x 0，+） ，当 k1 时，H（x） 0，则 H（x）在0，+）单调递增，所以 H（x） min=H（0）=1 b0，b 1 ，即 ，符合题意当 k1 时，H（x）在0，lnk上单调递减，在lnk，+）单调递增，所以 H（x） min=H（lnk）=kklnk b0，即 bk （1lnk ） ，综上所述：满足题意的条件是 或 请考生在 2
25、2、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；（2）设点 P（0，2） ，l 和 C 交于 A，B 两点，求| PA|+|PB|【解答】解：（1）由 消去参数 ，得即 C 的普通方程为由 ，得 sincos将 代入得 y=x+2所以直线 l 的斜率角为 （2）由（1）知，点 P（0，2 ）在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为（t 为参数）即 （t 为参数） ，代入 并化简
26、得设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2则 ，所以 t10 ，t 20所以 23已知函数 f（x ）=|x+ 1|（1）求不等式 f（x）| 2x+1|1 的解集 M；（2）设 a，bM，证明： f（ab ）f （a） f（b ） 【解答】 （1）解：当 x1 时，原不等式化为x1 2x2 解得：x 1；当 时，原不等式化为 x+12x2 解得：x1，此时不等式无解；当 时，原不等式化为 x+12x ，解得：x1综上，M=x|x1 或 x1；（2）证明：设 a，bM， |a+1|0，|b |10，则 f（ ab）=|ab+1|，f （a） f（ b）=|a+1| b+1|f（ ab）f（a）f（ b）=f （ab ）+f （ b） f（a） =|ab+1|+|1b|a+1|=|ab+1|+|b1|a+1|ab+1+b 1|a+1|=|b（a+1）|a+1|=|b|a+1|a+1|=|a+1|（|b |1|）0，故 f（ab）f（a）f（b）成立
