1、2018 年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 A=x|13 x81，B=x |log2（x 2x）1，则 AB=（ ）A （2 ，4 B2，4 C （ ，0）0，4 D （，1）0，42 （5 分）已知复数 z=1i（i 为虚数单位） ，复数 为 z 的共轭复数，则=（ ）A 2i B2i C42i D4+2i3 （5 分）已知函数 ，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A B C D4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 F1，F 2 分别
2、为双曲线的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是 PF1 的中点，且 OMPF 1，2|PF 1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D5 （5 分）设 ， ， ，则 a，b， c 三个数从大到小的排列顺序为（ ）Aa b c Bbac Cb c a Dcab6 （5 分）若函数 f（x ） = sin（2x+）+cos（2x+）为奇函数，且在上为减函数，则 的一个值为（ ）A B C D7 （5 分）将 3 名教师和 3 名学生共 6 人平均分成 3 个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有 1 名教师和 1 名学生的概率为（ ）A B C D8 （5
3、 分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A81 B33 C56 D419 （5 分）已知函数 f（x）=Asin （x+） 的部分图象如图所示，若将函数 f（x ）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位，所得到的函数 g（x）的解析式为（ ）A Bg（x ）=2sin2xC D10 （5 分）已知函数 ，g（x）=f（x） ，则方程 f（x）=g（x）的解的个数为（ ）A4 B3 C2 D111 （5 分）
4、已知抛物线 C：y 2=8x，圆 F：（x2） 2+y2=4，直线 l：y=k （x 2）（k0）自上而下顺次与上述两曲线交于 M1，M 2，M 3，M 4 四点，则下列各式结果为定值的是（ ）A|M 1M3|M2M4| B|FM 1|FM4| C|M 1M2|M3M4|D|FM 1|M1M2|12 （5 分）已知 l1，l 2 分别是函数 f（x）= |lnx|图象上不同的两点 P1，P 2 处的切线，l 1，l 2 分别与 y 轴交于点 A，B ，且 l1 与 l2 垂直相交于点 P，则ABP 的面积的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） B （0，2） C （0，+） D （1，+）二、填
5、空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13 （5 分）已知向量 满足 ， ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 14 （5 分） （x2y+y 2） 6 的展开式中，x 2y5 的系数为 15 （5 分）在平面直角坐标系中，若不等式组 （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 1，则 a 的值为 16 （5 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知b=c，sinB+sin（AC ）=sin2A，若 O 为ABC 所在平面内一点，且 O，C 在直线AB 的异侧，OA=2OB=2，则四边形 OACB 面积的取值范围是 三、解答题：共 70 分.解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 1721 题为必考题，每个考题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17 （12 分）在数列a n中， a1=1， （）设 ，求数列b n的通项公式；（）求数列a n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC=60，PDC=90，E 为棱 AP 的中点，且 ADCE（）求证：平面 PAD平面 ABCD；（）当直线 PB 与底面 ABCD 成 30角时，求二面角 BCEP 的余弦值19 （12 分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于
7、 2012 年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量 2160 度以下（含2160 度） ，执行第一档电价 0.5653 元/度；第二阶梯电量：年用电量 2161 至4200 度（含 4200 度） ，执行第二档电价 0.6153 元/度；第三阶梯电量：年用电量 4200 度以上，执行第三档电价 0.8653 元/度某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取 10 户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：用户编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年用电量（度）1000 1260 1400 1824 2180 2423 2815 3325
