1、2018 年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x2，B=x|2 x1，则 AB=（ ）Ax |0x2 Bx|1x2 Cx|x0 Dx|x 22 （5 分）已知 ，其中 i 为虚数单位，aR，则 a=（ ）A 1 B1 C2 D 23 （5 分）已知等比数列a n是递增数列，S n 是a n的前 n 项和若a1+a3=5，a 1a3=4，则 S6=（ ）A31 B32 C63 D644 （5 分）如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，
2、给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） 设直角三角形有一内角为 30，若向弦图内随机抛掷 1000 颗米粒（大小忽略不计） ，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A134 B866 C300 D5005 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f （x）=x 2x，则不等式 f（ x）0 的解集用区间表示为（ ）A （ 1，1） B （，1）（1，+） C （，1）（0，1）D （1， 0）（1，+）6 （5 分） （1+xx 2） 10 展开式中 x3 的系数为（ ）A10 B30 C45 D2107 （5 分）某三棱柱的三
3、视图如图粗线所示，每个单元格的长度为 1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A4 B8 C12 D168 （5 分）已知x表示不超过 x 的最大整数，如 0.5=0，1=1，2.4 =2执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）A450 B460 C495 D5509 （5 分）已知函数 （m，n 为整数）的图象如图所示，则 m，n的值可能为（ ）Am=2，n=1 Bm=2，n=1 Cm=1，n=1 Dm=1 ，n= 110 （5 分）已知 f（x ）=cosx ， （ 0）的图象关于点 对称，且f（x）在区间 上单调，则 的值为（ ）A1 B2 C D11 （5 分）已知抛物线 和圆 ，
4、直线 y=k（x1）与C1，C 2 依次相交于 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4）四点（其中 x1x 2x 3x 4） ，则|AB| |CD|的值为（ ）A1 B2 C Dk 212 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 AA1，BB 1，CC 1，分别交于三点 M，N，Q，若MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A B3 C D4二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的
5、等边三角形， E 为边 BC 的中点，则= 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 15 （5 分）已知双曲线 E 经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线 E 的离心率为 16 （5 分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第 i 行第 j 列的数则 112 在这“等差数阵”中出现的次数为 4 7 10 a1j 7 12 17 a2j 10 17 24 a3j ai1 ai2 ai3 a ij 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在
6、ABC 中， ，点 D 在 AB 边上，且BCD 为锐角，CD=2，BCD 的面积为 4（1）求 cosBCD 的值；（2）求边 AC 的长18 （12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 为矩形，四边形 ABCD为梯形，ABCD，平面 CBE 与平面 BDE 垂直，且 CBBE（1）求证：ED平面 ABCD；（2）若 ABAD，AB=AD=1，且平面 BCE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为，求 AF 的长19 （12 分）某协会对 A，B 两家服务机构进行满意度调查，在 A，B 两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了 1000 人，每人分别对这两家服务机构进行
7、评分，满分均为 60 分整理评分数据，将分数以 10 为组距分成 6 组：0，10 ） ，10，20） ，20，30） ，30 ，40） ，40 ，50 ） ，50，60，得到 A 服务机构分数的频数分布表，B 服务机构分数的频率分布直方图：A 服务机构分数的频数分布表分数区间 频数0， 10） 2010，20 ） 3020，30 ） 5030，40 ） 15040，50 ） 40050，60 350定义市民对服务机构评价的“满意度指数” 如下：分数 0，30） 30，50） 50，60满意度指数 0 1 2（1）在抽样的 1000 人中，求对 B 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数；（
8、2）从在 A，B 两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取 1 人进行调查，试估计其对 B 服务机构评价的 “满意度指数”比对 A 服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从 A，B 服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由20 （12 分）已知椭圆 与直线 l：bx ay=0 都经过点直线 m 与 l 平行，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 MA，MB与 x 轴分别交于 E，F 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）证明：MEF 为等腰三角形21 （12 分）已知函数 f（ x）=lnx +a（x 1） 2（a0） （1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）在区
