1、11.2.1 匀速圆周运动学习目标 核心提炼1.理解匀速圆周运动的概念和特点。2.理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算。3.知道线速度与角速度的关系，线速度与周期、角速度与周期的关系。5 个概念匀速圆周运动、线速度、角速度、转速、周期3 个关系线速度与角速度的关系、线速度与周期、角速度与周期的关系一、描述圆周运动的物理量及其关系观图助学月亮绕地球做圆周运动，地球绕太阳做圆周运动。如图所示关于各自运动的快慢，地球和月亮的“对话”：地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动 1 s 要走 29.79 km，你绕我运动 1 s 才走 1.02 km。月亮说：不能这样说吧！你一年才绕
2、太阳转一圈，我 27.3 天就能绕你转一圈，到底谁转得慢？请问：地球说得对，还是月亮说得对？1.线速度(1)定义：质点通过的弧长 l 跟通过这段弧长所用时间 t 的比值。(2)大小： v ，单位：_m/s。lt(3)方向：沿圆周上该点的切线方向。(4)物理意义：描述物体沿圆周运动的快慢。2.角速度(1)定义：质点所在半径转过的角度 与所用时间 t 的比值。2(2)大小： ，单位：弧度每秒，符号：rad/s。 t(3)物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢。3.周期和转速(1)周期：匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，用符号 T 表示，单位为秒(s)。(2)转速：匀速圆周运动的物体单位时间内转过的
3、圈数。用符号 n 表示，单位为转每秒(r/s)，或转每分(r/min)。n r/s60 n r/min。4.各个物理量间的关系(1)v、 T 的关系： v 。2 rT(2) 、 T 的关系： 。2T(3)v、 的关系： v r 。(4) 、 n 的关系： 2 n。理解概念判断下列说法是否正确。(1)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。()(2)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变。()(3)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。()二、对匀速圆周运动的理解观图助学如图花样滑冰运动中，女运动员可认为做匀速圆周运动，请思考女运动员是做匀速运动吗？在相等时间内路程相等吗？位移呢？1.匀速圆周
4、运动：质点沿圆周运动，在相等的时间内通过的圆弧长度相等的运动。2.3理解概念判断下列说法是否正确。(1)匀速圆周运动是一种匀速运动。()(2)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。()(3)做匀速圆周运动的物体，其合外力不为零。()线速度和匀速圆周运动观察探究如图 1 所示为自行车的车轮， A、 B 为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：图 1(1)A、 B 两点的速度方向沿什么方向？(2)A、 B 两点在相同的时间内沿圆弧运动的轨迹长度相同吗？哪个运动得快？(3)如果 B 点在任意相等的时间内转过的弧长相等， B 做匀速运动吗？(4)匀速圆周运动的线速度是不变的吗？匀速圆周
5、运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗？答案 (1)两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向。(2)不相同， B 运动的轨迹长， B 运动得快。(3)B 运动的速率不变，但 B 运动的方向时刻变化，故 B 做非匀速运动。(4)质点做匀速圆周运动时，线速度的大小不变，方向时刻在变化，因此，匀速圆周运动不是线速度不变的运动，只是速率不变，是变速曲线运动。而“匀速直线运动”中的“匀速”指的是速度不变，是大小、方向都不变，二者并不相同。4探究归纳1.对线速度的理解(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快。(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的
6、切线方向上。(3)线速度的大小： v ， l 代表弧长。lt2.对匀速圆周运动的理解(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化。(2)匀速的含义速度的大小不变，即速率不变。转动快慢不变，即角速度大小不变。(3)运动性质线速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动。试题案例例 1 (多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A.匀速圆周运动是变速运动B.匀速圆周运动的速率不变C.任意相等时间内通过的位移相等D.任意相等时间内通过的路程相等解析 由线速度定义知，匀速圆周运动的速度大小不变，也就是速率不变，但速
7、度方向时刻改变，故 A、B 正确；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，C 错误，D 正确。答案 ABD(1)矢量的比较，首先要想到方向问题。(2)“相等时间内”的问题，为便于比较可以取一些特殊值，但是有时取特殊值也会犯错，如本题中若取 t T，则相等时间内位移相等，均为 0，这样看来 C 选项正确，所以举例时要具有普遍性。(3)匀速圆周运动中的“匀速” ，是指“匀速率”的意思，匀速圆周运动是变速运动。5针对训练 1 (多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )A.因为它速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动B.它速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动C