8、4411 4600（）试计算表中编号为 10 的用电户本年度应交电费多少元？（）现要在这 10 户家庭中任意选取 4 户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（）以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取 10 户，若抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值20 （12 分）已知椭圆 的右顶点为 A，上顶点为 B，离心率 ，O 为坐标原点，圆 与直线 AB 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）已知四边形 ABCD 内接于椭圆 E，AB DC记直线 AC，BD 的斜率分别为k1，k 2，试问 k1k2 是否为定
9、值？证明你的结论21 （12 分）已知函数 ，函数 g（x）=2x+3（）判断函数 的单调性；（）若2a1 时，对任意 x1，x 21，2 ，不等式|f （x 1）f（x 2）|t|g（x 1）g（x 2）|恒成立，求实数 t 的最小值选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 32cos2+42sin2=12，且直线 l 与曲线 C 交于 P，Q
10、 两点（）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；（）把直线 l 与 x 轴的交点记为 A，求|AP|AQ|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 （）当 m=0 时，求函数 f（x ）的最小值；（）若函数 f（x）5 在 x1，4上恒成立，求实数 m 的取值范围2018 年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 A=x|13 x81，B=x |log2（x 2x）1，则 AB=（ ）A （2 ，4 B2，4 C （ ，0）0，4
11、D （，1）0，4【解答】解：A=x|13 x81x |0x4，B=x|log2（x 2x）1= x|x2x2=x |x2 或 x1，则 AB=x |2x4，故选：A2 （5 分）已知复数 z=1i（i 为虚数单位） ，复数 为 z 的共轭复数，则=（ ）A 2i B2i C42i D4+2i【解答】解：由 z=1i，得 ，则 = = 故选：C3 （5 分）已知函数 ，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A B C D【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S= + + 的值，可得：S= + +=（ 1 ）+（ ）+（ ）=1 = 故选：B4 （5 分）在平
12、面直角坐标系 xOy 中，设 F1，F 2 分别为双曲线的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是 PF1 的中点，且 OMPF 1，2|PF 1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【解答】解：P 为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF 2|PF1|=2a，由|PF 2|=2|PF1|，则|PF 2|=4a，|PF 1|=2a，M 是 PF1 的中点，且 OMPF 1由PF 1F2 为直角三角形，则|PF 2|2+|=|PF2|2，=|F 1F2|25a 2=c2即有 e= 故选：B5 （5 分）设 ， ， ，则 a，b， c 三个数从大到小的排列顺序为（ ）
13、Aa b c Bbac Cb c a Dcab【解答】解：b= = = ln =ln =a，a= =cbac 故选：B6 （5 分）若函数 f（x ） = sin（2x+）+cos（2x+）为奇函数，且在上为减函数，则 的一个值为（ ）A B C D【解答】解：f（x）= sin（2x+）+cos（2x+）=2sin（2x+ ）为奇函数，故有 + =k，即：=k （kZ） ，可淘汰 A、C 选项，然后分别将 B 和 C 选项代入检验，易知当 = 时，f（x）= 2sin2x 其在区间 ，0上递减，故选：C7 （5 分）将 3 名教师和 3 名学生共 6 人平均分成 3 个小组，分别安排到三个社
14、区参加社会实践活动，则每个小组恰好有 1 名教师和 1 名学生的概率为（ ）A B C D【解答】解：将 3 名教师和 3 名学生共 6 人平均分成 3 个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数 n= =90，每个小组恰好有 1 名教师和 1 名学生包含的基本事件个数m= =36，每个小组恰好有 1 名教师和 1 名学生的概率为 p= = = 故选：B8 （5 分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A81 B33 C