9、间（0，1）内有唯一的零点 x0，证明： 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 =4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是（t 为参数） （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值选修 4-5：不等式选讲.23已知函数 f（x ）=|2x+1 |x|+a，（1）若 a=1，求不等式 f（x ）0 的解集；（2）若方程 f（x）=2x 有
10、三个不同的解，求 a 的取值范围2018 年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x2，B=x|2 x1，则 AB=（ ）Ax |0x2 Bx|1x2 Cx|x0 Dx|x 2【解答】解：B=x|2 x1=x |x0，AB=x |0x2，故选：A2 （5 分）已知 ，其中 i 为虚数单位，aR，则 a=（ ）A 1 B1 C2 D 2【解答】解：由 ，得 2=（1i） （a+i ）=a+1+（1a）i， ，即 a=1故选：B3 （
11、5 分）已知等比数列a n是递增数列，S n 是a n的前 n 项和若a1+a3=5，a 1a3=4，则 S6=（ ）A31 B32 C63 D64【解答】解：设公比为 q，因为a n是递增的等比数列，所以 q0a na n1因为 a1+a3=a1+a1q2=5，且 a10，a 30，又 a1a3=a22=4，所以得 a1=1，a 2=2，a 3=4，q=2，则 S6= （ 1q6）=q 61=641=63故选 C4 （5 分）如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） 设直角三角形有一内角为 30，若向弦图内随
12、机抛掷 1000 颗米粒（大小忽略不计） ，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A134 B866 C300 D500【解答】解：设大正方形的边长为 2x，则小正方形的边长为 x，向弦图内随机抛掷 1000 颗米粒（大小忽略不计） ，设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为 a，则 ，解得 a=1000（ ） 134故选：A5 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f （x）=x 2x，则不等式 f（ x）0 的解集用区间表示为（ ）A （ 1，1） B （，1）（1，+） C （，1）（0，1）D （1， 0）（1，+）【解答】解：根据题意，当 x0 时，f
13、（x）=x 2x，若 f（x）0，则有 x2x 0，解可得 x1，即在（1 ，+）上，f （x）0，反之在（0，1）上，f （x ） 0，又由函数为奇函数，则在（0，1， ）上，f（x）0，在（，1）上，f（x ）0，则不等式 f（x）0 的解集为（ 1，0）（1，+） ；故选：D6 （5 分） （1+xx 2） 10 展开式中 x3 的系数为（ ）A10 B30 C45 D210【解答】解：（1+xx 2） 10=1+（xx 2） 10 的展开式的通项公式为Tr+1= （x x2） r对于（xx 2） r，通项公式为 Tm+1= xrm （x 2） m，令 r+m=3，根据 0mr，r、m
14、为自然数，求得 ，或 （1+xx 2） 10 展开式中 x3 项的系数为 =90+120=30故选：B7 （5 分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为 1，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A4 B8 C12 D16【解答】解：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABCA1B1C1，其中ABC 是等腰直角三角形，AB=AC=2 ，AB AC，AA1平面 ABC，AA 1=2，如图，该三棱柱外接球的半径 R= = = ，该三棱柱外接球的表面积：S=4r2=4 =12故选：C8 （5 分）已知x表示不超过 x 的最大整数，如 0.5=0，1=1，2.4 =2执行如图所示的程序
15、框图，则输出 S 的值为（ ）A450 B460 C495 D550【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出 S= + + + 的值，S= + + + + =100+101+102+109+10=10+20+30+90+10=460故选：B9 （5 分）已知函数 （m，n 为整数）的图象如图所示，则 m，n的值可能为（ ）Am=2，n=1 Bm=2，n=1 Cm=1，n=1 Dm=1 ，n= 1【解答】解：根据图象可得 f（1）= （1，2） ，当 n=1 时，不满足，故排除 A，D；当 m=n=1 时， f（x ）= ， 恒成立，故函数 f（x ）无极值点，故不符合题意，故
16、选：B10 （5 分）已知 f（x ）=cosx ， （ 0）的图象关于点 对称，且f（x）在区间 上单调，则 的值为（ ）A1 B2 C D【解答】解：f（x）的图象关于（ ，0）对称，cos =0， = +k，kZ，解得 = + ，kZ；令 k x+k，解得 x + ，k Z；f（ x）在0， 上是单调减函数，f（ x）在（0， ）上单调， ，解得 ；又0，= 故选：D11 （5 分）已知抛物线 和圆 ，直线 y=k（x1）与C1，C 2 依次相交于 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4）四点（其中 x1x 2x 3x 4） ，则|A
