1、1提能专训(十一) 数列的通项与求和一、选择题1(2014漳州七校联考)若数列 an的通项公式是 an(1) n(3n2)，则a1 a2 a10( )A15 B12 C12 D15答案 A解析 an an1(1) n(3n2)(1) n1 (3n1)(1) n(3n23 n1)3(1) n， a1 a2 a103333315.2(2014西工大附中一模)已知等差数列 an中， Sn为其前 n 项和，若a13， S5 S10，则当 Sn取到最小值时 n 的值为( )A5 B7 C8 D7 或 8答案 D解析 由 S5 S10，得 a6 a7 a8 a9 a100， a80.又 a13， S7 S
2、8为最小值 Sn取到最小值时 n 的值为 7 或 8，故选 D3(2014阜新二模)已知数列 an中， a11,2 nan1 ( n1) an，则数列 an的通项公式为( )A. B.n2n n2n 1C. D.n2n 1 n 12n答案 B解析 an a1 1 .故anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a2a1 n2 n 1 n 12 n 3 221 n2n 1选 B.4(2014江西十校联考二)等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若S2n4( a1 a3 a2n1 )， a1a2a327，则 a6( )A27 B81 C243 D729答案 C2解析 设等比数列 an的公比为
3、 q，依题意有Error!解得Error! ，所以 a6 a1q53 5243，故选 C.巧解：设等比数列 an的公比为 q，依题意有偶数项的和等于奇数项的和的 3 倍，所以 ，所以 a23 a1，所以 q3，因为a21 q2 n1 q2 3a11 q2 n1 q2a1a3 a ， a1a2a327，所以 a23，所以 a6 a2q43 5243，故选 C.25(2014唐山一模)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1 a3 ， a2 a4 ，则52 54( )SnanA4 n1 B4 n1 C2 n1 D2 n1答案 D解析 Error!Error!由 ，可得 2，解得 q ，代
4、入得 a12， 1 q2q q3 12 an2 n1 ，(12) 42n Sn 4 ，21 (12)n1 12 (1 12n) 2 n1，故选 D.Snan4(1 12n)42n6(2014皖西七校联合考试)已知数列 an是等差数列， a1tan 225， a513 a1，设 Sn为数列(1) nan的前 n 项和，则 S2 014( )A2 014 B2 014 C3 021 D3 021答案 C解析 a1tan 2251， a513 a113，则公差 d 3，a5 a15 1 13 14 an3 n2.解法一：(1) nan(1) n(3n2)， S2 014( a2 a1)( a4 a3
5、)( a6 a5)( a2 012 a2 011)( a2 014 a2 013)1 007 d3 021，故选 C.3解法二(错位相减)：由于(1) nan(1) n(3n2)，则 S2 0141(1) 14(1)27(1) 36 037(1) 2 0136 040(1) 2 014，式两边分别乘1，得(1) S2 0141(1) 24(1) 37(1) 46 037(1) 2 0146 040(1) 2 015，得 2S2 01413 6 040(1) 2 0156 042，1 1 2 0131 1 S2 0143 021.7(2014山大附中高三月考)已知数列 an满足 anlog n1
6、 (n2)( nN *)，定义使a1a2a3ak为整数的数 k(kN *)叫做幸运数，则 k1,2 014内所有的幸运数的和为( )A1 013 B1 560 C2 026 D2 088答案 C解析 由题可得 a1a2a3aklog 23log34log45logk1 (k2) lg 3lg 2 lg 4lg 3 lg 5lg 4 lg k 2lg k 1log 2(k2)为整数，即 log2(k2) m， mZ，则 k2 m2，结合 k1,2014，则k2,6,14,30,62,126,254,510,1 022，所以 261430621262545101 022(2 22 32 10)18
