1、31.1 两角差的余弦公式1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2掌握两角差的余弦公式及其应用两角差的余弦公式(1)cos() _.(2)此公式简记作 C()对两角差的余弦公式的理解：公式中的 ， 都是任意角差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下，cos()cos cos .公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题如由 cos 50cos 20sin 50sin 20能迅速地想到 cos 50cos 20sin 50sin 20cos(5020)cos 30 ；又如 cos( )cos sin( )sin cos ( ) cos .32记忆：公式右端的两
2、部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反【做一做 11】 cos 17等于( )Acos 20cos 3sin 20sin 3 Bcos 20cos 3sin 20sin 3Csin 20sin 3cos 20cos 3 Dcos 20sin 20sin 3cos 3【做一做 12】 cos(3045)等于( )A. B. C. D.22 32 2 34 2 64答案：(1)cos cos sin sin 【做一做 11】 B cos 17cos(203)cos 20cos 3sin 20sin 3.【做一做 12】 D cos(3045)cos 30cos 45sin 30si
3、n 45 32 22 12 22.2 64利用 C() 求特殊角的余弦值剖析：常见的特殊角有：0，30 ，45，60，90 ，120，135，150，180 ，其中任意两个角的差的余弦值均能用 C( )求出这些角是：30 454560120 135135150 15，45 306045135 120150 135 15，1356075，60 135 75，1353015045105，30 13545150105.由此看来，15、75 、105等角的余弦值均能用 C( )求出题型一 化简求值问题【例 1】 求值：(1)sin 285；(2)sin 460sin(160)cos 560cos(28
4、0)分析：解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式求解反思：解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值题型二 给值(式)求值问题【例 2】 已知 sin ， ，cos ， 是第四象限角，求 cos()的值13 (0，2) 27分析：分别求得 cos ，sin 的值，利用 C( )求得反思：已知 sin (或 cos )，cos (或 sin )，求 cos() 的步骤：(1)利用同角三角函数基本关系式，求得 cos (或 sin )，sin (或 cos
5、)的值；(2)代入两角差的余弦公式得cos( )的值题型三 应用角的变换求值【例 3】 已知 sin ，且 ，求 cos 的值( 4) 45 4 34分析：先根据 sin 求出 cos 的值，再根据 构造两角差的余( 4) 45 ( 4) ( 4) 4弦，求出 cos 的值反思：(1)利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：()，()，(2 )( )， ()()， () ( )等12 12(3)本例易出现不求
6、的范围，直接求 cos 而出现两个值的错误4 ( 4)题型四 易错辨析【例 4】 cos _.12错解：cos cos cos cos sin sin .12 (4 6) 4 6 4 6 6 24错因分析：错解的原因是记错了公式，错记为 cos() cos cos sin sin .反思：在两角差的余弦公式 cos() cos cos sin sin 中，要注意它的结构特点：等式右边是余弦之积与正弦之积的和，应用时应特别注意答案：【例 1】 解：(1)sin 285sin(27015)cos 15 cos(6045)(cos 60cos 45sin 60sin 45) .6 24(2)原式si
7、n 100sin 160 cos 200cos 280sin 100sin 20cos 20cos 80(cos 80cos 20sin 80sin 20)cos 60 .12【例 2】 解：sin ， ，cos .13 (0，2) 1 sin2 232cos ， 是第四象限角，27sin .1 cos2375cos() cos cos sin sin .232 27 13 ( 375) 42 3521【例 3】 解：sin ，且 ，( 4) 45 4 34 .2 4cos .( 4) 1 (45)2 35cos cos ( 4) 4cos cos sin sin( 4) 4 ( 4) 4 .
8、35 22 45 22 210【例 4】 正解：cos cos cos cos sin sin .12 (4 6) 4 6 4 6 6 241cos 1cos 4sin 1sin 4等于 ( )Asin 5 Bcos 5 Ccos 3 Dsin 32已知 ， ，则 cos 的值是( )sin6356A. B. C. D.34104102353253若 sin() ， 是第二象限角， ， 是第三象限角，35sin2则 cos() 的值是( )A B. C. D.15254cos 105_.5已知 cos ， ，则 _.453,2cos4答案：1C 原式cos(41)cos 3.2A 3.B4. cos 105cos(13530)cos 135cos 30sin 135sin 30 .64 2645. 由 cos ， ，得21053,2sin ，2cos241()5所以 4csins .5235210