15、56 D41【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，下底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，侧面 PAD 为等腰三角形，且平面 PAD平面 ABCD棱锥的高为 1，设三角形 PAD 的外心为 G，则 =2PG，PG= 再设该四棱锥外接球的半径为 R，则则该几何体的外接球的表面积为 故选：D9 （5 分）已知函数 f（x）=Asin （x+） 的部分图象如图所示，若将函数 f（x ）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位，所得到的函数 g（x）的解析式为（ ）A Bg（x ）=2sin2xC D【解答】解：由题设图象知，A=2，周期 T=4（x 0+x
16、0）=4，= = 点（0，1）在函数图象上，2sin（）=1，即 sin（）= 又0 ，= 故函数 f（x ）的解析式为 f（x）=2sin（ x+ ） ，将图象横坐标缩短到原来的 ，可得 2sin（2x+ ） ，再向右平移 个单位，可得 2sin2（x ）+ =2sin（2x ） ，即 g（ x）=2sin （2x ） ，故选：D10 （5 分）已知函数 ，g（x）=f（x） ，则方程 f（x）=g（x）的解的个数为（ ）A4 B3 C2 D1【解答】解：函数 的图象如图所示，由 g（ x）= f（x） ，可得 g（x）和 f（x ）的图象关于原点对称，作出 y=g（x ）的图象，可得 y=
17、f（x）和 y=g（x ）的图象有 4 个交点，则方程 f（x ）=g（x）的解的个数为 4故选：A11 （5 分）已知抛物线 C：y 2=8x，圆 F：（x2） 2+y2=4，直线 l：y=k （x 2）（k0）自上而下顺次与上述两曲线交于 M1，M 2，M 3，M 4 四点，则下列各式结果为定值的是（ ）A|M 1M3|M2M4| B|FM 1|FM4| C|M 1M2|M3M4|D|FM 1|M1M2|【解答】解：分别设 M1，M 2，M 3，M 4 四点横坐标为 x1，x 2，x 3，x 4，由 y2=8x 可得焦点 F（2 ， 0） ，准线 l0：x= 2由定义得：|M 1F|=x1
18、+2，又|M 1F|=|M1M2|+2，|M 1M2|=x1，同理：|M 3M4|=x4，将 y=k（x 2）时，代入抛物线方程，得：k 2x2（4k 2+8）x +4k2=0，x 1x2=4，|M 1M2|M3M4|=4故选：C12 （5 分）已知 l1，l 2 分别是函数 f（x）= |lnx|图象上不同的两点 P1，P 2 处的切线，l 1，l 2 分别与 y 轴交于点 A，B ，且 l1 与 l2 垂直相交于点 P，则ABP 的面积的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） B （0，2） C （0，+） D （1，+）【解答】解：设 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） （0
19、x 11x 2） ，当 0x1 时，f（x ）= ，当 x1 时，f（x）= ，l 1 的斜率 k1= ，l 2 的斜率 k2= ，l 1 与 l2 垂直，且 x2x 1 0，k 1k2= =1，即 x1x2=1直线 l1：y= （xx 1）lnx 1，l 2：y= （xx 2）+lnx 2取 x=0 分别得到 A（0，1 lnx1） ，B（0， 1+lnx2） ，|AB|=|1lnx1（1+lnx 2）|=|2 （lnx 1+lnx2）|=|2lnx 1x2|=2联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x= ，S PAB = |AB|xP|= 2 = ，函数 y=x+ 在（0 ，1）上为减函
20、数，且 0x 11，x 1+ 1+1=2，则 0 ，0 1PAB 的面积的取值范围是（0，1） 故选：A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13 （5 分）已知向量 满足 ， ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 【解答】解： ， ， =2又即设向量 与 的夹角为 则 cos= = 0， =故答案为：14 （5 分） （x2y+y 2） 6 的展开式中，x 2y5 的系数为 480 【解答】解：通项公式 Tr+1= ，令 6r=2，解得 r=4T 5= 又（y 22y） 4=（y 2） 4 2y+ + ，x 2y5 的系数为 （ 23）= 480故答案为：48015 （
