1、4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程1会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征(重点)2能根据所给条件求圆的标准方程(重点、难点)3掌握点与圆的位置关系(易错点)基础初探教材整理 1 圆的标准方程阅读教材 P118P 119 第 1 行的内容，完成下列问题1以 C(a，b)为圆心，r(r0) 为半径的圆的标准方程为(xa) 2(yb) 2r 2.2以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 x2y 2r 2.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就惟一确定( )(2)方程(xa )2(yb) 2 m2 一定表示圆( )(3)圆(x 2) 2(y3) 29
2、 的圆心坐标是(2,3) ，半径是 9.( )【解析】 (1)正确确定圆的几何要素就是圆心和半径(2)错误当 m0 时，不表示圆(3)错误圆(x 2) 2(y3) 29 的圆心为( 2，3)，半径为 3.【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 点与圆的位置关系阅读教材 P119“例 1”及“ 探究”部分，完成下列问题设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内d 与 r 的大小关系 dr dr dr已知圆的方程是(x 2) 2(y3) 24，则点 P(3,2)( )A是圆心 B在圆上C在圆内 D在圆外【解析】 圆心 M(
3、2,3)，半径r2， |PM | r ，点 P 在圆内3 22 2 32 2【答案】 C小组合作型直接法求圆的标准方程(1)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2) 的圆的方程为( )Ax 2(y2) 21 Bx 2(y 2) 21C(x1) 2(y3) 21 Dx 2(y 3) 21(2)已知一圆的圆心为点(2 ，3) ，一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上，则此圆的方程是( )A(x2) 2(y3) 213B(x2) 2(y3) 213C(x2) 2(y3) 252D(x2) 2(y3) 252【精彩点拨】 (1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方
4、程(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程【自主解答】 (1)设圆心坐标为(0，b) ，则由题意知 1，解得 b2.0 12 b 22故圆的方程为 x2(y 2) 21.(2)设此直径两端点分别为(a,0) ，(0，b)，由于圆心坐标为(2 ，3)，所以a4，b6，所以圆的半径 r ，从而所求圆的方程4 22 0 32 13是(x 2)2(y3) 213.【答案】 (1)A (2)A确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.再练一题1以点 A( 5
5、,4)为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是( ) A(x5) 2(y4) 225B(x5) 2(y4) 216C(x5) 2(y4) 216D(x5) 2(y4) 225【解析】 因该圆与 x 轴相切，则圆的半径 r 等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为( x5) 2 (y4) 216.【答案】 C待定系数法求圆的标准方程求圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)的圆的标准方程【精彩点拨】 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径【自主解答】 法一：设点 C 为圆心，点 C 在直线：x2y 30
6、 上，可设点 C 的坐标为(2a3，a)又该圆经过 A，B 两点，|CA| |CB|. 2a 3 22 a 32，2a 3 22 a 52解得 a2.圆心坐标为 C(1，2)，半径 r .10故所求圆的标准方程为(x 1)2(y2) 210.法二：设所求圆的标准方程为(x a)2(yb) 2r 2，由条件知Error!解得Error!故所求圆的标准方程为(x 1)2(y2) 210.法三：线段 AB 的中点为(0，4) ，k AB ， 3 52 2 12所以弦 AB 的垂直平分线的斜率 k2，所以线段 AB 的垂直平分线的方程为：y42x，即 y2x4.故圆心是直线 y2x 4 与直线 x2y