7、2 026，故选 C.8(2014天津一中月考)若(12 x)2 010 a0 a1x a2 010x2 010(xR)，则 的值为( )a12 a222 a2 010a2 010A2 B0 C1 D2答案 C解析 (12 x)2 0101C 2xC 22x2C 22 010x2 010，12 010 22 010 2 010 C C C (11) 2 a12 a222 a2 01022 010 12 010 22 010 2 010010C 1，故选 C.02 109(2014太原五中模拟)已知数列 an前 n 项和为Sn159131721(1) n1 (4n3)，则 S15 S22 S31
8、的值是( )A13 B76 4C46 D76答案 B解析 Sn159131721(1) n1 (4n3)， S1515913577(4)5729，S22159138511(4)44，S311591312115(4)12161， S15 S22 S3176，故选 B.10设等差数列 an和等比数列 bn首项都是 1，公差与公比都是 2，则ab1 ab2 ab3 ab4 ab5( )A54 B56 C58 D57答案 D解析 由题意 an12( n1)2 n1， bn12 n1 2 n1 ， ab1 ab5 a1 a2 a4 a8 a16137153157，故选 D.11(2014大庆质检)已知数
9、列 an满足 an1 an an1 (n2)， a11， a23，记Sn a1 a2 an，则下列结论正确的是( )A a2 0141， S2 0142 B a2 0143， S2 0145C a2 0143， S2 0142 D a2 0141， S2 0145答案 D解析 由已知数列 an满足 an1 an an1 (n2)，知an2 an1 an， an2 an1 (n2)， an3 an， an6 an，又a11， a23， a32， a41， a53， a62，所以当 kN 时， ak1 ak2 ak3 ak4 ak5 ak6 a1 a2 a3 a4 a5 a60， a2 014 a
10、41， S2 014 a1 a2 a3 a4132(1)5，故选 D.12(2014闵行区一模)若数列 an的前 n 项和为 Sn，有下列命题：(1)若数列 an是递增数列，则数列 Sn也是递增数列；(2)无穷数列 an是递增数列，则至少存在一项 ak，使得 ak0；(3)若 an是等差数列(公差 d0)，则 S1S2Sk0 的充要条件是a1a2ak0；(4)若 an是等比数列，则 S1S2Sk0( k2)的充要条件是 an an1 0.其中，正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D35答案 B解析 (1)错，例如：数列3，2，1,0,1,2,3， Sn不是递增数列(2)错，例如：an ，则
11、 an是递增数列，但 an0.(3)错，例如：等差数列3，2，1,0，有1na1a2a3a40，而 S1S2S3S40.(4)正确，若 an an1 0，则 q1，当 k2时，一定会出现 Sk 0；若 Sk 0，则 qk1.又 q1， k2 时，a1 1 qk1 q a1 1 qk1 q必有 q1，故选 B.二、填空题13(2014广州综合测试)在数列 an中，已知 a11， an1 ，记 Sn为数列1an 1an的前 n 项和，则 S2 014_.答案 2 0112解析 由已知递推公式，可得 a11， a2 ， a32， a41，该数列以 312为周期，即为 1， ，2,1， ，2，故 S2
12、 014671 1 .12 12 (1 12 2) 2 011214(2014新疆检测)公比为 q 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且a2 a420， a3 a540，设 Tn n(Sn q)，则数列 Tn的前 n 项和为_答案 ( n1)2 n2 4解析 依题意，得q 2， a1q a1q310 a120， a12， Sn q 22 n1 ， Tn n2n1 .a3 a5a2 a4 2 1 2n1 2记数列 Tn的前 n 项和为 Bn，则Bn12 222 332 4 n2n1 ，2Bn12 322 4( n1)2 n1 n2n2 ，由，得Bn2 22 32 42 n1 n2n2 n2
13、n2 ( n1)2 n2 4，因此数22 2n 21 2列 Tn的前 n 项和为( n1)2 n2 4.15(2014上海长宁区第一学期教学质量检测)数列 an满足a1 a2 an2 n5， nN *，则 an_.12 122 12n答案 Error!解析 在 a1 a2 an2 n5 中，用 n1 代换 n 得12 122 12n6a1 a2 an1 2( n1)5( n2)，两式相减得 an2， an2 n1 ，又12 122 12n 1 12na17，即 a114，故 anError!1216(2014苏北四市质检)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a4， a3， a5成等差数