17、B| |CD|的值为（ ）A1 B2 C Dk 2【解答】解：y 2=4x，焦点 F（1，0） ，准线 l0： x=1由定义得：|AF|=x A+1，又|AF|= |AB|+1，|AB|=x A，同理：|CD|=x D，由题意可知直线 l 的斜率存在且不等于 0，则直线 l 的方程为：y=k（x 1）代入抛物线方程，得：k 2x2（2k 2+4）x +k2=0，x AxD=1，则|AB| |CD|=1综上所述，|AB|CD|=1，故选：A12 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 AA1，BB 1，CC 1，分别交
18、于三点 M，N，Q，若MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A B3 C D4【解答】解：如图，不妨设 N 在 B 处，AM=h ，CQ=m，则有 MB2=h2+4，BQ 2=m2+4，MQ 2=（h m） 2+4由 MB2=，=BQ 2+MQ2m2hm+2=0=h 280h 28该直角三角形斜边 MB= 故选：C二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， E 为边 BC 的中点，则= 3 【解答】解：E 为等边三角形 ABCBC 的中点，BAE=30 ，AE= ， =| | |cos30=2 co
19、s30=3，故答案为：314 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 C 时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 C（2，0）将 C（ 2，0）的坐标代入目标函数 z=2x+y，得 z=22+0=4即 z=2x+y 的最大值为 4故答案为：415 （5 分）已知双曲线 E 经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线 E 的离心率为 【解答】解：根据题意，如图：设双曲
20、线 E 经过的正方形的四个顶点为A、B 、C、D，其 A 在第一象限，双曲线的两个焦点为 F1、F 2，连接 AF1，若双曲线的焦距等于该正方形的边长，则有|F 1F2|=2c，|AF2|=c，则有|AF 1|= c，则 2a=|AF1|AF2|=（ 1）c，则双曲线的离心率 e= = ；故答案为：16 （5 分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第 i 行第 j 列的数则 112 在这“等差数阵”中出现的次数为 7 4 7 10 a1j 7 12 17 a2j 10 17 24 a3j ai1 ai2 a i3 a ij 【解答】解：根据图象和每行、每列
21、都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列：a 1j=4+3（j1） ，第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列：a 2j=7+5（j1）第 i 行是首项为 4+3（i1） ，公差为 2i+1 的等差数列，因此 aij=4+3（i1）+（2i+1） （j1）=2ij+i+j，要找 112 在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数 i，j，使得 2ij+i+j=112，所以 j= ，当 i=1 时，j=37，当 i=2 时，j=22，当 i=4 时，j=12，当 i=7 时，j=7 ，当 i=12 时，j=4，当 i=22 时，j=2，当 i=37 时，j=1112 在
22、这“等差数阵” 中出现的次数为 7故答案为：7三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中， ，点 D 在 AB 边上，且BCD 为锐角，CD=2，BCD 的面积为 4（1）求 cosBCD 的值；（2）求边 AC 的长【解答】解：（1） ，则： ， ；（2）在BCD 中， ，由余弦定理得：DB 2=CD2+BC22CDBCcosBCD=16，即 DB=4，DB 2+CD2=BC2，BCD=90，即ACD 为直角三角形，A=30，AC=2CD=418 （12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 为矩形
23、，四边形 ABCD为梯形，ABCD，平面 CBE 与平面 BDE 垂直，且 CBBE（1）求证：ED平面 ABCD；（2）若 ABAD，AB=AD=1，且平面 BCE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为，求 AF 的长【解答】证明：（1）因为平面 CBE 与平面 BDE 垂直，且 CB BE，平面 CBE 与平面 BDE 的交线为 BE，所以 CB面 BDE，又 ED面 BDE，所以，CBED，在矩形 ADEF 中，ED AD，又四边形 ABCD 为梯形，AB CD ，所以 AD 与 CB 相交，故 ED平面 ABCD解：（2）由（1）知，ED 垂直 DA，ED 垂直 DC，又 AD 垂
24、直 AB，AB 平行 CD，所以 DC 垂直 DA，如图，以 D 为坐标原点，DA、DC、DE 分别为 x， y，z 轴建立空间坐标系又 CB BD，CDB=45，所以 DC=2，设 DE=a，则 B（1 ，1，0） ，C（0，2，0） ，E（0，0，a） ，=（ 1，1，a） ， =（ 1，1 ，0）设平面 BEC 的法向量为 ，则 ，令 x=1，则 ，所以平面 BEC 的法向量为，平面 ADEF 的法向量为 ，因为平面 BCE 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为 ，则 ，即 ，解得 a=1，即 AF=DE=119 （12 分）某协会对 A，B 两家服务机构进行满意度调查，在 A，B
25、两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了 1000 人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为 60 分整理评分数据，将分数以 10 为组距分成 6 组：0，10 ） ，10，20） ，20，30） ，30 ，40） ，40 ，50 ） ，50，60，得到 A 服务机构分数的频数分布表，B 服务机构分数的频率分布直方图：A 服务机构分数的频数分布表分数区间频数0， 10）2010，20）3020，30）5030，40）15040，50）40050，60350定义市民对服务机构评价的“满意度指数” 如下：分数 0， 30） 30，50 ） 50，60 满意度指数 0 1 2（1）在抽样的 1
