1、1.2函数及其表示1.2.1函数的概念,主题1函数的概念根据下面的题目,回答有关问题:某物体从高度为44.1 m的空中自由下落,物体下落的距离s与所用时间t的平方成正比,这个规律用数学式子可以描述为s= gt2,其中g=9.8 m/s2.,1.时间t和物体下落的距离s所满足的条件用集合如何表示?提示:由44.1= 9.8t2t=3,用A表示时间t的取值构成的集合,则A=t|0t3,用B表示s的取值构成的集合,则B=s|0s44.1.,2.根据上述关系式,试着填写下表:,0,7.056,11.025,19.6,25.921,30.625,44.1,通过对应值表你发现了什么?提示:对于集合A=t|
2、0t3中的任一个元素,按照对应关系f,在集合B=s|0s44.1中都有唯一元素和它对应.,结论:函数的定义设A,B是非空的_,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有_确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作:_.定义域:指的是_.值域:指的是_.,数集,唯一,y=f(x),xA,x的取值范围A,函数值的集合f(x)|xA,【微思考】1.任何两个集合都可以建立函数关系吗?提示:不能,只有在非空数集之间才能建立函数关系.2.对于函数y=f(x),xA,f(x)与f(a)有什么不同?提示:f(x)为变数,f(a)表示函数f(x)
3、当x=a时的函数值,是一个常数.,主题2区间的概念满足1x3的实数x构成的集合如何表示?是否还有其他表示形式?1x3呢?提示:满足1x3的实数x构成的集合可表示为:x|1x3.还可用区间表示为(1,3).满足1x3的实数x构成的集合可表示为x|1x3,还可用区间表示为1,3.,结论:1.区间的有关概念(a,b为实数,且ab),a,b,(a,b),a,b),(a,b,2.无穷大的概念(1)实数集R用区间表示为_.“”读作_,“-”读作_,“+”读作_.,(-,+),“无穷大”,“负无穷大”,“正无穷大”,(2)无穷区间的几种表示:,a,+),(a,+),(-,b,(-,b),【微思考】1.区间的
4、左、右端点值之间有什么关系?提示:区间的左端点值必须小于右端点值.,2.集合x|axb与区间a,b的区别是什么?提示:区间a,b一定是无限集,且隐含ab时,x|axb=.这两种情况均不能用区间a,b表示.,【预习自测】1.下列式子中不能表示函数y=f(x)的是()A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x= 【解析】选A.一个x对应的y值不唯一,故A不能表示函数.,2.函数f(x)= 的定义域是()A.-1,+)B.(-,0)(0,+)C.-1,0)(0,+)D.R【解析】选C.由题意知 解得x-1且x0,故选C.,3.下列区间与集合x|x-2或x0相对应的是()A.(-2,0)
5、B.(-,-20,+)C.(-,-2)0,+)D.(-,-2(0,+)【解析】选C.集合x|x8B.x|5x8C.x|5x8D.x|5x8【解析】选C.区间5,8)表示大于等于5且小于8的数,即5x0);u=2v-1;y=,【解析】定义域为x|xR且x- ,与y=2x-1的定义域不同;定义域为x|x0,与y=2x-1的定义域不同;,y= 与y=2x-1的对应关系不同;而定义域是R,值域是R,对应关系是乘2减1,与y=2x-1完全相同.答案:,类型一函数的概念及求值问题【典例1】(1)(2017汕头高一检测)下列四个等式中,能表示y是x的函数的是()x-2y=2;2x2-3y=1;x-y2=1;
6、2x2-y2=4.A.B.C.D.,(2)已知函数f(x)= ,g(x)=2x+1.求f(1),g(1)的值;求f(g(2)的值;求f(a-1),g(a+1)的值.,【解题指南】(1)根据函数的概念对每一式子进行判断.(2)利用函数的解析式,直接将相应的自变量的值代入即可.,【解析】(1)选A.对可化为y= x-1,表示y是x的一次函数;可化为y= x2- ,表示y是x的二次函数;当x=5时,y=2或y=-2,不符合唯一性,故y不是x的函数;当x=2时,y=2,故y不是x的函数.,(2)f(1)= g(1)=21+1=3;由g(2)=22+1=5,所以f(g(2)=f(5)= f(a-1)=
7、g(a+1)=2(a+1)+1=2a+3.,【方法总结】1.判断某一对应关系是否为函数的步骤(1)A,B为非空数集.(2)A中任一元素在B中有元素与之对应.(3)B中与A中元素对应的元素唯一.,2.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则.注意:用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则函数无意义.,【巩固训练】1.下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是()A=x|xZ,B=y|yZ,对应关系f:xy= ;A=x|x0,xR,B=y|yR,对应关系f:xy2=3x;A=x|x
