1、12.7 功 率学习目标 核心提炼1.理解功率的概念，能运用功率的定义式 P 进行有关计Wt算。2.知道平均功率和瞬时功率的含义，能根据 P Fv 进行分析和计算。3.了解额定功率和实际功率，会分析机车启动问题。3 个概念功率的概念、平均功率和瞬时功率的概念2 个公式 P 、 P FvWt1 个问题机车启动问题一、如何描述物体做功的快慢观图助学如图汽车在爬坡，汽车的功率很大，那么功率大，做功一定多吗？1.定义：单位时间内做功的多少。2.物理意义：功率是表示物体做功快慢的物理量。理解概念判断下列说法是否正确。(1)由公式 P 知，做功越多，功率越大。()Wt(2)力对物体做功越快，力的功率一定越
2、大。()(3)发动机不能在实际功率等于额定功率情况下长时间工作。()二、怎样计算功率观图助学如图，质量为 m 的物体沿倾角为 的斜面下滑，滑至底端时速度大小为 v，此时重力的功率是否等于 mgv?21.功率的定义式： P 。Wt2.功率与速度关系式(1)当 F 与 v 同向时， P Fv。(2)当 F 与 v 的夹角为 时， P Fvcos_ 。3.单位：瓦特，简称瓦，符号是 W。4.标矢性：功率是标量。5.平均功率和瞬时功率的计算(1)平均功率：时间 t 内功率的平均值，计算公式： 和 F 。P Wt P v (2)瞬时功率：某一时刻功率的瞬时值，能精确地描述做功的快慢，计算公式： P Fv
3、，其中 v 为瞬时速度；当 F 与 v 夹角为 时， P Fvcos 。理解概念判断下列说法是否正确。(1)由 P 可知，只要知道 W 和 t 的值就可以计算出任意时刻的功率。()Wt(2)由 P Fv 可知，汽车的功率一定与它的速度成正比。()(3)由 P Fv 可知，牵引力一定与速度成反比。()(4)汽车爬坡时常常需要换高速挡。()功 率观察探究建筑工地上有三台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况记录：起重机编号被吊物体重量 匀速上升速度 上升的高度 所用时间 做功A 2.0103 N 4 m/s 16 m 4 sB 4.0103 N 3 m/s 6 m 2 sC 1.6103 N 2
4、m/s 20 m 10 s3(1)三台起重机哪台做功最多？(2)哪台做功最快？怎样比较它们做功的快慢呢？答案 (1)三台起重机分别做功 3.2104 J、2.410 4 J、3.210 4 J，所以 A、 C 做功最多。(2)B 做功最快，可以用功与所用时间的比值表示做功的快慢。探究归纳1.对功率 P 的理解Wt功率表示的是物体做功的快慢，而不是做功的多少。P 是定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用于求解某段时间内的平均功率。Wt2.对 P Fvcos 的理解(1)P Fvcos 揭示功率与力、速度的关系。特例：当 F 与 v 同向时，即 0时， P Fv。此时若 P 一定，则 F 与
5、v 成反比；若 F 一定，则 P 与 v 成正比；若 v 一定，则 P 与 F 成正比。(2)平均功率和瞬时功率的计算平均功率： 或 P F (F、 同向)。P Wt v v 瞬时功率： P Fvcos ( 为 F、 v 夹角)，当 F、 v 同向时， P Fv。P Fv 通常用来计算某一时刻或某一位置时的瞬时功率， v 是瞬时速度；若代入某段时间内的平均速度，则计算的是该段时间内的平均功率。3.额定功率和实际功率(1)额定功率和实际功率：发动机铭牌上的额定功率，指的是机械正常工作时，允许达到的最大功率。发动机的实际功率是指机械实际运行的功率，它可以小于或等于额定功率，但不能长时间大于额定功率
6、。(2)发动机的额定功率 P 额 Fv 反映了机械的额定功率对机械的动力与速度的制约关系。因机器在设计制造时，就确定了它的额定功率，所以当机械的功率达到额定功率时，要增大动力则必须减小速度。试题案例例 1 (2018惠州高一检测)一台起重机将静止在地面上、质量为 m1.010 3 kg 的货物匀加速竖直吊起，在 2 s 末货物的速度 v4 m/s(取 g10 m/s 2，不计额外功)，求：4(1)起重机在这 2 s 内的平均功率；(2)起重机在 2 s 末的瞬时功率。解析 设货物所受的拉力为 F，加速度为 a，则(1)由 a ，得 a2 m/s 2vtF mg ma1.010 310 N1.0
7、10 32 N1.210 4 N2 s 内货物上升的高度h at24 m12起重机在这 2 s 内对货物所做的功W Fh1.210 44 J4.810 4 J起重机在这 2 s 内的平均功率 2.410 4 W。P Wt 4.8104 J2 s(2)起重机在 2 s 末的瞬时功率P Fv1.210 44 W4.810 4 W。答案 (1)2.410 4 W (2)4.810 4 W求解功率时应该注意的问题(1)要明确所求功率是某物体各力的功率，还是合力的功率。如汽车发动机的功率是指汽车牵引力的功率，起重机的功率是指起重机钢丝绳拉力的功率。(2)要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。若求平均功率
