1、盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 .）1已知全集 ，集合 ，则 = ,02U1,AUA2设复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 zii3|z3某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人、700 人、700 人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为 100 的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 4若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是 2 0tRta， a5甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；
2、乙组：87、88、92. 如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过 3 的概率是 6执行如图所示的伪代码，输出 的值为 i7设抛物线 的焦点与双曲线28yx21(0)yxb的右焦点重合，则 = b8设 满足 ，则 的最大值为 ,xy0|1xyzxy9将函数 的图象向左平移 个单位后，恰好得到函数的sin(2)3(0)的图象，则 的最小值为 iyx10已知直三棱柱 的所有棱长都为 2，点 分别为棱 的中点，1ABC,PQ1,CB则四面体 的体积为 1PQ11设数列 的首项 ，且满足 与 ，则 na12121nna21na20S12若 均为非负实数，且 ，则 的
3、最小值为 ,bb4b13已知 四点共面， ， ， ，则 的最,ABCD2BC20A3CDA|B大值为 14若实数 满足 ，则 ,xy23ln(1)ln()xyxyxy1023PrintiSWhleEdl第 6 题图二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.）15(本小题满分 14 分)如图，在四棱柱 中，平面 底面 ABCD，且 .1ABCD1AB2ABC（1）求证： 平面 ；1/（2）求证：平面 平面 .1116(本小题满分 14 分)设 面积的大小为 ，且 .ABCS32ABCS（1）求 的值；sin（2）若 ， ，求 416 CD11AB第 15 题图17. (本小题满分 14 分)
4、一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示. 是等ABCD腰梯形， 米， （ 在 的延长线上， 为锐角）. 圆 与20ABCFABE都相切，且其半径长为 米. 是垂直于 的一个立柱，则,DC108sinEO当 的值设计为多少时，立柱 最矮？sinEA BCD E第 17 题图FO18(本小题满分 16 分)已知 、 分别是椭圆 的左顶点、右焦点，点 为椭圆AF2:1(0)xyCabP上一动点，当 轴时， .CPAFP（1）求椭圆 的离心率；（2）若椭圆 存在点 ，使得四边形 是平行四边形（点 在第一象限） ，求QOQ直线 与 的斜率之积；O（3）记圆 为椭圆 的“关联圆”
5、. 若 ，过点 作椭圆22:abxyC3bP的“关联圆” 的两条切线，切点为 、 ，直线 的横、纵截距分别为 、CMNm，求证： 为定值.n234mn19(本小题满分 16 分)设函数 .2(=()xfeaR（1）若函数 是奇函数，求实数 的值；xfga（2）若对任意的实数 ，函数 （ 为实常数）的图象与函数 的()hkxb, ()fx图象总相切于一个定点. 求 与 的值；kb 对 上的任意实数 ，都有 ，(0,)12,12()()0fxhfxh求实数 的取值范围.a20(本小题满分 16 分)已知数列 ， 都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排nab成一列（相同的项视为一项）
6、 ，则得到一个新数列 .nc（1）设数列 、 分别为等差、等比数列，若 ，n 1ab， ，求 ；236520c（2）设 的首项为 1，各项为正整数， ，若新数列 是等差数列，求数na3nbnc列 的前 项和 ；cnS（3）设 （ 是不小于 2 的正整数） ， ，是否存在等差数列 ，使nbq 1cna得对任意的 ，在 与 之间数列 的项数总是 ？若存在，请给*Nn1nanb出一个满足题意的等差数列 ；若不存在，请说明理由.a盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分21选做题 （在 A、B、C、 D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定
7、区域内）A.（选修 41：几何证明选讲）已知 是圆 两条相互垂直的直径，弦 交 的延长线于点 ，若,ODEABF， ，求 的长.2DE8FEB.（选修 42：矩阵与变换）已知矩阵 A 所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲线 C1 ，求曲线 C 的方102:4xy程C （选修 44：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 . 以极点 为原点，极轴为 轴的lcos()13Ox正半轴建立平面直角坐标系，圆 的参数方程为 （ 为参数）. 若直线 与圆Ccosinxryl相切，求 的值.rD(选修 45：不等式选讲）已知 为正实数，且 ，证明： .,abc3abc223cabACDBEFO