8、R,B=y|yR,对应关系f:xy:x2+y2=25;,A=R,B=R,对应关系f:xy=x2;A=(x,y)|xR,yR,B=R,对应关系f:(x,y)s=x+y;A=x|-1x1,xR,B=0,对应关系f:xy=0.A.B.C.D.,【解析】选D.在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以不能确定y是x的函数.在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.A不是数集,所以不能确定y是x的函数;显然满足函数的特征,y是x的函数.故应选D.,2.设函数f(
9、x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是()A.0B.3a2-1C.6a2-2D.6a2【解析】选A.f(a)-f(-a)=3a2-1-3(-a)2-1=0.,【补偿训练】1.(2017广州高一检测)如图,可表示函数y=f(x)的图象的只能是(),【解题指南】本题利用函数的定义,对于定义域内的任意的自变量x,有唯一的函数值与之对应,判断出哪个图形符合函数的对应法则,即得到本题结论.,【解析】选D.根据函数的定义,对于定义域内的任意的一个自变量x,有唯一的函数值与之对应,故任作一条垂直于x轴的直线,与函数的图象最多有一个交点.,2.(2017青岛高一检测)给定的下列四个式子中,能确定y是x
10、的函数的是()A.B.C.D.,【解析】选C.由x2-y2=1得y= ,不满足函数的定义,所以不是函数.由|x-1|+ =0得x-1=0, =0,所以x=1,y=1,所以不是函数.,由 =1得y=( -1)2+1,满足函数的定义,所以是函数.要使函数y= 有意义,则 此时不等式组无解,所以不是函数.,类型二求函数的定义域【典例2】求函数f(x)= 的定义域.【解题指南】只需根式有意义,同时分母不为0即可.,【解析】要使此函数有意义,则 即x1且x0,所以函数的定义域为x|x1且x0.,【延伸探究】1.将本例中的函数改为f(x)= 则定义域如何?【解析】要使此函数有意义,则 即x1且x0且x-1
11、,所以函数的定义域为x|x1且x0且x-1.,2.本例中条件不变,计算f(a-1)的值.【解析】因为函数的定义域为x|x1且x0,故a-11且a-10,所以a2且a1,此时f(a-1)= (a2且a1).,【方法总结】求解函数定义域的三个步骤,提醒:求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式化简变形,以免引起定义域的变化.,【补偿训练】1.(2017阜阳高二检测)函数y= 的定义域为_.【解析】由 得x-4且x-2.答案:-4,-2)(-2,+).,2.函数y= 的定义域为_.【解析】由 所以- x2,故函数的定义域为 答案:,类型三函数相等的判断【典例3】(1)(2017大连高一检测)下列函数
12、与y=-x是同一函数的是(),(2)(2017贵州高一检测)与函数y= 为同一函数的是(),【解题指南】根据函数的定义域与对应关系是否相同,对每一函数分别判断.,【解析】(1)选A.函数y=-x的定义域为R,值域为R.选项A中,y=- =-x,且定义域为R,值域为R,所以与y=-x是同一函数.选项B中,y= =-x(x1),与y=-x的定义域不同,所以与y=-x不是同一函数.,选项C中,y=- =-|x|0,与y=-x的值域不同,对应关系不完全相同,所以与y=-x不是同一函数.选项D中,y=- =-x(x0),与y=-x的定义域不同,所以与y=-x不是同一函数,故答案为A.,(2)选B.函数y
13、= 的定义域为(-,0,故y= =|x| =-x ,其他选项错误,故选B.,【方法总结】判断两函数相等的方法及注意点(1)方法:判断两函数是否相等时,要遵循定义域优先的原则,即要先求定义域,若定义域不同,则不相等;若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.,(2)两个注意点:函数的表示:与变量用什么字母表示无关;解析式的化简:在化简解析式时,必须是等价变形.,【巩固训练】下列给出的各组函数f(x)与g(x)中,是同一个关于x的函数的是()A.f(x)=x-1,g(x)= -1B.f(x)=3x+2,g(x)=3x-2C.f(x)=x2,g(x)= D.f(x)=1与g(x)=,【解
14、析】选C.A项中函数的定义域不同,B项的解析式不同,即对应关系不同,D项的定义域不同,x=0时g(x)没有意义,只有C项符合条件.,【补偿训练】判断下列各组函数是否是相等函数.(1)y=1与y=x0.(2)y= (3)y=x+1与y= (4),【解题指南】根据函数的定义域与对应关系是否相同,对每一组中两个函数分别判断.,【解析】对于(1)函数y=1的定义域为R,函数y=x0的定义域为x|x0,两者定义域不同,所以不是相等函数;对于(2)y= 的定义域为R,y=( )2的定义域为x|x0,两者定义域不同,所以不是相等函数;对于,(3)y=x+1的定义域为R,而y= 的定义域为x|x1,定义域不同,不是相等函数;对于(4)y= 的定义域为x|x1,y= 的定义域为x|x1或x-1,定义域不同,所以不是相等函数.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结(1)区间是连续数集的一种表示法.(2)定义域的求法:分母不为零;偶次根式被开方式非负;自变量的实际意义.,注意事项(1)在区间表示中,右端点的值一定大于左端点的值.(2)以“-”或“+”为端点时,区间这一端必须是小括号.,
