1、3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离1掌握点到直线的距离公式(重点)2能用公式求点到直线的距离(难点)3会求两条平行直线间的距离(重点、易错点)基础初探教材整理 1 点到直线的距离阅读教材 P106“练习”以下至 P107“例 5”以上部分，完成下列问题1概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离2公式：点 P(x0，y 0)到直线 l：AxBy C0 的距离 d .|Ax0 By0 C|A2 B2原点到直线 x2y 50 的距离是( )A. B. 2 3C2 D. 5【解析】 由点到直线的距离公式得d .|0 0 5|12 22 5【答案】
2、D教材整理 2 两条平行直线间的距离阅读教材 P108“练习”以下至 P109“练习”以上部分，完成下列问题1概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离2求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离3公式：两条平行直线 l1：AxBy C 10 与 l2：AxBy C 20 之间的距离 d .|C1 C2|A2 B2已知直线 l1：xy 10，l 2：x y10，则 l1，l 2 之间的距离为( )A1 B. 2C. D23【解析】 法一：在 l1 上取一点(1，2)，则点到直线 l2 的距离为 .|1 2 1|12 12 2法二：d .|1 1|12 12 2【答案】
3、 B小组合作型点到直线的距离求过点 M(2,1)，且与 A(1,2) ，B(3,0)距离相等的直线方程【精彩点拨】 所求直线过点 M，且到两定点 A 和 B 的距离相等解答本题可以根据几何意义分两类情况：(1)直线过线段 AB 的中点；(2)所求直线与 AB平行，或可利用点到直线的距离公式求解【自主解答】 法一：由题意可得 kAB ，线段 AB 的中点为 C(1,1)，满12足条件的直线经过线段 AB 的中点或与直线 AB 平行当直线过线段 AB 的中点时，由于 M 与 C 点的纵坐标相同，所以直线 MC的方程为 y 1；当直线与 AB 平行时，其斜率为 ，由点斜式可得所求直线方程为12y1
4、(x 2)，即 x2y0.12综上，所求直线的方程为 y1 或 x2y0.法二：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为 ykxb，根据条件有：Error!化简得：Error! 或Error!所以Error!或 Error!故所求直线方程为 y1 或 x2y0.解此类题目有两种方法，一是利用数形结合的方法，过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条，根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类问题的一般方法，它应用了点到直线的距离公式，但设所求直线的方程时，要注意考虑直线的斜率是否存在.再练一题1求点 P(3， 2)到下列直线的距离：(1)y x ；(2) y6；(3)x4.34 14【解】
5、 (1)直线 y x 化为一般式为 3x4y 10，由点到直线的距离34 14公式可得d .|33 4 2 1|32 42 185(2)因为直线 y6 与 y 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d|26|8.(3)因为直线 x4 与 x 轴垂直，所以点 P 到它的距离 d|34|1.两条平行线间的距离直线 l1 过点 A(0,1)，l 2 过点 B(5,0)，如果 l1l 2，且 l1 与 l2 的距离为5，求直线 l1 与 l2 的方程【精彩点拨】 先设出 l1、l 2 的方程，利用两条平行线间的距离公式求解，但注意直线斜率的讨论【自主解答】 当 l1，l 2 的斜率不存在，即 l1：x0，l
6、 2：x 5 时，满足条件当 l1，l 2 的斜率存在时，设 l1：ykx 1，即 kx y10，l2：yk(x5)，即 kxy5k0，由两条平行直线间的距离公式得5，解得 k .|1 5k|k2 12 125此时 l1：12x5y 50，l 2：12x 5y600.综上所述，所求直线 l1，l 2 的方程为 l1：x0，l 2：x 5 或l1：12x5y50，l 2：12 x5y600.求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归 ”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb 1，l 2：ykx b 2，且 b1b
7、 2 时，d ；当直线|b1 b2|k2 1l1：Ax By C10，l 2： AxByC 20 且 C1C 2 时，d ，必须注意|C1 C2|A2 B2两直线方程中 x，y 的系数对应相等再练一题2与直线 2xy 10 的距离等于 的直线方程为( )55A2xy0B2xy 20C2xy 0 或 2xy20D2xy0 或 2xy20【解析】 根据题意可设所求直线方程为 2xy c0，因为两直线间的距离等于 ，所以 d ，55 |c 1|22 12 55解得 c0 或 c2.故所求直线方程为 2xy 0 或 2xy20.【答案】 D探究共研型距离公式的综合应用探究 1 两条互相平行的直线分别过
8、点 A(6,2)和 B(3，1)，并且各自绕着 A， B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d.你能求出 d 的取值范围吗？【提示】 如图，显然有 0d |AB|.而|AB|6 32 2 123 .10故所求的 d 的变化范围为(0,3 10探究 2 上述问题中，当 d 取最大值时，请求出两条直线的方程【提示】 由上图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直而 kAB ，2 16 3 13所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为y23(x 6)和 y13(x3) ，即 3xy200 和 3xy100.在ABC 中，A(1,0)，B(0 ，2)，点 C 在抛物线 yx 2 上，求ABC
9、面积的最小值【精彩点拨】 求出 AB 所在的直线方程，ABC 面积最小就是点 C 到 AB的距离最小从而求得ABC 面积的最小值【自主解答】 |AB| ，12 22 5直线 AB 的方程为 x 1，y 2即 2xy20，设 C 点坐标为(a，a 2)，则 C 点到直线 AB 的距离为d .|2a a2 2|5SABC 12 5 |2a a2 2|5 |a22a2|12 |(a 1)21| ，12 12所以当 a1 时，ABC 的面积最小，最小值为 .121距离公式在有关面积计算中的应用主要体现在一边的高的计算上，但要注意根据条件进行选择2有关最值问题应注意：先考虑几何方法，若运用几何性质不易断
10、定时，改用函数思想求解再练一题3已知ABC 的顶点坐标为 A(1,1)、B(m， )、C(4,2) ，1m4.当 m 为何m值时，ABC 的面积 S 最大？ 【解】 |AC| ，4 12 2 12 10直线 AC 的方程为 ，y 12 1 x 14 1即 x3y20.点 B(m， )到直线 AC 的距离 d ，m|m 3m 2|12 32ABC 的面积S |AC|d |m3 2|12 12 m .12|( m 32)2 14|1m4 ， 1 2，m0 ，0S .|(m 32)2 14| 14 18当 ，m32即 m 时，ABC 的面积 S 最大941点(1 ，1)到直线 xy10 的距离是(
11、)A. B.322 22C. D.32 12【解析】 d .|1 1 1|12 12 322【答案】 A2两条平行线 l1：3x4y 70 和 l2：3x 4y120 间的距离为( )A3 B2C1 D.12【解析】 d 1.| 7 12|32 42【答案】 C3分别过点 A(2,1)和点 B(3，5)的两条直线均垂直于 x 轴，则这两条直线间的距离是_【解析】 d|3(2)| 5.【答案】 54已知两点 A(3,2)和 B( 1,4)到直线 mxy30 的距离相等，则m_.【解析】 由 ，|3m 2 3|m2 12 | m 4 3|m2 12解得 m 或 m6.12【答案】 或6125求与直线 l：5x12y 60 平行且与直线 l 距离为 3 的直线方程. 【解】 与 l 平行的直线方程为 5x12y b0，根据两平行直线间的距离公式得 3，|b 6|52 122解得 b45 或 b33.所求直线方程为：5x 12y450 或 5x12y 330.
