1、 函数定义 定 义 域 区 间对 应 法 则值 域 一 元 二 次 函 数一 元 二 次 不 等 式映射函数 性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性 指数函数 根 式 分 数 指 数指 数 函 数 的 图 像 和 性 质 指 数 方 程对 数 方 程反函数 互 为 反 函 数 的函 数 图 像 关 系 对数函数 对 数 对 数 的 性 质积 、 商 、 幂 与根 的 对 数对 数 恒 等 式和 不 等 式常 用 对 数自 然 对 数对 数 函 数 的 图 像 和 性 质函数概念（一）知识梳理1映射的概念设 BA、 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的任意元素，在集合 B中都有唯
2、一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 A到 B的映射，通常记为 f: ， f 表示对应法则注意：A 中元素必须都有象且唯一； B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2函数的概念(1)函数的定义：设 B、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的每一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A到 B的一个函数，通常记为 Afy),(2)函数的定义域、值域在函数 Axfy),(中， 叫做自变量， x的取值范围 叫做 )(xfy的定义域；与 x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 Axf)(称为函数 )(xfy的值域。(3)函数的三
3、要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点 1：映射的概念例 1 （1） ， ， ；AR|0By:|fxy（2） ， ， ；*|2,xN|,N2:fxyx（3） ， ， |0|yR:fxy上述三个对应 是 到 的映射AB例 2若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个， 到4,31,cba,ABBA
4、A的函数有 个B例 3设集合 ， ，如果从 到 的映射 满足条件：对 中的每个元素,0M2,10,NMNfM与它在 中的象 的和都为奇数，则映射 的个数是（ ）xN()fxf8 个 12 个 16 个 18 个()AB()C()D考点 2：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） 2)(xf， 3)(xg；（2） f， ;01,（3） 12)(nxf， 12)()nxg（ nN *） ；（4） ， ；（5） 12)(xf， 12)(tt考点 3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数） ，则用待定系数法；（2）若已知复合函数 )(
5、xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 )(xf题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 1已知二次函数 )(xf满足 564)12(2xf ，求 )(xf（三种方法）例 2 （09 湖北改编）已知 f= 2，则 )(f的解析式可取为 题型 2：求抽象函数解析式 例 1已知函数 )(xf满足 xff3)1(，求 )(f考点 4：求函数的定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为 0； 对数的真数必须为正； 偶次根式中
6、被开方数应为非负数； 零指数幂中，底数不等于 0； 负分数指数幂中，底数应大于 0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例 1.（08 年湖北）函数 )(xf )4323ln(122xx的定义域为( )A. ,2)4,(;B. ),0,4；C. 1,0(),4;D. 1,0,题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域例 1 （2007湖北）设 xxf2lg，则 xff2的定义域为（ ）A. 4,0,； B. 4,1,； C. ,1,； D. 4,2,例
7、 2已知函数 )(xfy的定义域为 ba， ，求 )2(xfy的定义域例 3已知 2的定义域是 ， ，求函数 的定义域例 4已知 的定义域是（-2，0） ，求 的定义域(1)yfx(1)yfx考点 5：求函数的值域1 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为） “二次函数型”的函数常用配方法，如求函数 4cos2sinxy，可变为 2)1(cos4cs2sinxxy 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 )32(log21xy就是利用函数 uy21log和 32x的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 2xy
8、的值域 3,21（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 1cos32xy的值域，因为（5）利用基本不等式求值域： 如求函数 432xy的值域（6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数 )2,(2的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数 ， 的最小值。3)40fxx3,（48）（9）对勾函数法 像 y=x+ ， （m0）的函数，m0 时，抛物线开口向上，函数在 上单调递减，在 上单调递增， 时，2,(ab),x；abcxf4)(2min（2）a0) ，(1)x1,x2,则0)(/afb0)(