8、，还需明确是哪段时间内的平均功率，应用公式 P 或 P F 进行求解。Wt v 若求瞬时功率，需明确对应状态的速度 v，应用公式 P Fv 求解。如果 F、 v 不同向，则将它们先投影到同一方向上再进行计算。针对训练 1 一个质量为 1 kg 的物块，沿倾角为 37、足够长的光滑斜面由静止开始下滑，当它下滑 4 s 时重力的瞬时功率为多大？这 4 s 内重力的平均功率为多大( g 取 10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)?解析 由 mgsin 37 ma 得物块下滑的加速度大小为5a gsin 37100.6 m/s 26 m/s 2下滑 4 s 时物块的瞬时速度大小为v
9、at64 m/s24 m/s4 s 内物块的位移大小为s at2 642 m48 m12 12所以物块下滑 4 s 时重力的瞬时功率为P mgvcos 53110240.6 W144 W在这 4 s 内重力的平均功率为 W72 W。P Wt mgscos 53t 110480.64答案 144 W 72 W机车的两种启动方式运动过程分析探究归纳汽车两种启动方式的过程分析与比较两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动P t 图和 v t 图OA 段过程分析 v F aP（ 不 变 ）v F fm a 不变 F 不变F fmP Fv直到 P 额 Fv1v 运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直
10、线运动，维持时间t0v1a过程分析 v F a P额v F fmAA段运动性质 加速度减小的加速直线运动以恒定功率启动的 AB 段和以恒定加速度启动的过程分析F f a0fPvmF f a0fPvm6A B 段 运动性质 以 vm做匀速运动 以 vm做匀速运动试题案例例 2 质量为 2 000 kg、额定功率为 80 kW 的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20 m/s。若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为 2 m/s2，运动中的阻力不变。求：(1)汽车所受阻力的大小；(2)3 s 末汽车的瞬时功率；(3)汽车做匀加速运动的时间；(4)汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。解析 (1
11、)以最大速度行驶时，根据 P Fv 可求得F4 000 N。而此时牵引力和阻力大小相等，则 f F4 000 N。(2)3 s 末汽车的速度 v3 at36 m/s，由 F f ma 得 F18 000 N，故此时汽车的功率为 P F1v34.810 4 W。(3)设汽车做匀加速运动的时间为 t，则 t 时刻的速度为 vt at，这时汽车的功率为额定功率 P F1vt，代入数据得 t5 s。(4)匀加速运动阶段牵引力为恒力，牵引力所做的功 W F1s F1 at28 000 252 12 12J210 5 J。答案 (1)4 000 N (2)4.810 4 W (3)5 s (4)210 5
12、 J机车启动问题中几个物理量的求法1.机车的最大速度 vm的求法：机车达到匀速前进时速度最大，此时牵引力 F 等于阻力 f，故 vm 。PF Pf2.匀加速启动持续时间的求法：牵引力 F ma f，匀加速的最后速度 vm ，时间P额ma ft 。vma73.瞬时加速度的求法：据 F 求出牵引力，则加速度 a 。Pv F fm针对训练 2 如图 1 所示，为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m510 3 kg 的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做 vm1.02 m/s 的匀速运动
13、。取 g10 m/s 2，不计额外功。求：图 1(1)起重机允许的最大输出功率；(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第 2 s 末的输出功率。解析 (1)设起重机允许的最大输出功率为 P0，重物达到最大速度时拉力 F0等于重力。P0 F0vm， F0 mg。代入数据得 P05.110 4 W。(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许的最大输出功率，设此时重物受到的拉力为 F，速度为 v1，匀加速运动经历的时间为 t1，有 P0 Fv1， F mg ma， v1 at1。代入数据得 t15 s。第 2 s 末，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为 v2，输出功率为 P，v2 at， P F