8、.该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态D.该质点做的是变速运动，具有加速度，故它所受合力不等于零答案 BD描述匀速圆周运动的物理量及其之间的关系观察探究如图 2 所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动。图 2(1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？如何比较它们转动的快慢？(2)秒针、分针和时针的周期分别是多大？答案 (1)不相同。根据角速度公式 知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大， t时针转过的角度最小，所以秒针转得最快。(2)秒针周期为 60 s，分针周期为 60 min，时针周期为 12 h。探究归纳1.对角速度的理解(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆
9、心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快。(2)角速度的大小： ， 代表在时间 t 内，物体与圆心的连线转过的角度。 t(3)在匀速圆周运动中，角速度大小不变，是恒量。2.对周期和频率(转速)的理解(1)周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点时间周期性。其具体含意是，描述匀速圆周运动的一些变化的物理量，每经过一个周期时，大小和方向与初始时刻完全相同，如线速度等。(2)当单位时间取 1 s 时， f n。频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频6率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同。3.周期、频率和转速间的关系： T 。1f 1n4.描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系(1)v 2 n
10、rlt 2 rT(2) 2 n t 2T(3)v r试题案例例 2 做匀速圆周运动的物体，10 s 内沿半径为 20 m 的圆周运动 100 m，试求物体做匀速圆周运动时：(1)线速度的大小；(2)角速度的大小；(3)周期的大小。解析 (1)依据线速度的定义式 v 可得ltv m/s10 m/s。lt 10010(2)依据 v r ，可得 rad/s0.5 rad/s。vr 1020(3)T s4 s。2 20.5答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4 s针对训练 2 关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( )A.线速度大的角速度一定大
11、B.线速度大的周期一定小C.角速度大的半径一定小D.角速度大的周期一定小解析 由 v r 知， r 一定时， v 与 成正比； v 一定时， 与 r 成反比，故 A、C 均错误；由 v 知， r 一定时， v 越大， T 越小，B 错误；由 可知， 越大， T 越小，2 rT 2T故 D 正确。答案 D7同轴传动和皮带传动问题观察探究如图 3 为两种传动装置的模型图。图 3(1)甲图为皮带传动装置，试分析 A、 B 两点的线速度及角速度关系；(2)乙图为同轴传动装置，试分析 A、 C 两点的角速度及线速度关系。答案 (1)皮带传动时，在相同的时间内， A、 B 两点通过的弧长相等，所以两点的线
12、速度大小相同，又 v r ，当 v 一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小。(2)同轴传动时，在相同的时间内， A、 C 两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为 v r ，当 一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大。探究归纳常见的传动装置及其特点同轴传动 皮带传动 齿轮传动装置A、 B 两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接，A、 B 两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合， A、 B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同规律线速度与半径成正比：vAvB rR角速度与半径成反比： 。周期与半径 A B rR角速度与半径成反
13、比： 。周期与半径 A B r2r18成正比： TATB Rr成正比： TATB r1r2试题案例例 3 (2018阳江高一检测)(多选)如图 4 所示的传动装置中， B、 C 两轮固定在一起绕同一轴转动， A、 B 两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是 rA rC2 rB。若皮带不打滑，则A、 B、 C 三轮边缘上 a、 b、 c 三点的( )图 4A.角速度之比为 122B.角速度之比为 112C.线速度大小之比为 122D.线速度大小之比为 112解析 A、 B 两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则 A、 B 两轮边缘的线速度大小相等， B、 C两轮固定在一起绕同一轴转动，则 B、 C 两轮的
14、角速度相等。a、 b 比较： va vb由 v r 得 a b rB rA12b、 c 比较： b c由 v r 得 vb vc rB rC12所以 a b c122va vb vc112故 A、D 正确。答案 AD传动装置的两个重要特点(1)固定在一起同轴转动的物体上各点角速度相同。(2)不打滑的摩擦传动(包括皮带传动)的两轮边缘上各点线速度大小相等。 针对训练 3 一个圆环，以竖直直径 AB 为轴匀速转动，如图 5 所示，求环上 M、 N 两点的：9图 5(1)线速度的大小之比；(2)角速度之比。解析 M、 N 是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即 M N11，两点做圆周运动的半