9、/afb(3) (0(0(0(0)的解集为 或者是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(,)(,)(,)（二）考点分析考点 1求二次函数的解析式例 1已知二次函数 f(x)满足 f(2)= -1，f(-1)= -1 且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数。法一：利用一般式设 f(x)=ax2+bx+c(a0)，由题意得： 解得： f(x)= - 4x 2+4x+78412abc74cba法二：利用顶点式f(2)= f(-1) 对称轴 又最大值是 82)1(x可设 ，由 f(2)= -1 可得 a= - 4 08)21()aaxf 748)21(4)2xxf法三：由已知 f(
10、x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1，故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)即 f(x)=ax2-ax-2a-1,又得 a= - 4 或 a=0(舍) f(x)= - 4x 2+4x+74)(8max ay即例 2已知二次函数的对称轴为 ，截 轴上的弦长为 ，且过点 ，求函数的解析式2xx4(0,1)解：二次函数的对称轴为 ，设所求函数为 ，又 截 轴上的弦长为 ，2()faxb(fx4 过点 ， 又过点 ，()fx2,0)(fx(0,1) ， ，41aba 2()fx考点 2二次函数在区间上的最值问题例 1已知函数 f(x)= - x2+2ax+1-a 在 0x1 时有最大值
11、2，求 a 的值。例 2已知 y=f(x)=x2-2x+3,当 xt,t+1时，求函数的最大值和最小值。例 3已知函数 的最大值为 ，求 的值 1sini42ayxa考点 3一元二次方程根的分布及取值范围例 1已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求 m 的取值范围。(2)若方程两根在区间（0，1）内，求 m 的范围。思 维 分 析 ： 一 般 需 从 三 个 方 面 考 虑 判 别 式 区 间 端 点 函 数 值 的 正 负 对 称 轴 与 区 间 相 对 位 置 。abx2练习：方程 在（- 1，1）
12、上有实根，求 k 的取值范围。kx23【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例 2 已知函数 与非负 轴至少有一个交点，求 的取值范围22()(1)fxaxxa指数与指数函数（一）知识梳理1指数运算； ； ； ； ；mna1mna0arsrsa(0,)sQ、 (rsra(0,)sQ、()rsb(,)rsQ、2.指数函数： （ ） ，定义域 R，值域为（ ）.当 ，指数函数： 在定xay0,1,01axay义域上为增函数；当 ，指数函数： 在定义域
13、上为减函数.当 时， 的 值xay越大，越靠近 轴；当 时，则相反.（二）考点分析例 1已知下列不等式，比较 ， 的大小：（1） (2)mn2mn0.2.mn变式 1：设 ，那么 （ ）()2baA.a a b B.a b aaC.a a b D.a b a例 2函数 在0，1 上的最大值与最小值的和为 3，则 的值为（ ）xyA B.2 C.4 D.114例 3已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线 对称，记)(xf xay01axy若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）12)(fxg )(g2,aA B C D ,2,)0()21,0(对数与对数函数（一）知识梳理1对
14、数运算：； ； ；log()loglaaaMNNlogllogaaaMNllognaaM； ； ；llnaaloga llba换 底 公 式 ： ll1abca推 论 ：2对数函数：如果 （ ）的 次幂等于 ，就是 ，数 就叫做以 为底的 的对数，记作0,1bNbN（ ，负数和零没有对数） ；其中 叫底数， 叫真数.bNalog,aa当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.1xylogx01（二）考点分析例 1已知函数 ， ，且()l(1)afx(log()axx)a（1） 求函数 定义域g（2） 判断函数 的奇偶性，并说明理由.()fx例 2已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是
15、 314,()logaf(,)aA. B. C. D.0,10,),)731,7例 3若 ，且 ，求实数 的取值范围.log(4a1a变式 1：若 ，则 的取值范围是 （ ）0log2aA B C D),2(),1()1,2()21,0(幂函数（一）知识梳理 1、幂函数的概念一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数yx()Rx2、幂函数的图像及性质 2yx3y12y1yx定义域 R R R |0x|0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数 的图像在第一象限的分布规律是：yx(,)R是