8、第 21(A)图必做题 （第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22 （本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，面 底面 ，且PABCDABPADBC是边长为 的等边三角形， ， 在 上，且 面 BDM.AD213PM（1）求直线 PC 与平面 BDM 所成角的正弦值；（2）求平面 BDM 与平面 PAD 所成锐二面角的大小.23 （本小题满分 10 分）一只袋中装有编号为 1,2,3,n 的 n 个小球， ，这些小球除编号以外无任何区别，4现从袋中不重复地随机取出 4 个小球，记取得的 4 个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为
9、 ，如 ， 或 ， 或 或 ，记 的数学期望为 .n35635nfn（1）求 , ；5f6（2）求 .A BCDPM第 22 题图盐城市 2017 届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1. 2. 2 3. 35 4. 5. 6. 7 7. 2(,18938. 1 9. 10. 11. 2056 12. 3 13.10 14. 5632 94二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15证明：（1）在四棱柱 中，有 . 4 分1ABCD1/BC又 平面
10、 ， 平面 ，所以 平面 . 6 分1BC11D（2）因为平面 底面 ABCD，交线为 ，A底面 ABCD，且 ，所以 平面 . 12 分1又 平面 ，所以平面 平面 . 1411分16解：（1）设 的三边长分别为 ，由 ，ABC,abc32BCS得 ，得 . 2 分3cos2sinbbciosA即 ，所以 . 4 分2 2in9(1)29n10又 ，所以 ，故 . 6 分(0,)Asin03si（2）由 和 ，得 ，sin3co1Aco10A又 ，所以 ，得 . 8 分16BCs6bb又 ，所以4siin()issinCC. 10 分30225在 中，由正弦定理，得 ，即 ，得 . 12 分
11、ABCsinibcB25bc104b联立，解得 ，即 . 14 分8AC17解：方法一：如图所示，以 所在直线为 轴，以线段x的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系.y因为 ， ，所以直线 的方程为(10,)BtanBCkB，tanyx即 . .4 分0设圆心 ，由圆 与直线 相切，(,)EtECxyOA BCD E第 17 题图F得 ，2|10tan|10tan108sincos所以 . .8 分9sicoEOt令 ， ，则 ， .10 分10in()sf(0,)22910(sin)()cof设 ， . 列表如下：09sin0(,)0,00(,)2()f 0 减 极小值 增所以当 ，即 时，
12、 取最小值. .13 分09sin10()f答：当 时，立柱 最矮. .14 分siEO方法二：如图所示，延长 交于点 ，过点 作 于 ，,CBGEHBC则 ， .108sinEHRHF在 中， . .4 分tG108sincoc在 中， . .6 分OBtat所以 . .8 分9is（以下同方法一）18解：（1）由 轴，知 ，代入椭圆 的方程，PFxPcC得 ，解得 . .2 分21ycab2bya又 ，所以 ，解得 . .4 分Ac1e（2）因为四边形 是平行四边形，所以 且 轴，OPQPQa/Fx所以 ，代入椭圆 的方程，解得 ， .6 分2PaxC32yb因为点 在第一象限，所以 ，同
13、理可得 ， ，.7 分32PybQx32Qyb所以 ，232()APOQbkaa OA B CD E第 17 题图 FG H由（1）知 ，得 ，所以 . .9 分12cea234b34APOQk（3）由（1）知 ，又 ，解得 ，所以椭圆 方程为 ，2aC2143xy圆 的方程为 . .11 分O237xy连接 ，由题意可知， ， ，,MNMPN所以四边形 的外接圆是以 为直径的圆，PO设 ，则四边形 的外接圆方程为0(,)，22201()4xyxy即 . .13 分0，得直线 的方程为 ，MN0237令 ，则 ；令 ，则 . 所以 ，y0237mx0ny20249()3xymn因为点 在椭圆
14、上，所以 ，所以 . .16 分PC2014319解：（1）因为函数 是奇函数，所以 恒成立， ()xfge()()xxffe2 分即 ，得 恒成立，22xxeaa2()0x. 4 分0（2） ，设切点为 ，(1)xf0,f则切线的斜率为 ，0(1)2xfeax据题意 是与 无关的常数，故 ，切点为 ，60fa0,1kf(0,)分由点斜式得切线的方程为 ，即 ，故 . 8 分y()h,b 当 时，对任意的 ，都有 ;1()fxh2,x2()fxh当 时，对任意的 ，都有 ;000故 对 恒成立，或 对 恒成立.f(,)x()f(,)而 ，设函数 .()1xea1,xpea则 对 恒成立，或 对