14、v2。得 P2.0410 4 W。答案 (1)5.110 4 W (2)5 s 2.0410 4 W两组功率概念的对比辨析1.平均功率和瞬时功率(1)平均功率平均功率表示力在一段时间内做功的平均快慢程度。平均功率与一段时间(或过程)相关。8计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。常用 P 求平均功率，如Wt果用 P Fv 求平均功率，公式中的 v 应为平均速度。(2)瞬时功率瞬时功率表示力在一段极短时间内做功的快慢程度，计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。如果用公式 P Fvcos 求瞬时功率，公式中的 v 应为瞬时速度， 为 F与 v 的夹角。2.额定功率和实际
15、功率(1)额定功率是指动力机械长期正常工作时最大的输出功率，是动力机械重要的性能指标。一个动力机械的额定功率是一定的，通常都在铭牌上标明。机械工作时必须受额定功率的限制。(2)实际功率是机械工作时实际的输出功率，实际功率可以小于等于额定功率，但实际功率长时间大于额定功率会损坏机器。【针对练习】 将质量为 20 kg 的物体从静止开始以 1 m/s2的加速度竖直提升 2 m。求在此过程中拉力做功的平均功率为多少？到达 2 m 高处时拉力做功的瞬时功率多大？( g10 m/s2)解析 由 F mg ma 得拉力大小F mg ma220 N物体上升 2m 所需时间 t 2 s2sa故拉力做功的平均功
16、率P W220 WWt Fst 22022到达 2 m 高处时拉力做功的瞬时功率P Fv Fat22012 W440 W。答案 220 W 440 W1.(对功率的理解)关于功率，下列说法中正确的是( )A.做功的时间越长，功率一定越小B.做功越多，功率一定越大C.功率是表示力做功快慢的物理量9D.额定功率大的机车发动机工作时实际功率一定大解析 根据 P 可知，功率与做功、时间都有关系，因此 A、B 均错误；功率是表示力做Wt功快慢的物理量，C 正确；额定功率是发动机正常工作时的最大输出功率，发动机实际功率可以小于额定功率，D 错误。答案 C2.(平均功率和瞬时功率的计算)(多选)质量为 3
17、kg 的物体，从高 45 m 处自由落下( g 取 10 m/s2)，那么在下落的过程中( )A.前 2 s 内重力做功的功率为 300 WB.前 2 s 内重力做功的功率为 675 WC.第 2 s 末重力做功的功率为 600 WD.第 2 s 末重力做功的功率为 900 W解析 前 2 s 物体下落 h gt220 m，重力做功的功率 P1 W300 W，A12 mght 30202正确，B 错误；2 s 末物体的速度 v gt20 m/s，此时重力的功率 P2 mgv600 W，C 正确，D 错误。答案 AC3.(功率的计算)如图 2 是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为
18、30，小孩质量为 m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为 s 时，重力的瞬时功率为( )图 2A.mg B. mggs12 gsC.mg D. mg2gs12 6gs解析 小孩的加速度 a g，由 v22 as 得小孩滑行距离 s 时的速率mgsin 30m 12v ，故此时重力的瞬时功率 P mgvsin 30 mg ，B 正确。gs12 gs答案 B104.(机车启动问题)汽车发动机的额定功率 P60 kW，若其总质量为 m5 t，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为 f5.010 3 N，则：(1)汽车保持恒定功率启动时：求汽车所能达到的最大速度 vmax。当汽车加速度为 2 m/s2时，速度
19、是多大？当汽车速度是 6 m/s 时，加速度是多大？(2)若汽车以 a0.5 m/s 2的加速度由静止开始做匀加速运动，这一过程能维持多长时间？解析 汽车在运动中所受的阻力大小为f5.010 3 N。(1)汽车保持恒定功率启动时，做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小到零时，速度达到最大。当 a0 时速度最大，所以，此时汽车的牵引力为F1 f5.010 3 N，则汽车的最大速度为vmax m/s12 m/s。PF1 61045.0103当汽车的加速度为 2 m/s2时，牵引力为 F2，由牛顿第二定律得 F2 f ma，F2 f ma5.010 3 N5.010 32 N1.510 4 N，汽