7、30 的交点，由 Error!得Error!即圆心为(1，2) ，圆的半径为r ， 1 22 2 32 10所以所求圆的标准方程为(x1) 2(y2) 210.1待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程(xa) 2( yb) 2r 2)列方程组(由已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组) 解方程组( 解方程组，求出 a、b、r)得方程 (将 a、b、r 代入所设方程，得所求圆的标准方程)2注意利用圆的有关几何性质，可使问题计算简单再练一题2求圆心在 x 轴上，且过点 A(5,2)和 B(3，2)的圆的标准方程【解】 法一 设圆的方程为(x a)2(yb) 2r 2(r0)则Error!解得
8、Error!所以所求圆的方程为(x 4)2y 25.法二 因为圆过 A(5,2)， B(3，2)两点，所以圆心一定在线段 AB 的中垂线上AB 中垂线的方程为 y (x4)，12令 y0，得 x4.即圆心坐标为 C(4,0)，所以 r|CA| .5 42 2 02 5所以所求圆的方程为(x 4)2y 25.探究共研型与圆有关的最值问题探究 1 若 P(x，y)为圆 C(x1) 2y 2 上任意一点，请求出 P(x，y )到原14点的距离的最大值和最小值【提示】 原点到圆心 C(1,0)的距离 d1，圆的半径为 ，故圆上的点到12坐标原点的最大距离为 1 ，最小距离为 1 .12 32 12 1
9、2探究 2 若 P(x，y)是圆 C(x3) 2y 24 上任意一点，请求出 P(x，y )到直线 xy10 的距离的最大值和最小值【提示】 P( x，y)是圆 C 上的任意一点，而圆 C 的半径为 2，圆心 C(3,0)，圆心 C 到直线 xy 10 的距离 d 2 ，所以点 P 到直线|3 0 1|12 12 2xy10 的距离的最大值为 2 2，最小值为 2 2.2 2已知 x，y 满足 x2(y4) 24，求 的最大值与最x 12 y 12小值【精彩点拨】 x ，y 满足 x2(y4) 24，即点 P(x，y)是圆上的点而表示点 (x，y)与点(1，1) 的距离故此题可以转化为求圆x
10、12 y 12x2( y 4)2 4 上的点与点(1，1)的距离的最值问题【自主解答】 因为点 P(x，y)是圆 x2(y 4) 2 4 上的任意一点，圆心C(0，4) ，半径 r2，因此 表示点 A(1，1)与该圆上点的距离x 12 y 12因为|AC| 2(1) 2(14) 24，所以点 A(1，1)在圆外如图所示而|AC| ，0 12 4 12 10所以 的最大值为 |AC|r 2，最小值为x 12 y 12 10|AC|r 2.101本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用2涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解一般地：
11、 k 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如 taxby 的y bx a最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如 m(xa) 2(yb) 2 的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等再练一题3已知圆 C：(x 3) 2(y4) 21，点 A(0，1)，B(0,1)，设 P 是圆 C 上的动点，令 d|PA| 2|PB| 2，求 d 的最大值及最小值 . 图 411【解】 设 P(x，y)，则 d|PA| 2 |PB|22(x 2y 2)2.|CO| 23 24 225，(51) 2x 2y 2(51) 2. 即 16x2y 236.d 的最小值为 216234，最大值为
12、236274.1点 P(m,5)与圆 x2y 224 的位置关系是( )A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定【解析】 m 22524，点 P 在圆外【答案】 A2以点 为圆心，半径为 的圆的方程为( )(12， 1) 54A. 2(y1) 2(x 12) 2516B. 2( y1) 2(x 12) 54C. 2( y1) 2(x 12) 54D. 2(y1) 2(x 12) 2516【解析】 由圆的几何要素知 A 正确【答案】 A3经过圆 C：(x 1) 2(y2) 24 的圆心且斜率为 1 的直线方程为_. 【解析】 圆 C 的圆心为(1,2)，又所求直线的斜率为 1，故由点斜式得y2x1，
13、即 xy30.【答案】 x y 304若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为_【解析】 由题意知圆 C 的圆心为(0,1)，半径为 1，所以圆 C 的标准方程为 x2( y1) 21.【答案】 x 2(y 1) 215已知圆 C 的半径为 ，圆心在直线 xy20 上，且过点(2,1)，求17圆 C 的标准方程【解】 圆心在直线 xy 20 上，r ， 设圆心为(t，t 2)(t 为17参数) 圆 C 的标准方程为(x t)2( yt2) 217.圆 C 过点(2,1)，(2 t )2 (1t2) 2 17.解得 t2 或 t1.圆心 C 的坐标是(2,0)或(1，3)所求圆 C 的标准方程是(x2) 2y 217 或(x1) 2(y3) 217.