15、 恒成立， 10 分p,)(x,，当 时, , , 恒成立,所以 在 上递1a0xe()0 ()px0,增, ,(0)故 在 上恒成立，符合题意. . .12 分px,当 时，令 ，得 ，令 ，得 ,2()plnxa()pxlna故 在 上递减，所以 ，()px0,lna(ln)0pa而 设函数 ，21,e21,e)则 ， 恒成立， ()a()a在 上递增， 恒成立， ,()在 上递增， 恒成立，20e即 ，而 ，不合题意.()0pa(ln)0pa综上 ，知实数 的取值范围 . 16 分12,120解：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，ndnbq由题意得， ，解得 或 ，因数
16、列 单调递增，245dq03,a所以 ，所以 ， ，所以 ， . .2 分0,122n1n因为 ， ， ， ，1ba3256ba70所以 . .4 分2079c（2）设等差数列 的公差为 ，又 ，且 ，nd13nb所以 ，所以 . 因为 是 中的项，所以设 ，即1c1c1nbc.()dn当 时，解得 ，不满足各项为正整数； .6 分421n当 时， ，此时 ，只需取 ，而等比数列 的项都是等13bcdncnanb差数列 中的项，所以 ； na()2S.8 分当 时， ，此时 ，只需取 ，12c1nc21n由 ，得 ， 是奇数， 是正偶数， 有正整数解，3nm323m所以等比数列 的项都是等差数
17、列 中的项，所以 . .10 分nbna2nS综上所述，数列 的前 项和 或 . .11 分c1()S（3）存在等差数列 ，只需首项 ，公差 . .13 分na,q1dq下证 与 之间数列 的项数为 . 即证对任意正整数 ，都有nb1nnbn，12nnba即 成立.211nqn 由 ，2 221 11 ()(0n nqaaqqa .1 1)nb 所以首项 ，公差 的等差数列 符合题意. 16 分1(,)aq1dqna附加题答案21. A、解：设半径为 r，由切割线定理，得 即 ， 4 分FBED1842(2)FBr在三角形 DOF 中，由勾股定理，得 ，2ODF即 . 8 分2(184)()由
18、上两式解得 . 10 分6rB、设曲线 C 上任一点为（x,y） ，经过变换 T 变成 ，则0(,)xy，即 . 6 分002xy02,xy又 ，得 . 10 分14x24C、解：由题意得，直线 的直角坐标方程为 ， 4 分l 320xy圆 的直角坐标方程为 . 8 分22xyr则直线和曲线相切，得 . 10 分13D、证：因为 ，所以由基本不等式，得,abcR. 4 分222,ccb三式相加，得 .aab又 ， 所以 . 10 分3c223c22解：因为 ， 作 AD 边上的高 PO，PADBC面 面 PAD为 正 三 角 形 ，则由 ，由面面垂直的性质定理，得 ，=面 面 POABCD面又
19、 是矩形，同理 ，知 , ，故 . 2 分BC面 ,2C=13=3以 AD 中点 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，OP 所在直线为 z 轴，AD 的垂直平分线y 轴，建立如图所示的坐标系，则 ，(,)(,0)B(,)(-,0)(-1,)3连结 AC 交 BD 于点 N，由 ，/面 M面 面 N所以 ， 又 N 是 AC 的中点，M/PA所以 M 是 PC 的中点，则 ， 4 分,)21(-设面 BDM 的法向量为 ，xyzn，3(2,30)=(,)DBA BCDPOMNxyz，得 ，0,BDMn-2x3y=0令 ，解得 ，所以取 .x=11y-,z=3(1,)3n（1）设 PC 与面
20、 BDM 所成的角为 ，则 ，1PCsi=所以直线 PC 与平面 BDM 所成角的正弦值为 . 6 分3（2）面 PAD 的法向量为向量 ，设面 BDM 与面 PAD 所成的锐二面角为 ，(0,-)CD 则 ，故平面 BDM 与平面 PAD 所成锐二面角的大小为 . 10 分12ncos= 323解：（1） 的概率分布为： 5则 . 2 分518()fE的概率分布如下：6则 . 4 分621()5fE(2) 方法一： 3,4,n， 6 分21()(,1)iCPi n 2 12144 43 3 3(1)2)( ()n ni ii i inn ifEC 1 1431)(n i iii i inCC
21、611333434143 3()()()n nii ii iii i in C 10 分11344()nniin451()nnn方法二： ,5,24(,(3,),iCP53 4P2563 4 5P12得21143()() ,niinCfE()3,f182(5),(6),5ff猜想 . 6 分5下面用数学归纳法证明.证明： 时猜想显然成立；4,6n假设 时猜想成立，即 ，()k 21143()3()5kiikCf则 ，1241335ki kiC当 时n2 21 1443 31()() ()ki ii ikfn CC 2 221 14 431 1()k kii i ii i ik 3431() 5k ki i kii ikkC 441415kk 即 时命题也成立.n综上，对一切 猜想都成立. n10 分
