1、课堂探究一、证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动如图所示，摆球受重力 Gmg 和绳子的拉力 F两个力作用，将重力 mg 按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力 F与重力的径向分力的合力充当了以悬点为圆心的圆周运动的向心力，而重力的切向分力 F 提供了使摆球振动的回复力。当单摆运动到摆线与竖直方向夹角为 的位置时，摆球受到的回复力为 Fm gsin 。设单摆的摆长为 l，在摆角 5的条件下，若将 用弧度值来表示，就存在如下近似关系：sin 。上式中弧 OP 所对的弦 OP 就是摆角为 时摆球对平衡位置的位移 x，所以 sin 。xl摆球在摆角 很小的条件下受到的回复力近似表示为：F x，令 k
2、，则 Fkx。mgl mgl对一个确定的单摆来说，k 是一个不随振动变化的定值，这表明摆球所受的回复力的大小跟摆球振动的位移成正比，负号则正好反映了摆球所受回复力的方向与摆球位移的方向相反( 即回复力方向始终指向平衡位置 )。由此可见，单摆在摆角 5的条件下的振动是简谐运动。由于中学物理实验对精度要求不是很高， 10时就可以 满足中学物理实验对误差的要求。做实验时，为了增加可见度，单摆的摆角不必拘泥于小于 5这个角度。二、在探究实验中的几个问题1测量单摆的振动周期时为什么要从平衡位置开始计时单摆摆到平衡位置时的速度最大，从这里作为计时起点误差最小。因为计时的瞬间球快速地通过平衡位置，即使球没有
3、摆到平衡位置或刚超过了平衡位置，摆球的运动用时也很短。相反，若在最大位移处开始计时，正因为是速度很小，计时的瞬间若摆球没有到达或超过最大位移，运动时间较长，引起的误差就会大一些。2如何探究单摆振动的周期跟摆球质量的关系使用摆长相同而质量不同摆球的单摆，测量其摆动的周期即可。3如何探究单摆振动的周期跟振幅的关系同样摆长的单摆，让它们的振动幅度不同，测量其摆动的周期即可。4在周期的测量中，采取什么方法可使误差更小些测量 30 次或 40 次、50 次的总时间，然后求出平均周期即可。三、如何理解单摆的周期公式1等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长。如图，摆球可视为质点
4、，各段绳长均为 l，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙摆球在纸面内做小角度摆动，O为垂直纸面的钉子，而且 OO ，则各摆的周期为l3甲：等效摆长 l 甲 lsin ，T 甲 2 。lsin g乙：等效摆长 l 乙 lsin l，T 乙 2 。l(sin 1)g丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由 O 变为 O，摆球振动时，半个周期摆长为 l，另半个周期摆长为(l )，即为 l，则单摆丙的周期为 T 丙 。l3 23 lg 2l3g2等效重力加速度 g，g 不一定等于 9.8 m/s2g 由单摆所在的空间位置决定。由 gG 知，g 随所在地球表面的位置和高度的变化MR2而变化，高度越高，g 的值就
5、越小。另外，在不同星球上 g 也不同。同一单摆，在不同的地理位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同。同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同。例如单摆放在月球上时，由于 g 月 g地 ，所以同一单摆在月球上的周期比在地球上的周期大，但是水平弹簧振子不会受 g 变化的影响而改变周期。g 还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为 a，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值 gga，若升降机加速下降，则重力加速度的等效值 gga。单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值 g0，摆球不摆动了，周期无穷大。若摆球在摆动过程中突然完
6、全失重，则摆球将以那时的速率相对悬点做匀速圆周运动。一般情况下，g的值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时，摆球所受的张力F 与摆球质量 m 的比值 。Fm类型一 单摆的回复力【例 1】 对于单摆的振动，以下说法中正确的是( ) 。A单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C摆球经过平衡位置时所受回复力为零D摆球经过平衡位置时所受合外力为零解析：该题考查单摆做简谐运动时的回复力。 单摆振动过 程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为 x，可见最大偏角处向心力为零，平衡
7、位置处向心力最大，mgl而回复力在最大偏角处最大，平衡位置 处为零。故 选项 C 正确。答案：C题后反思：回复力和向心力都是按效果命名的，一定要清楚它 们的来源。回复力是沿振动方向上的合力，而不是物体受到的合力。类型二 单摆周期公式的理解及应用【例 2】 有一单摆，其摆长 l1.02 m，摆球的质量 m 0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动 30 次用的时间 t60.8 s，试求：(1)当地的重力加速度是多大？(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？点拨：该题考查了单摆周期公式的应用，可以利用 单摆的周期公式求重力加速度，也可以通过改变摆长从而改变周期。解析：(1)当单摆
8、做简谐运动时，其周期公式 T2 ，由此可得 g ，只要求出 Tlg 42lT2值代入即可。因为 T s2.027 stn 60.830所以 g m/s29.79 m/s 242lT2 43.1421.022.0272(2)秒摆的周期是 2 s，设其摆长为 l0，由于在同一地点重力加速度是不 变的，根据单摆的振动规律有TT0 ll0故有 l0 m0.993 mT20lT2 221.022.0272其摆长要缩短l ll 01.02 m0.993 m0.027 m答案：(1)9.79 m/s 2 (2)其摆长要缩短 0.027 m题后反思：单摆的周期公式 T2 是在当单摆的最大偏角小于 5，单摆的振
9、动是简lg谐运动的条件下才适用的，改 变单摆的摆长能改变单摆的周期，同一单摆在重力加速度不同的两地周期也不相同。单摆的周期与 单摆的振幅无关，与 摆 球的质量也无关，另外根据周期公式的变形式 g 还可以 测重力加速度。42lT2类型三 用单摆测重力加速度【例 3】 在“用单摆测重力加速度”的实验中，(1)某同学的操作步骤为：a取一根细线，下端系住直径为 d 的金属小球，上端固定在铁架台上b用米尺量得细线长度 lc在摆线偏离竖直方向 5位置释放小球d用秒表记录小球完成 n 次全振动的总时间 t，得到周期 Ttne用公式 g 计算重力加速度42lT2按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比_(选填
10、“偏大” “相同”或“偏小”) 。(2)已知单摆在任意摆角 时的周期公式可近似为 TT 0(1asin 2 )，式中 T0 为摆角趋近于 0时的周期， a 为常数。为了用图象法验证该关系式，需要测量的物理量有_ _。若某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图象中的横轴表示_。点拨：单摆实验的目的是测量当地的重力加速度，需要 测 量的物理量有摆长和周期。解析：(1)在实验操作中有一项存在问题。用米尺量得细线的长度 l，在计算时就把 l 作为摆长来处理了，这是不妥的，应该再加上小球的半径。因摆长等于在单摆自然下垂时从悬点到球心的距离。由此判断，所得重力加速度的值偏小。(2)要验证 TT 0(1asin 2 )，具体做法是测量在不同摆角下的周期。由此我们需要测量摆角 ，测量在 该摆角下摆 n 次的总时间 t，得到周期 T 。改换摆角，再次测量。tn将图象中的直线反向延长后与横轴有交点， 该交点的意义 是摆角接近 0时的单摆的周期 T0，所以得横 轴是 T。答案：(1)偏小 (2) T(或 t 、n)、 T题后反思：摆长也可以直接从悬点测到球心，因 摆长引起的 误差就会减小。