16、 常 数所有幂函数 的图像都过点 ；是 常 数 (1,)当 时函数 的图像都过原点 ；0yx(0,)当 时， 的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如 ） ；1 2c当 时， 的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如 ）2,3yx 1当 时， 的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如 ）3c当 时， 的的图像不过原点 ，且在第一象限是“下滑”曲线（如 ）1yx(0,) 4c3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展当 时，幂函数 有下列性质：0（1）图象都通过点 ， ；(,0)1,（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内， 时，图象是向下凸的； 时，图象是向上凸的；10（4）在第一象限内，过点 后，
17、图象向右上方无限伸展。(,)当 时，幂函数 有下列性质：0yx（1）图象都通过点 ；(1,)（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近；向右无限地与 轴无限地接近；yx（4）在第一象限内，过点 后， 越大，图象下落的速度越快。(,)无论 取任何实数，幂函数 的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。x（二）考点分析考点 1：利用幂函数的单调性比较大小例 1已知 ，试比较 的大小；01,0.2例 2已知点 在幂函数 的图象上，点 ，在幂函数 的图象上(2)，()fx124，()gx问当 x 为何值时有：（） ；（） ；（） ()fg()fx(
18、)fgx函数图象（一）知识梳理1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势） ；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j要把表列在关键处，要把线连在恰当处 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等
19、理论和手段，是一个难点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数 ()yfxa的图像可以把函数 ()yfx的图像沿 轴方向向左 (0)a或向右(0)a平移 |个单位即可得到；1）y=f( x)h左 移y=f(x+h)；2）y=f (x) h右 移y=f(xh)；、竖直平移：函数 ()yfxa的图像可以把函数 ()yfx的图像沿 轴方向向上 (0)a或向下(0)a平移 |个单位即可得到；1）y =f(x) h上 移y
20、=f(x)+h；2）y=f(x ) h下 移y=f(x)h 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j。对称变换：、函数 ()f的图像可以将函数 ()f的图像关于 轴对称即可得到；y=f(x) 轴yy=f(x)、函数 ()yfx的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到；y=f(x) 轴y= f(x)、函数 ()yfx的图像可以将函数 的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原 点 y= f(x)、函数 )(yfx的图像可以将函数 的图像关于直线 y对称得到。y=f(x) xy直 线 x=f(y)、函数 )2(xafy的图像可以将函数 的图像关于直线 ax对称即可得到；y=f(x)
21、a直 线 y=f(2ax)。翻折变换：、函数 |()|f的图像可以将函数 ()yfx的图像的 轴下方部分沿 x轴翻折到 轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留 yfx的 轴上方部分即可得到； y=f(x) cbaoy xy=|f(x)| cbaoy x、函数 (|)yfx的图像可以将函数 ()yf的图像右边沿 y轴翻折到 轴左边替代原 y轴左边部分并保留 )f在 轴右边部分即可得到 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jy=f(x) cbaoy xy=f(|x|) cbaoyx伸缩变换：、函数 ()yafx0的图像可以将函数 ()yf的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (1)a或压缩（
22、 01）为原来的 倍得到；y=f(x) ayy=af(x)、函数 ()yfax0的图像可以将函数 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（ 1）为原来的 a倍得到。f(x) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =f(x) ay=f( x)（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面（二）考点分析例 1 （08 江苏理 14）设函数 3()1()fxaxR，若对于任意的 1,x都有 0)(xf成立，则实数 a的值为 点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与