15、径之比rM rNsin 60sin 30 1，故3vM vN MrM NrN 1。3答案 (1) 1 (2)113圆周运动的多解问题匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。因匀速圆周运动具有周期性，使得在一个周期中发生的事件在其他周期同样可能发生，在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性。一般处理这类问题时，要把一个物体的运动时间 t，与圆周运动的周期 T 建立起联系，才会较快地解决问题。【针对练习】 如图 6 所示，小球 Q 在竖直平面内绕 O 点做匀速圆周运动，当 Q 球转到图示位置时， O 点正上方有另一小球 P 在距圆周最高点
16、 h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则 Q 球的角速度 应满足什么条件？图 6解析 设 P 球自由下落到圆周最高点的时间为 t，由自由落体运动规律可得h gt2，12解得 t 。2hg10经过时间 t， Q 球由图示位置转至最高点，才能与 P 球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运动，设周期为 T，有t(4 n1) (n0，1，2，3)T4两式联立再由 T ，得(4 n1) 。2 2 2hg所以 (4n1) (n0，1，2，3)。 2 g2h答案 (4n1) (n0，1，2，3) 2 g2h1.(对匀速圆周运动的理解)(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A.匀速圆周运动是匀
17、速运动B.匀速圆周运动是变速运动C.匀速圆周运动是线速度不变的运动D.匀速圆周运动是线速度大小不变的运动解析 这里的“匀速” ，不是“匀速度” ，也不是“匀变速” ，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故 B、D 正确。答案 BD2.(圆周运动各物理量间的关系)汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为 30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车轮的转速约为( )A.1 000 r/s B.1 000 r/minC.1 000 r/h
18、 D.2 000 r/s解析 由公式 2 n，得 v r 2 rn，其中 r30 cm0.3 m， v120 km/h m/s，代入得 n r/s，约为 1 000 r/min。1003 5009答案 B3.(圆周运动各物理量间的关系)(2018东莞高一检测)如图 7 所示，跷跷板的支点位于板的中点， A、 B 是板上的两个点，在翘动的某一时刻， A、 B 的线速度大小分别为 vA、 vB，角速度大小分别为 A、 B，则( )11图 7A.vA vB， A B B.vAvB， A BC.vA vB， A B D.vAvB， ArB，根据 v r 得线速度 vAvB，所以选项 B 正确。答案 B
19、4.(圆周运动的周期性问题)如图 8 所示，半径为 R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方 h 处沿 OB 方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为 B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度 的大小。图 8解析 设球在空中运动时间为 t，此圆盘转过 角。则R vt， h gt212故初速度 v Rg2h n2( n1，2，3)又因为 t则圆盘角速度 2 n (n1，2，3)。n2t g2h答案 R 2 n (n1，2，3)g2h g2h合格性检测1.(多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是( )A.速度 B.速率C.角速度 D.周期12解析 物体做匀速圆周运动时，速度的大
20、小虽然不变，但它的方向在不断变化，选项B、C、D 正确。答案 BCD2.(多选)一般的转动机械上都标有“转速r/min” ，该数值是转动机械正常工作时的转速，不同的转动机械上标有的转速一般是不同的。下列有关转速的说法正确的是( )A.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的线速度一定越大B.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的角速度一定越大C.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越大D.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越小解析 转速 n 越大，角速度 2 n 一定越大，周期 T 一定越小，由 v r 知2 1n只有 r 一定时， 越大， v 才越大，B、D 正确
21、。答案 BD3.(多选)一准确转动的机械钟表，下列说法正确的是( )A.秒针转动的周期最长B.时针转动的转速最小C.秒针转动的角速度最大D.秒针的角速度为 rad/s30解析 秒针转动的周期最短，角速度最大，A 错误，C 正确；时针转动的周期最长，转速最小，B 正确；秒针的角速度为 rad/s rad/s，故 D 正确。260 30答案 BCD4.(2018肇庆高一检测)关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )A.因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定B.如果物体在 0.1 s 内转过 30角，则角速度为 300 rad/sC.若半径 r 一定，则线速度与角速度成反比D.