21、5 分）在平面直角坐标系中，若不等式组 （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 1，则 a 的值为 1 【解答】解：当 a0 时，不等式组所表示的平面区域，如图中的 M，一个无限的角形区域，面积不可能为 2，故只能 a0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的 N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为 1，则 AB=2，即点 B 的坐标为（1，2） ，代入 y=ax+1 得 a=1故答案为：1；16 （5 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，已知b=c，sinB+sin（AC ）=sin2A，若 O 为ABC 所在平面内一点，且 O，C 在直线AB 的异侧，OA
22、=2OB=2，则四边形 OACB 面积的取值范围是 【解答】解：根据 sinB+sin（A C）=sin2A，可得 sin（A+C）+sin （A C）=sin2A，可得 2sinAcosC=2sinAcosA，即 cosC=cosA，那么 b=c=a，三角形ABC 时等边三角由 OA=2OB=2，四边形 OACB 面积 S= AOOBsinAOB+ bcsinA，则四边形 OACB 面积 S= +sinAOB= （54cosAOB ）+sinAOB=sinAOB cosAOB=2sin（AOB ）0AOB AOB那么： 2sin（AOB ）2OACB 面积的取值范围是故答案为：三、解答题：共
23、 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 1721 题为必考题，每个考题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17 （12 分）在数列a n中， a1=1， （）设 ，求数列b n的通项公式；（）求数列a n的前 n 项和 Sn【解答】解：（I）由已知有 ，又 b1=a1=1，利用累差叠加即可求出数列b n的通项公式： （nN *） ；（II）由（I）知 ，而 ，令 2 得 得 =2+（1n）2 n+1 18 （12 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC=60，PDC=90，E 为棱 AP 的中点，且 ADCE（）求证：平
24、面 PAD平面 ABCD；（）当直线 PB 与底面 ABCD 成 30角时，求二面角 BCEP 的余弦值【解答】 （）证明：取 AD 的中点 O，连 OE，OC，CA ，ABC=60 ，ACD 为等边三角形，得 ADOC，又 ADCE，AD平面 COE，得 ADOE ，又 OEPD，ADPD，又PDC=90，PD 平面 ABCD，又 PD平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD；（）解：由（） 知 OE平面 ABCD，AD OC，以 OC，OD，OE 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设菱形 ABCD 的边长为 2，则 ， ，直线 PB 与底面 ABCD 成 30角，即PBD
25、=30， ， ， ，设 为平面 BCE 的一个法向量，则 ，令 x1=1，则 ， ；设 为平面 PCE 的一个法向量，则 ，令 x2=1，则 ， ，由题可知二面角 BCEP 的平面角为钝角，二面角 BCEP 的余弦值为 19 （12 分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于 2012 年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量 2160 度以下（含2160 度） ，执行第一档电价 0.5653 元/度；第二阶梯电量：年用电量 2161 至4200 度（含 4200 度） ，执行第二档电价 0.6153
26、 元/度；第三阶梯电量：年用电量 4200 度以上，执行第三档电价 0.8653 元/度某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取 10 户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：用户编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年用电量（度）1000 1260 1400 1824 2180 2423 2815 3325 4411 4600（）试计算表中编号为 10 的用电户本年度应交电费多少元？（）现要在这 10 户家庭中任意选取 4 户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（）以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取 10
27、户，若抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值【解答】解：（I）因为第二档电价比第一档电价多 0.05 元/度，第三档电价比第一档电价多 0.3 元/ 度，编号为 10 的用电户一年的用电量是 4600 度，则该户本年度应交电费为：46000.5653+（42002160）0.05 +（4600 4200） 0.3=2822.38 元（II）设取到第二阶梯电量的用户数为 X，可知第二阶梯电量的用户有 4 户，则 X 可取 0，1，2，3，4，故 X 的分布列是：X 0 1 2 3 4P所以 （III）由题意可知从全市中抽取 10 户的用电量为第一阶梯，满足 XB（10， ） ，可