23、函数图象个关系；例 2 （ 2009 广 东 卷 理 ） 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 v乙甲 和 （如图 2 所示） 那么对于图中给定的 01t和 ，下列判断中一定正确的是 （ ）A. 在 1t时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面C. 在 0t时刻，两车的位置相同D. 时刻后，乙车在甲车前面（2）. (2009 山东卷理)函数xey的图像大致为 ( ). 例3已知函数 )(Rxfy满足 )1()(xff，且当1,x时， 2)，则 y与 5log的图象的交点个数为 （ ） A、2 B、3 C、4 D、5巩固设奇函数 f
24、(x)的定义域为 R，且对任意实数 x 满足 f(x+1)= -f(x)，若当 x0,1时，f(x)=2 x-1,则 f(6log21)= .例 4 （2009 江西卷文）如图所示，一质点 (,)Pxy在 O平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在 x轴上的投影点 0Q的运动速度 ()Vt的图象大致为 ( )A B C DyxO 1-1151x y 1O A xyO11B xyO1 1 C x y 1 1 D OO()VttO()VttO()VttO()Vtt题型 3：函数的图象变换例 5 （2008 全国文，21）21 （本小题满分 12 分）设 aR，函数 23)(xaxf（）若 2是函数
25、)(fy的极值点，求 a的值；（）若函数 ()02gxx， ， ，在 x处取得最大值，求 a的取值范围点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。例 6 （2009 四川卷文）已知函数 )(f是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有)(1)(xfxf，则 25的值是 ( )A. 0 B. 1 C. 1 D. 25题型 4：函数图象应用例 7函数 ()yfx与 ()g的图像如下图：则函数 ()yfxg的图像可能是（ ） y=f(x)oy xy=g(x)oy x oyxoyxoy xoy xAB C D点评：明确函数图像在 x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正
26、、异号为负” 。例 8已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求 b 的范围。点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。题型 5：函数图像变换的应用例 9已知 10a，方程 |log|xax的实根个数为（ ）A2 B3 C4 D2 或 3 或 4点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题” ，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。例 10设 2()|fx，若 0ab，且 ()fab，则 a的取值范围是（ ）A (0,)B (,C (0,4D (0,2)点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则
27、，通过研究函数 2xy的图像和性质，进而得到 2()|fx的图像和性质。2.10 函数与方程（一）知识梳理1函数零点概念：对于函数 )(Dxfy，把使 0)(xf成立的实数 x叫做函数 )(Dxfy的零点。函数零点的意义：函数 的零点就是方程 f实数根，亦即函数 的图象与 x轴交点21oy x的横坐标。即：方程 0)(xf有实数根 函数 )(xfy的图象与 轴有交点 函数 )(xfy有零点。零点存在性定理：如果函数 )(xfy在区间 ,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)(bfa，那么函数 )(xfy在区间 ),(ba内有零点。既存在 )(c，使得 0)(cf，这个 c也就是方程的根
28、。2.二分法二分法及步骤：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 )(af bf0的函数 )(xfy，通过不断地把函数 )(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度 ，用二分法求函数 )(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间 a， b，验证 a bf0，给定精度 ；（2）求区间 (， )的中点 1x；（3）计算 1xf：若 )(= 0，则 就是函数的零点；若 af 1xf ，则令 b= 1x（此时零点 ),(10xa） ；若 )(1 ，则令 a= （此时零点 b） ；（4）判断是否达到精度 ；即若 |ba，则得到零点零点值 （或
29、） ；否则重复步骤 24。（二）考点分析题型 1：方程的根与函数零点例 1 （1）方程 lgx+x=3 的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)（2）设 a 为常数，试讨论方程 )lg()3l()1lg(xa的实根的个数。点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算 0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例 4若函数 )(xfy在区间a,b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A若 0，不存在实数 ),(bac使得 0)(cf；B若 )(f，存在且只存在一个实数 ,使得 )(f；C若 ba，有可能存在实数 )(c使得 c； D若 0)(f，有可能不存在实数 ,ba使得 0)(f；1.（2009 福建文）若函数 fx的零点与 42xg的零点之差的绝对值不超过 0.25， 则 fx可以是A. 41fx B. 2(1)f C. xfe D. fxIn
