1、1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法,主题1函数的表示法解析法某种茶杯的单价为10元,购买的个数为x,所花费用为y,则购买茶杯的个数x与所花费用y之间存在的关系能否用一个式子表示?提示:能,y与x的关系可表示为y=10x,xN.,结论:解析法用_表示两个变量之间的对应关系的方法.,数学表达式,【微思考】任何一个函数都可以用解析法表示吗?提示:不是,如某地区一天中每时刻的温度,由于受自然因素影响较大,无法借助函数解析式具体描述.,主题2函数的表示法列表法与图象法1.如图是某省本科一批(理科)分数线变化曲线,根据图象回答下面的问题:,(1)图中的图象能表示两个变量之间存在函数关系吗?如果能,
2、自变量是什么?提示:能,表示一批分数线是年份的函数,其中年份为自变量.,(2)图中的函数关系能用解析式表示吗?提示:不能,因为自变量年份与本科一批分数线的对应关系比较复杂.,2.下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表,请根据表格回答下面的问题.(1)表格中两变量存在函数关系吗?提示:存在,它表示浓度是距离的函数.,(2)自变量的取值集合是什么?函数的值域是什么?提示:自变量的取值集合为50,100,200,300,500.值域为0.678,0.398,0.121,0.05,0.01.,结论:1.图象法用_表示两个变量之间的对应关系的方法.2.列表法列出_来表示两个变量之间的对应关系的方法.
3、,图象,表格,【微思考】1.根据函数的图象,是否可以精确求出每一自变量对应的函数值?提示:不能,只能近似求出函数值且有时误差较大.,2.根据表格能否得出定义域中每一自变量对应的函数值?提示:不能,列表法仅能表示自变量取有限个值的对应关系.,【预习自测】1.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)等于(),A.1 B.2 C.3 D.不存在【解析】选C.由表格知f(3)=3.,2.已知f(x)=2x+3,则f(a)=()A.2a+5B.2a+3C.2a+1D.2a-1【解析】选B.因为f(x)=2x+3,所以f(a)=2a+3.,3.若 ，则f(2)=()A.2B.C.3D.【解析】选D.令t=
4、，则x= ，所以f(t)= +1，即f(x)= +1，所以f(2)= +1= .,4.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 的值等于_.,【解析】因为f(3)=1, =1,所以 =f(1)=2.答案:2,5.已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,f(x)的解析式为_.【解析】设反比例函数f(x)= (k0),则f(3)= =-6,解得k=-18,所以f(x)=- .答案:f(x)=-,类型一待定系数法求函数解析式【典例1】(2017杭州高一检测)若二次函数f(x)= x2+bx+c满足f(2)=f(-2),且方程f(x)=
5、0的一个根为1.求函数f(x)的解析式.,【解题指南】由f(2)=f(-2)及x2+bx+c=0的一根为1建立关于b,c的关系式求解.,【解析】由f(2)=f(-2)得:22+2b+c=(-2)2-2b+c,即b=0. 因为x2+bx+c=0的一个根为1,所以b+c+1=0.由得b=0,c=-1.所以f(x)=x2-1.,【延伸探究】1.若将条件“f(2)=f(-2)”改为f(0)=2,求f(x)的解析式.【解析】由f(0)=2,得c=2.又x2+bx+c=0的一个根为1,故b+c+1=0,所以b=-3.故f(x)=x2-3x+2.,2.本例条件不变,求f(x+1)的解析式.【解析】由f(2)
6、=f(-2)及x2+bx+c=0的一个根为1得: 所以f(x)=x2-1,故f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x.,【方法总结】待定系数法的适用条件及步骤(1)适用条件:函数的类型已知.(2)一般步骤:设出解析式;依据条件列出方程(组);解方程(组)写出解析式.,【补偿训练】1.(2017武汉高一检测)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=16x-25,求f(x).,【解析】设f(x)=kx+b(k0),则f(f(x)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,所以k2x+kb+b=16x-25. 所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+ .,2.已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=