28、知 （k=0 ，1.2.3 10 ） ，抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大， ，解得 ，k N*所以当 k=4 时，概率最大，所以 k=420 （12 分）已知椭圆 的右顶点为 A，上顶点为 B，离心率 ，O 为坐标原点，圆 与直线 AB 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）已知四边形 ABCD 内接于椭圆 E，AB DC记直线 AC，BD 的斜率分别为k1，k 2，试问 k1k2 是否为定值？证明你的结论【解答】解：（I）直线 AB 的方程为 + =1，即 bx+ayab=0，由圆 O 与直线 AB 相切，得 = ，即 = ，设椭圆的半焦距为 c，则 e= = ， =1e2= ，由得
29、a2=4，b 2=1故椭圆的标准方程为 ；（ II）k 1k2= 为定值，证明过程如下：由（I）得直线 AB 的方程为 y= x+1，故可设直线 DC 的方程为 y= x+m，显然 m1设 C（ x1，y 1） ，D （x 2，y 2） 联立 消去 y 得 x22mx+2m22=0，则=84m 20，解得 m ，且 m1，x 1+x2=2m，x 1x2=2m22由 ， ，则 = ，= ，= ，= = 21 （12 分）已知函数 ，函数 g（x）=2x+3（）判断函数 的单调性；（）若2a1 时，对任意 x1，x 21，2 ，不等式|f （x 1）f（x 2）|t|g（x 1）g（x 2）|恒成
30、立，求实数 t 的最小值【解答】解：（I） ，其定义域为为（0，+） ，= （1）当 a0 时，F （x ）0，函数 y=F（x）在（0，+）上单调递增；（2）当 a0 时，令 F（x ）0，解得 ；令 F（x）0，解得 故函数 y=F（x ）在 上单调递增，在 上单调递减（II）由题意知 t0. ，当2 a 1 时，函数 y=f（ x）单调递增，不妨设 1x 1x 22，又函数 y=g（x）单调递减，所以原问题等价于：当2a1 时，对任意 1x 1x 22，不等式 f（x 2）f（x 1）tg（x 1）g（x 2）恒成立，即 f（x 2）+tg（x 2）f（x 1）+tg（x 1）对任意 2
31、a1，1x 1x 22 恒成立记 h（x）=f（x）+tg（x ）=lnx +（12t）x +3t，则 h（x）在1，2上单调递减得 对任意 a2，1，x1，2恒成立令 ，a2，1，则 2t0 在x（0，+）上恒成立则 2t1（2x+ ） max，而 y=2x+ 在1，2上单调递增，所以函数 y=2x+ 在1 ，2 上的最大值为 由 2t1 ，解得 t 故实数 t 的最小值为 选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，以
32、O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 32cos2+42sin2=12，且直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点（）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；（）把直线 l 与 x 轴的交点记为 A，求|AP|AQ|的值【解答】解：（）直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，直线 l 消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 xy1=0，曲线 C 的极坐标方程为 32cos2+42sin2=12，曲线 C 的直角坐标方程为 3x2+4y2=12（II）解法一：在 xy1=0 中，令 y=0，得 x=1，则 A（1，0） ，联立 ，消去 y，得 7x
33、28x8=0设 P（ x1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，其中 x1x 2，则有 x1+x2= ，x 1x2= |AP|= |x11|= （x 11） ，|AQ|= |x21|= （ x21） ，故|AP| |AQ|=2（x 11） （ x21）=2x 1x2（x 1+x2）+ 1= 解法二：把 ，代入 3x2+4y2=12，得 14t2+6 9=0，则 t1t2= ，则|AP| |AQ|=（ 2t1） （2t 2）= 4t1t2= 选修 4-5：不等式选讲23已知函数 （）当 m=0 时，求函数 f（x ）的最小值；（）若函数 f（x）5 在 x1，4上恒成立，求实数 m 的取值范围【解答】解：（）当 m=0 时， ，当且仅当 ，即 x=2 时等式成立，所以，当 x=2 时，f（x） min=4（）当 x1，4时，函数 f（x）的最大值为 5 在 x1，4上恒成立， 在 x1，4上恒成立， 在 x1，4上恒成立， ，且 在 x1，4上恒成立，函数 在1，2上单调递减，在2，4上单调递增 ，当且仅当 x=2 时等式成立，而 在 x1，4上是恒成立的2m54 ，即实数 m 的取值范围是