20、车的速度为v m/s4 m/s。PF2 61041.5104当汽车的速度为 6 m/s 时，牵引力为F3 N110 4 N。Pv 61046由牛顿第二定律得 F3 f ma，汽车的加速度为a m/s21 m/s 2。F3 fm 1104 5.01035103(2)当汽车以恒定加速度 a0.5 m/s 2匀加速运动时，汽车的牵引力为 F4，由牛顿第二定律得 F4 f ma，F4 f ma5.010 3 N510 30.5 N7.510 3 N。汽车匀加速运动时，其功率逐渐增大，当功率增大到等于额定功率时，匀加速运动结束，11此时汽车的速度为vt m/s8 m/s。PF4 61047.5103则汽
21、车匀加速运动的时间为t s16 s。vta 80.5答案 (1)12 m/s 4 m/s 1 m/s 2 (2)16 s合格性检测1.下列关于功率的说法中正确的是( )A.由 P 知，力做的功越多，功率越大WtB.由 P Fv 知，物体运动得越快，功率越大C.由 W Pt 知，功率越大，力做的功越多D.由 P Fvcos 知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大解析 在公式 P 中，只有 P、 W、 t 中两个量确定后，第三个量才能确定，故选项 A、CWt错误；在 P Fv 中， P 与 F、 v 有关，故选项 B 错误；在 P Fvcos 中， P 还与 有关，故选项 D 正确。答案
22、 D2.(多选)关于功率公式 P Fv，下列说法正确的是( )A.当 F 是恒力， v 是平均速度时，对应的 P 是平均功率B.当 v 是瞬时速度时，对应的 P 是瞬时功率C.只适用于物体做匀速直线运动的情况D.只适用于 F 与 v 同方向的情况解析 用公式 P Fv 计算功率时， F 应与速度 v 方向相同，D 正确；当 v 为瞬时速度时，Fv 为瞬时功率，B 正确； v 为平均速度，且 F 为恒力时， Fv 为平均功率，A 正确； P Fv 适用于任何运动的求解，但应注意 v 是力 F 方向上的速度，C 错误。答案 ABD3.一个质量为 m 的小球做自由落体运动，那么，在前 t 时间内重力
23、对它做功的平均功率及在 t 时刻重力做功的瞬时功率 P 分别为( )P 12A. mg2t2， P mg2t2P 12B. mg2t2， P mg2t2P C. mg2t， P mg2tP 12D. mg2t， P2 mg2tP 12解析 前 t 时间内重力做功的平均功率 mg2tP Wt mg12gt2t 12t 时刻重力做功的瞬时功率 P Fv mggt mg2t，故 C 正确。答案 C4.质量为 m 的汽车，其发动机额定功率为 P。当它开上一个倾角为 的斜坡时，受到的阻力为车重力的 k 倍，则车的最大速度为( )A. B.Pmgsin Pcos mg（ k sin ）C. D.Pcos
24、mg Pmg（ k sin ）解析 当汽车做匀速运动时速度最大，此时汽车的牵引力 F mgsin kmg，而P Fvm，由此可得 vm ，故选项 D 正确。Pmg（ k sin ）答案 D5.某人用同一水平力 F 先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进 l 距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进 l 距离。若先后两次拉力做的功分别为 W1和 W2，拉力做功的平均功率分别为 P1和 P2，则( )A.W1 W2， P1 P2 B.W1 W2， P1 P2C.W1 W2， P1 P2 D.W1 W2， P1 P2解析 两次拉物体用的力都是 F，物体的位移都是 l。
25、由 W Fl 可知 W1 W2，物体在粗糙水平面上前进时，加速度 a 较小，由 l at2可知用时较长，再由 P 可知 P1P2，选项 B 正12 Wt确。答案 B6.质量为 5 t 的汽车，在水平路面上以加速度 a2 m/s2启动，所受阻力为 1.0103 N，13汽车启动后第 1 s 末的瞬时功率是( )A.2 kW B.22 kWC.1.1 kW D.20 kW解析 根据牛顿第二定律得 F f ma，则 F f ma1 000 N5 0002 N11 000 N。汽车在第 1 s 末的速度 v at21 m/s2 m/s，所以 P Fv11 0002 W22 000 W22 kW，故 B
26、 正确。答案 B7.某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的 k1和 k2倍，最大速率分别为 v1和 v2，则( )A.v2 k1v1 B.v2 v1k1k2C.v2 v1 D.v2 k2v1k2k1解析 汽车的阻力分别为 f1 k1mg， f2 k2mg，当汽车以相同功率启动达到最大速度时，有 F f，故由 P Fv 可知最大速度 v ，则 ，有 v2 v1，故选项 B 正确。PF Pf v1v2 f2f1 k2k1 k1k2答案 B等级性检测8.一辆汽车以功率 P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并且保持功率为 P2不变继续行驶。若