22、若半径为 r，周期为 T，则线速度为 v2 rT解析 物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故选项 A 错误；角速度 rad/s rad/s，选项 B 错误；线速度与角速度的 t 60.1 5313关系为 v r ，由该式可知， r 一定时， v ，选项 C 错误；由线速度的定义可得，在转动一周时有 v ，选项 D 正确。2 rT答案 D5.两个小球固定在一根长为 L 的杆的两端，绕杆上的 O 点做圆周运动，如图 1 所示，当小球 1 的速度为 v1时，小球 2 的速度为 v2，则转轴 O 到小球 2 的距离为( )图 1A. B.v1Lv1 v2 v2Lv
23、1 v2C. D.（ v1 v2） Lv1 （ v1 v2） Lv2解析 设小球 1、2 做圆周运动的半径分别为 r1、 r2，则 v1 v2 r 1 r 2 r1 r2，又因 r1 r2 L，所以小球 2 到转轴 O 的距离 r2 ，B 正确。v2Lv1 v2答案 B6.(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为 31，线速度之比为23，那么下列说法中正确的是( )A.它们的半径之比为 29B.它们的半径之比为 12C.它们的周期之比为 23D.它们的周期之比为 13解析 由 v r ，得 r ， ，A 正确，B 错误；由 T ，得 T 甲 T 乙v r甲r乙 v甲 乙v乙
24、甲 29 2 13，C 错误，D 正确。2 甲 2 乙答案 AD等级性检测7.(多选)如图 2 所示为皮带传动装置，主动轴 O1上有两个半径分别为 R 和 r 的轮， O2上的轮半径为 r，已知 R2 r， r R，设皮带不打滑，则( )2314图 2A. A B11 B.vA vB11C. B C23 D.vA vC21解析 研究 A、 B 两点： A、 B 两点角速度相同，由 v r 得 ；研究 B、 C 两点：vAvB rR 12B、 C 两点线速度大小相同，由 v r 得 ，因 vB vC，故 vA vC12。 B C rR 23答案 AC8.(2018汕尾高一检测)如图 3 所示，一
25、位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为 d，飞镖距圆盘为 L，且对准圆盘上边缘的 A 点水平抛出，初速度为 v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心 O 的水平轴匀速运动，角速度为 。若飞镖恰好击中 A 点，则下列关系正确的是( )图 3A.dv L2g20B.L (12 n)v0(n0，1，2，3)C.v0 d2D.d 2 g 2(12 n)2(n0，1，2，3)解析 依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上 A 点做匀速圆周运动，恰好击中 A 点，说明A 正好在最低点被击中，则 A 点转动的时间 t ，平抛运动的时间 t ，则（ 2n 1） Lv0有 (n0，1，2，3，)，选项 B 正确，C 错
26、误；平抛运动的竖直位移为Lv0 （ 2n 1） d，则 d gt2，联立有 d 2 g 2(2n1) 2(n0，1，2，3，)，选项 A、D 错误。12 12答案 B9.如图 4 所示，半径为 R 的圆轮在竖直面内绕 O 轴匀速转动，轮上 a、 b 两点与 O 的边线相互垂直， a、 b 两点均粘有一个小物体，当 a 点转至最低位置时， a、 b 两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上。15图 4(1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)；(2)求圆轮转动的角速度大小。解析 (1)由题意知， a 物体做平抛运动，若与 b 点物体下落的时间相同，则 b 物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针转动。(2)a 平抛： R gt212b 竖直下抛：2 R v0t gt212由得 v0 gR2又因 v0R由解得 。g2R答案 见解析