7、1,f(x+1)-f(x) =2x,求f(x).,【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a0),因为f(0)=1,所以c=1,又因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,整理得:2ax+(a+b)=2x,所以 所以f(x)=x2-x+1.,类型二换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【典例2】(1)已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式.(2)(2017济南高一检测)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).,【解题指南】(1)令t= +1,求出x,代入即得.(2)通过建立关于f(x)和f(-x)的方程组求解.,【解
8、析】(1)令t= +1,则x=(t-1)2,t1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t1),所以f(x)=x2-1(x1).,(2)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,以-x代换x得f(-x)+2f(x)=x2-2x,所以由得3f(x)=x2-6x,所以f(x)= x2-2x.,【方法总结】1.换元法的适用条件及步骤适用类型:已知f(g(x),求f(x)的解析式.一般步骤:(1)换元:令t=g(x),并写出t的范围.(2)求解:用t表示x.(3)代入:将用t表示的x代入原式,写出解析式.,2.用方程组法求函数解析式已知f(x)与f(x)满足的关系式,要求f(x)时,可用(
9、x)代替两边的所有x,得到关于f(x)及f(x)的方程组,解之即可求出f(x).,【巩固训练】1.若f(1-2x)= (x0),则f =()A.1B.3C.15D.30,【解析】选C.令1-2x= ,得x= ,所以,2.已知2f +f(x)=x(x0),求函数f(x)的解析式.,【解析】因为f(x)+2f =x,将原式中的x用 替换,得f +2f(x)= ,于是得关于f(x)的方程组 解得f(x)= (x0).,【补偿训练】1.已知f(x+1)=x2-3x+2,求函数f(x)的解析式.【解析】令t=x+1,则x=t-1,所以f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,即f(x)=
10、x2-5x+6.,2.若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求函数f(x)的解析式.【解析】令t=x-1,则x=t+1,原式变为3f(t)+2f(-t)=2(t+1),以-t替换t得:3f(-t)+2f(t)=2(1-t),由消去f(-t)得f(t)=2t+ ,所以f(x)=2x+ .,类型三函数的图象及简单应用【典例3】(2017广州高一检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a0)满足f(3)=f(-1)=0,(1)求f(x)的解析式.(2)画出f(x)的图象.(3)写出其值域.,【解题指南】先由f(3)=f(-1)=0建立方程组求a,b,再利用描点法画f(x)的图象,由图得f(x
11、)的值域.,【解析】(1)由f(3)=f(-1)=0得: 所以f(x)的解析式为f(x)=-x2+2x+3.,(2)列表如下:,描点,连线得f(x)的图象如图所示:,(3)由图可知:其值域为(-,4.,【方法总结】1.作函数图象的步骤,2.图象平移变换的一般方法(1)左右平移:y=f(x)的图象 y=f(x+h)的图象.(2)上下平移:y=f(x)的图象 y=f(x)+k的图象.,【巩固训练】作出下列函数的图象,并求出其值域.(1)y= ,x2,+).(2)y=x2-2x-1,x0,4.,【解析】(1)因为y= =2+ ,故函数图象可由y= 的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位,取x2部
12、分,如图,观察图象可知其值域为(2,3.,(2)列表,描点,图象为抛物线y=x2-2x-1在0,4之间的部分,由图象知值域为-2,7.,【补偿训练】(2017潍坊高一检测)函数y= +1的图象是下列图象中的(),【解析】选A.由解析式可知函数图象是由y=- 的图象向右平移1个单位长度(纵坐标不变),然后向上平移1个单位长度(横坐标不变)得到的.,【课堂小结】1.知识总结,2.方法总结求函数解析式的方法(1)待定系数法:函数类型已知时设出函数一般形式,然后利用条件求待定系数.(2)换元法:将含变量的代数式用新变量表示,进而求得解析式.,注意事项(1)换元法求函数的解析式时,要注意换元后自变量的取值范围.(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题.,