27、整个过程中阻力恒定不变，此后汽车发动机的牵引力将( )A.保持不变B.不断减小C.突然减小，再增大，后保持不变D.突然增大，再减小，后保持不变解析 由 P1 Fv 知，当汽车以功率 P1匀速行驶时， F f，加速度 a0。若突然减小油门，汽车的功率由 P1减小到 P2，则 F 突然减小。整个过程中阻力 f 恒定不变，即 Ff，此时加速度 a0，所以汽车将减速。由 P2 Fv 知，此后保持功率 P2不变继续行驶， v 减小， F 增大。当 F f 时，汽车不再减速，而以较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。14答案 C9.(2018阳江高一检测)质量为 2 t 的汽车，发动机的额定功率为 30 kW
28、，在水平公路上能以 54 km/h 的最大速度行驶，如果保持功率不变，汽车速度为 36 km/h 时，汽车的加速度为( )A.0.5 m/s2 B.1 m/s2C.1.5 m/s2 D.2 m/s2解析 当牵引力和阻力相等时，汽车的速度最大，最大速度为 vm54 km/h15 m/s，由P Fvm fvm可得，阻力 f N2 000 NPvm 30 00015速度为 v36 km/h10 m/s 时汽车的牵引力为F 3 000 NPv由牛顿第二定律可得 F f ma，所以 a m/s20.5 m/s 2，F fm 3 000 2 0002 000故选项 A 正确。答案 A10.一汽车在平直公路
29、上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率 P 随时间 t 的变化如图 1所示。假定汽车所受阻力的大小 f 恒定不变，下列描述该汽车的速度 v 随时间 t 变化的图线中，可能正确的是( )图 1解析 当汽车的功率为 P1时，汽车在运动过程中满足 P1 F1v，因为 P1不变， v 逐渐增大，所以牵引力 F1逐渐减小，由牛顿第二定律得 F1 f ma1， f 不变，所以汽车做加速度减小的加速运动，当 F1 f 时速度最大，且 vm 。当汽车的功率突变为 P2时，汽车的牵P1F1 P1f引力突增为 F2，汽车继续加速，由 P2 F2v 可知 F2减小，又因 F2 f ma2，所以加速度逐15渐减小，直
30、到 F2 f 时，速度最大 vm ，以后匀速运动。综合以上分析可知选项 A 正P2f确。答案 A11.如图 2 所示，位于水平面上的物体 A，在斜向上的恒定拉力 F 作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动。已知物体质量为 10 kg， F 的大小为 100 N，方向与速度 v 的夹角为37，物体与水平面间的动摩擦因数为 0.5， g10 m/s 2(sin 370.6，cos 370.8)。求：图 2(1)第 2 s 末，拉力 F 对物体做功的功率是多大？(2)从运动开始，物体前进 12 m 过程中拉力对物体做功的平均功率是多大？解析 (1)物体对水平面的压力等于水平面对物体的支持力，N mg
31、 Fsin 37100 N1000.6 N40 N由牛顿第二定律得物体的加速度a m/s26 m/s 2Fcos 37 Nm 1000.8 0.54010第 2 s 末，物体的速度 v at12 m/s拉力 F 对物体做功的功率 P Fvcos 37960 W(2)从运动开始，前进 12 m 用时t s2 s2sa 2126该过程中拉力对物体做功W Fscos 37100120.8 J960 J拉力对物体做功的平均功率P W480 W。Wt 9602答案 (1)960 W (2)480 W12.汽车发动机的额定功率为 60 kW，汽车的质量为 5103 kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车的
32、重力的 0.05 倍，若汽车始终保持额定功率不变，取 g10 m/s2，则从静止启动后，求：16(1)汽车所能达到的最大速度是多少？(2)当汽车的加速度为 1 m/s2时，速度是多大？(3)如果汽车由启动到速度变为最大值后，马上关闭发动机，测得汽车在关闭发动机前已通过 624 m 的路程，求汽车从启动到停下来一共经过多少时间？解析 (1)汽车保持额定功率不变，那么随着速度 v 的增大，牵引力 F 牵 变小，当牵引力大小减至与阻力 f 大小相同时，汽车速度 v 达到最大值 vm。vm 24 m/s。P额f 60103 W0.05510310 N(2)由 F 牵 f ma，则 F 牵 ma f7.510 3 N，v 8 m/s。P额F牵 60103 W7.5103 N(3)设由启动到速度达到最大历时 t1，关闭发动机到停止历时 t2。P 额 t1 fs1 mv ，将数据代入，得 t150 s。12 2m由 vm t2得 t248 s。fm故 t 总 t1 t298 s。答案 见解析
