1、 g3.1051 三角形中的有关计算和证明一、知识回顾本节公式中， ,r 为内切圆半径，R 为外接圆半径， 为三角形面积.,2abcs（一).三角形中的各种关系设ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C1角与角关系：A+B+C = ，2边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab b3边与角关系： 1）正弦定理 RCBA2sinisin2）余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b 2 = a2+c22accosB ，a 2 = b2+c22bccos A它们的变形形式有：a = 2R sinA， ， bAsios3）射影定理： abcosCccosB
2、，bacosCccos A，cacos Bccos A4）正切定理： 2sintg.(轮换)5）模尔外得公式： ;cosi,sicCba6）半角定理： A)(2sinbcoasrsatg)(1)(（以上公式均轮换）7）面积公式：)(422sinsin12cbasRabcrCtgBArtgh（二） 、关于三角形内角的常用三角恒等式：1.三角形内角定理的变形由 ABC ，知 A （BC）可得出：sinAsin（BC） ，cosAcos（BC） 而 有： ， 22cosin2sinCBA2.常用的恒等式：（1）sinAsinBsinC4cos cos cos （2）cosA cosBcosC1 4s
3、in sin sin 2AB（3）sinAsinBsinC4sin sin cos C（4）cosA cosBcosC 14cos cos sin 2AB（5）sin2Asin2Bsin2C4sinAsin BsinC（6）cos2A cos2Bcos2C 14cosAcosBcos C（7）sin 2Asin 2Bsin 2C22cos AcosBcosC（8）cos 2Acos 2Bcos 2C 12cosAcosBcos C二、基本训练1、在 中，已知 ，则 .351sin,coscos2、在 中，AB 是 成立的 .条件.i3、在 中，若 ，则 的形状为 .CiABC4、在 中， ，则
4、 .12(ta)(t)2lgsin5、在 中， 分别是角 A、B、C 所对的边，若,bc (abc)(sinAB，则 .sin)asi三、例题分析例 1、在 中， ，求 .ABC4531a,tan(t)si例 2、在 中，已知 ，试判断 的形状. ABC22atnBbtaABC例 3、已知 A、C 是三角形 ABC 的两个内角，且 是方程tanA,的两个实根。 （1）求 的值；（2）求 的取210xp(p)(C)tanAtC 值范围；（3）求 的取值范围.例 4、已知 的三内角 A、B、C 成等差数列，且 ，求12cosACcosB的值 .2ACcos例 5、 （05 湖南卷）已知在ABC 中
5、，sinA（sinBcosB）sinC0， sinBcos2C 0，求角 A、B、C 的大小.四、作业 同步练习 g3.1051 三角形中的有关计算和证明1、 中，A、B 的对边分别是 ，且 ，那么满足条件的 C ab =60 4,a,b ABCA、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定2、在 中，若 ，则 必定是 2sinicosABA、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形3、定义在 R 上的偶函数 满足 ，且在区间 上是减函数，若 A、B 是)(xf )(2(xfxf2,3锐角三角形的两个内角，则 A、 B、cos)(sinff )(cos)(sinBffC
6、、 D、 )(i cA4、 （全国卷）在 中，已知 ，给出以下四个论断： BCAi2tan 1cottan 2sin0 ssi22A CB22co其中正确的是（A） （B） （C） （D ）5、 （江西卷）在OAB 中，O 为坐标原点， ，则当OAB 的2,0(),1(sin),c,1(A面积达最大值时， A B C D64326、在 中，若其面积 ，则 =_。C22abcS7、在 中， ，这个三角形的面积为 ，则 外接圆的直径是0 1, ABC_。8、在 中，若 ，试判断 的形状。AB2a(bcosBC)(bc)os9、在 中， 分别为角 A、B、C 的对边，已知Cc ，又 的面积 ，求 的
7、值。733 2tanABtan,3S=2ab10、已知 是 的三条边，且 ，求abc AC2sin(AB)cb2BCos.11、已知 A、B、C 为 的三个内角，且 ABABf 2sin3cos2sin),(2。2cos（1）当 取得最小值时，求 C；),(f（2）当 时，将函数 按向量 平移后得到函数 ，求向量),(Afpfcos)(。p答案：基本训练、1、 2、充要 3、钝角三角形 4、 5、165 123例题分析、例 1、 例 2、等腰三角形或直角三角形 例 3（1） （2）7， (3) 例 4、03tanA03tanC1p2例 5、解法一 由 得0sin)co(siB .0)sin(c
8、osinsi BABA所以 即.consi AB (因为 所以 ，从而),0(B0sinB.sincoA由 知 从而 .A.443C由 0)(2csi2cosinBC得即 .oin.0B亦 即由此得 所以.125,3,21cs,4A.125,3C解法二：由 )si(csioinBC得由 、 ，所以 即B0c .或 .2BB或由 得 0sin)(siA .0)sin(cosinsi AA所以 .0conB即 因为 ，所以.)co(iBiB.i由 从而 ，知 B+2C= 不合要求.4),0知 43C23再由 ，得 所以21C.125,B,4A.125,C作业、15、CDABD6、 7、 8、等腰三角形或直角三角形 9、 10、239 126411、 （1） 或 （2）C)(3,6(Zkp