26、000 人中，求对 B 服务机构评价“满意度指数”为 0 的人数；（2）从在 A，B 两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取 1 人进行调查，试估计其对 B 服务机构评价的 “满意度指数”比对 A 服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从 A，B 服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由【解答】解：（1）由对 B 服务机构的频率分布直方图，得：对 B 服务机构“ 满意度指数”为 0 的频率为（0.003+0.005+0.012）10=0.2 ，所以，对 B 服务机构评价 “满意度指数”为 0 的人数为 10000.2=200 人（2）设“对 B 服务机构评价 满意度指数
27、比对 A 服务机构评价满意度指数 高”为事件 C记“对 B 服务机构评价 满意度指数 为 1”为事件 B1；“ 对 B 服务机构评价 满意度指数为 2”为事件 B2；“对 A 服务机构评价 满意度指数 为 0”为事件 A0； “对 A 服务机构评价满意度指数 为 1”为事件 A1所以 P（B 1）= （0.02 +0.02）10=0.4，P（B 2）=0.4 ，由用频率估计概率得：P（A 0）=0.1，P （A 1）=0.55，因为事件 Ai 与 Bj 相互独立，其中 i=1，2，j=0，1所以 P（C）=P（B 1A0+B2A0+B2A1）=0.3，所以该学生对 B 服务机构评价的 “满意度
28、指数”比对 A 服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3（3）如果从学生对 A，B 两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：B 服务机构“满意度指数 ”X 的分布列为：X 0 1 2P 0.2 0.4 0.4A 服务机构“满意度指数 ”Y 的分布列为：Y 0 1 2P 0.1 0.55 0.35因为 E（X）=00.2 +10.4+20.4=1.2；E （Y ）=00.1+10.55+20.35=1.25，所以 E（X）E（Y） ，会选择 A 服务机构20 （12 分）已知椭圆 与直线 l：bx ay=0 都经过点直线 m 与 l 平行，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 MA，
29、MB与 x 轴分别交于 E，F 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）证明：MEF 为等腰三角形【解答】解：（1）由直线 l：bx ay=0 都经过点 ，则 a=2b，将 代入椭圆方程： ，解得：b 2=4，a 2=16，椭圆 C 的方程为 ；（2）证明：设直线 m 为： ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）联立： ，整理得 x2+2tx+2t28=0，x 1+x2=2t，x 1x2=2t28，设直线 MA，MB 的斜率为 kMA，k MB，要证MEF 为等腰三角形，只需 kMA+kMB=0，由 ，kMA+kMB= ， =0，所以MEF 为等腰三角形21 （12 分）已知函数 f（ x
30、）=lnx +a（x 1） 2（a0） （1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点 x0，证明： 【解答】解：（1） ，当 0a2 时，f（x）0，y=f （x ）在（0，+）上单调递增，当 a2 时，设 2ax22ax+1=0 的两个根为 ，且，y=f（x）在（0，x 1） ， （x 2，+）单调递増，在（x 1，x 2）单调递减（2）证明：依题可知 f（1）=0 ，若 f（x）在区间（ 0，1）内有唯一的零点 x0，由（1）可知 a2，且 于是： 由得 ，设 ，则 ，因此 g（ x）在 上单调递减，又 ，根据零点存在定理，故 请考生在 22、23 两题中
31、任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 =4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是（t 为参数） （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值【解答】选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分（10 分） ，第（1）问（5 分），第（2）问 5 分）解：（1）由曲线 C 的极坐标方程是 =4cos，得 2=4cosx 2+y2=2，x=cos，y=sin，曲线 C 的直
32、角坐标方程为 x2+y24x=0，即（x2） 2+y2=4（2）将直线 l 的参数方程 （t 为参数）代入圆的方程，得：（tcos1） 2+（tsin） 2=4，化简得 t22tcos3=0设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，则 ，|AB|=|t 1t2|= = = ，4cos2=1，解得 cos ， 或 选修 4-5：不等式选讲.23已知函数 f（x ）=|2x+1 |x|+a，（1）若 a=1，求不等式 f（x ）0 的解集；（2）若方程 f（x）=2x 有三个不同的解，求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=1 时，不等式 f（x ）0 可化为：|2x+1|x|10， 或 或 ，（3 分）解得：x2 或 x0， （4 分）不等式的解集为（， 20，+） （5 分）（2）由 f（x）=2x 得：a=2x+|x |2x+1|，令 g（ x）=2x+|x|2x+1|，则： ，（7 分）作出函数 y=g（x）的图象如图示，易知 ，结合图象知：当 时，函数 y=a 与 y=g（x）的图象有三个不同交点，即方程 f（x ）=2x 有三个不同的解， （9 分）a 的取值范围为 （ 10 分）
