1、教学设计11.2 弧度制作者：房增凤整 体 设 计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量，并且一度的角等于周角的 ，记作 1.1360通 过 类 比 引 出 弧 度 制 ， 给 出 1 弧 度 的 定 义 ， 然 后 通 过 探 究 得 到 弧 度 数 的 绝 对 值 公 式 ，并 得 出 角 度 和 弧 度 的 换 算 方 法 在 此 基 础 上 ， 通 过 具 体 的 例 子
2、 ， 巩 固 所 学 概 念 和 公 式 ，进 一 步 认 识 引 入 弧 度 制 的 必 要 性 这 样 可 以 尽 量 自 然 地 引 入 弧 度 制 ， 并 让 学 生 在 探 究 过程 中 ， 更 好 地 形 成 弧 度 的 概 念 ， 建 立 角 的 集 合 与 实 数 集 的 一 一 对 应 ， 为 学 习 任 意 角 的 三角 函 数 奠 定 基 础 通过探究讨论，关键弄清 1 弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点的目的通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式使学生
3、认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点三维目标1通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制2通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算教学难点：弧度的概念及其与角度的关系课时安排1 课时教 学 过 程导入新课思路 1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘
4、米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路 2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器日晷，或者利用普遍使用的钟表实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法弧度制要使学生真正了解弧度制，首先要弄清 1 弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系弧的
5、度数等于圆心角的度数随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向” ，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段 )的方向来表示一样每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然推进新课Error!Error!问题：在初中几何里，我们学习过角的度量，1的角是怎样定义的呢？问题：我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同的单位制呢？活动：教师先让学生思考
6、或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1 弧度记作 1 rad.如图 1 中， 的长等于半径 r，AB所对的圆心角AOB 就是 1 弧度的角，即 1.lr图 1讨论结果：1的角可以理解为将圆周角分成 360 等份，每一等份的弧所对的圆心角就是 1.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关能，用弧度制Error!问题：作半径不
7、等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连接圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？问题：如果一个半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长是 l，那么 的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系教师给予补充和提示，对表现好的学生进行表扬，对回答不准确的学生提示和鼓励引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1 弧度是等于半径长的弧所对的圆心角
8、(或这条弧) 的大小，而 1的角是周角的 ；第三，1360无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值教师要强调为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制讨论结果：完全重合，因为都是 1 弧度的角 ；将角度化为弧度：3602 rad,1 rad0.017 45 rad，将弧度化为角度：lr 1802 rad 360， 1 rad( )57.305718 .弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧180度数为 rad( )，n (rad)180 n180Error!问题：引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与
9、弧长公式用弧度怎么表示？问题：填写下列的表格，找出某种规律.的长 OB 旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数r 逆时针方向2r 逆时针方向r 12r 20180360活动：教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”？其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表，然后概括出一般情况教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示检查完毕后，教师做个总结由上表可知，如果一个半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长是 l，那么 的弧度数的绝对值是 .这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识 “换算”问题，即角度制
10、、弧度l制都是角的度量制，那么它们一定可以换算推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数) 与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角( 即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是：今后在表示与角 终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角 的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现 k360 或者 2k60 一类3的写法在弧度制中，与角 终边相同的角，连同
11、角 在内，可以写成 2k(kZ)的形式如图 2 为角的集合与实数集 R 之间的一一对应关系图 2讨论结果：与角 终边相同的角，连同角 在内，可以写成 2k(kZ)的形式弧度制下关于扇形的公式为 lR ，S R2，S lR.12 12的长 OB 旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数r 逆时针方向 1802r 逆时针方向 2 360r 逆时针方向 1 57.32r 顺时针方向 2 114.6r 顺时针方向 1800 未旋转 0 0r 逆时针方向 1802r 逆时针方向 2 360Error!例 1 下列命题中，真命题是( )A一弧度是一度的圆心角所对的弧B一弧度是长度为半径的弧C一弧度是一
12、度的弧与一度的角之和D一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住根据弧度制的定义：我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角对照各项，可知 D 为真命题答案：D点评：本题考查弧度制下角的度量单位：1 弧度的概念.变式训练下列四个命题中，不正确的一个是( )A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小是 2C1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度答案：D例 2 将下列用弧度制表示的角
13、化为 2k(kZ，0,2) 的形式，并指出它们所在的象限： ； ； 20；2 .154 323 3活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律即终边在 x 轴、y 轴上的角的集合分别是：| k，k Z ，| k，kZ第一、二、三、四象限角的集合分别为：2|2k0，la2r0，0cos0.75；(2)tan1.2tan1.2.点评：体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制注意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置如求cos0.75之前，要将角模式设置为 DEG(角度制)；求 cos0.75 之前，要将角模式设置
14、为RAD(弧度制) 5. m.3点评：通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式，体会引入弧度制的必要性6弧度数为 1.2.点评：进一步认识弧度数的绝对值公式Error!由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记 180 rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集 R 的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在
15、解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类Error!课本习题 1.1 A 组 6、8、 10.课后探究训练：课本习题 1.1 B 组题设 计 感 想本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题怎么做就怎么难受通过探究让学生明确知识依附于问题而存
16、在，方法为解决问题的需要而产生将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体对优等生，重在引导他们变式思维的训练，培养他们求同思维、求异思维的能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时
17、引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程备 课 资 料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制密位制的单位是“密位”.1 密位就是圆的 所对的圆心角(或这条弧) 的大小因为 3606 000 密位，16 000所以1 16.7 密位，1 密位 0.06 3.6216.6 000密 位360 3606 000密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如 7 密位写成 007，读作“零，零七” ，478 密位写成 478，读作“四，七八” 二、备用习题1一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A. B. C1 D3 6答案：
18、A2圆的半径变为原来的 2 倍，而弧长也增大到原来的 2 倍，则( )A扇形的面积不变 B扇形的圆心角不变C扇形的面积增大到原来的 2 倍 D扇形的圆心角增大到原来的 2 倍答案：B3下列表示的为终边相同的角的是( )Ak 与 2k (kZ) B. 与 k (kZ)4 4 k2 2Ck 与 k (kZ) D(2 k1) 与 3k(kZ)23 3答案：C三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化时间的度量单位时、分、秒分别与角 2(rad)， (rad)， (rad)相对应，只是出于
19、方便的原因，才用时、分、秒时30 1 800钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨例题 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下 )?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向 12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了 x 弧度，则分针转过了 2x 弧度，而时针走 1 弧度相当于经过 h min，分6 360针走 1 弧度相当于经过 min，故有 x (2x )，得 x ，30 360 30 211到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是 2 (rad)211 2411乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为 ，则 12(2)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的 12 倍) ，得 ，2411到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是 (rad)2411点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针