14、列，且 Sk33， Sk1 63，其中 kN *，则 Sk2 的值为_答案 129解析 设公比为 q，由 2a3 a4 a5，得 2a3 a3q a3q2. a30， q2 q20. q2 或 q1(舍去) ak1 Sk1 Sk633396， ak2 ak1 q192.Sk2 Sk1 ak2 63192129.三、解答题17(2014临沂质检)设数列 an满足 a12， a2 a48，且对任意的 nN *，都有an an2 2 an1 .(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn的前 n 项和为 Sn，且满足 S1Sn2 bn b1， nN *， b10，求数列 anbn的前 n 项和
15、Tn.解：(1)由 nN *， an an2 2 an1 ，知 an是等差数列，设公差为 d， a12， a2 a48，224 d8，解得 d1. an a1( n1) d2( n1)1 n1.(2)由 nN *， S1Sn2 bn b1知，当 n1 时，有 b 2 b1 b1 b1，21 b10， b11， Sn2 bn1.当 n2 时， Sn1 2 bn1 1.由，得 Sn Sn1 2 bn1(2 bn1 1)2 bn2 bn1 ，即 n2 时， bn2 bn2 bn1 ， bn2 bn1 ，数列 bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列， bn2 n1 . anbn( n1)2 n1 .
16、则 Tn23242 2 n2n2 ( n1)2 n1 ，2Tn2232 242 3 n2n1 ( n1)2 n，得 Tn222 22 n1 ( n1)2 n71 ( n1)2 n n2n，2n 12 1 Tn n2n.18(2014湖北七市联考)已知数列 an是等差数列， bn是等比数列，其中a1 b11， a2 b2，且 b2为 a1， a2的等差中项， a2为 b2， b3的等差中项(1)求数列 an与 bn的通项公式；(2)记 cn (a1 a2 an)(b1 b2 bn)，求数列 cn的前 n 项和 Sn.1n解：(1)设 an的公差为 d， bn的公比为 q.由 2b2 a1 a2,
17、2a2 b2 b3，得 q1， d0 或 q2， d2，又 a2 b2，所以 q2， d2，所以 an2 n1， bn2 n1 .(2)由(1)，得cn n2(2n1) n2n n，1n所以 Sn(12 122 2 n2n)(12 n)令 Tn12 122 2 n2n，2Tn12 222 3 n2n1 ，由，得 Tn( n1)2 n1 2，所以 Sn( n1)2 n1 2.n n 1219(2014广州综合测试)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a10，对任意 nN *，都有 nan1 Sn n(n1)(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 anlog 2nlog 2bn
18、，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解：(1)解法一： nan1 Sn n(n1)，当 n2 时，( n1) an Sn1 n(n1)，两式相减，得 nan1 ( n1) an Sn Sn1 n(n1) n(n1)，即 nan1 ( n1) an an2 n，化简，得 an1 an2.当 n1 时，1 a2 S112，即 a2 a12.数列 an是以 0 为首项，2 为公差的等差数列 an2( n1)2 n2.解法二：由 nan1 Sn n(n1)，得n(Sn1 Sn) Sn n(n1)，8整理，得 nSn1 ( n1) Sn n(n1)，两边同除以 n(n1)，得 1.Sn 1n 1 Snn数列 是以 0 为首项，1 为公差的等差数列Snn S11 0 n1 n1.Snn Sn n(n1)当 n2 时， an Sn Sn1 n(n1)( n1)( n2)2 n2.又 a10 适合上式，数列 an的通项公式为 an2 n2.(2) anlog 2nlog 2bn， bn n2an n22n2 n4n1 . Tn b1 b2 b3 bn1 bn4 024 134 2( n1)4 n2 n4n1 ， 4Tn4 124 234 3( n1)4 n1 n4n， ，得3 Tn4 04 14 24 n1 n4n n4n .1 4n1 4 1 3n 4n 13 Tn (3n1)4 n119
