1、24.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角2会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)，a 与 b 的夹角为 ，则有下表：坐标表示数量积 ab_|a|_或|a| 2_模设 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，则| |_P1P2 垂直 ab ab0 _0夹角 cos _ab|a|b|已知非零向量 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)若 ab x1y2x 2y1，即 x1y2 x2y10.若 ab x1x2y
2、 1y2，即 x1x2y 1y20.这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相等，垂直横横纵纵积相反【做一做 11】 向量 m(1,0)，n(2，5) ，则 mn 等于( )A2 B0 C2 D7【做一做 12】 已知 (3，4) ，则| |等于( )MN MN A3 B4 C. D55【做一做 13】 若向量 a(4,2)，b(6 ，m) ，且 ab，则 m 的值是( )A12 B3 C3 D12【做一做 14】 已知 a(3,0)，b( 5,5)，则 a 与 b 的夹角 _.答案：x 1x2y 1y2 x y x 1x2y 1y2 x21 y21 21 21 x1 x2
3、2 y1 y22x1x2 y1y2x21 y21x2 y2【做一做 11】 C mn120(5) 2.【做一做 12】 D | | 5.MN 32 42【做一做 13】 D ab ，462m 0，解得 m12.【做一做 14】 |a| 3，|b| 5 ，34 9 0 25 25 2ab3( 5) 0515，则 cos .ab|a|b| 15352 22又 0， ，即 a 与 b 的夹角为 .34 341投影的坐标表示剖析：由于向量 b(x 2，y 2)在向量 a( x1，y 1)方向上的投影为| b|cos ( 为 a 与 b 的夹角)，从而向量 b 在向量 a 方向上的投影的坐标表示为|a|
4、b|cos |a| ba|a|.同理可得，向量 a 在向量 b 方向上的投影的坐标表示为|a|cos x1x2 y1y2x12 y12 .|a|b|cos |b| ab|b| x1x2 y1y2x22 y222向量数量积性质的坐标表示剖析：设两个非零向量 a(a 1，a 2)，b(b 1，b 2)，a 与 b 的夹角为 .(1)ab a1b1 a2b2；(2)ab a1b1a 2b20；(3)aa |a|2 |a| ；a12 a22(4)cos cos ；ab|a|b| a1b1 a2b2a12 a22 b12 b22(5)|ab|a|b| |a1b1a 2b2| .a12 a22 b12 b
5、22在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式aba 1b1a 2b2 以及相关的向量的长度公式和夹角公式在这个过程中还要熟练运用方程的思想值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义可使问题快速得解题型一 数量积的坐标运算【例 1】 已知 a(2，1)，b(3，2) ，求(3ab)(a2b) 分析：先求出 ab，a 2，b 2，再对 (3ab)( a2b) 展开求解反思：对于数量积的坐标运算有两种方法：一是先化简再代入向量的坐标，二是先确定向量的坐标，再计算数量积题型二 垂直问题【例 2】 已知向量 a(1,2)，向量 b( x，2) ，且 a
6、(a b) ，则实数 x 等于( )A9 B4 C0 D4反思：有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量积为 0 来解决本题也可先求出ab 的坐标，再代入 a(ab) 0 解得 x.题型三 夹角问题【例 3】 已知 a( ，1)，b(2,2 )3 3(1)求 ab；(2)求 a 与 b 的夹角 .分析：(1)直接用公式 abx 1x2y 1y2 即可；(2)直接用 cos 求解x1x2 y1y2x12 y12 x22 y22反思：利用坐标求两向量夹角的步骤为：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；(2)利用|a| 计算出这两个向量的模；x2 y2(3)由公式 cos 直接
7、求出 cos 的值；x1x2 y1y2x12 y12 x22 y22(4)在 0 内，由 cos 的值求角 .【例 4】 已知ABC 中，A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC 的余弦值分析：BAC 是 和 的夹角，转化为求向量的夹角问题AB AC 反思：已知三角形各顶点坐标求其内角时，可转化为求向量的夹角问题题型四 易错辨析【例 5】 已知 a(1，2)，b(1，)，且 a 与 b 的夹角 为锐角，则实数 的取值范围是( )A(，2) B.( 2，12) (12， )C. D.( 2，23) (23， ) ( ，12)错解：a 与 b 的夹角 为锐角，cos 0，即 ab120，
8、得 ，故选 D.12错因分析：以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的如当 a 与 b 同向时，即 a 与 b 的夹角 0 时 cos 10，此时 2，显然是不合理的反思：对非零向量 a 与 b，设其夹角为 ，则 为锐角 cos 0 且 cos 1 ab0且 amb( m0) ； 为钝角 cos 0 且 cos 1 ab0 且 amb(m 0)； 为直角cos 0 ab0.答案：【例 1】 解法一：因为 ab23( 1)( 2)8，a 22 2(1)25，b 23 2(2) 213，所以(3ab)(a2b)3a 27 ab2b 235782 1315.解法二：a(2，1)，b(3，2)
9、，3ab(6，3)(3 ，2) (3，1)，a2b(2，1)(6 ，4)(4,3)(3ab)(a2b)3(4)( 1)315.【例 2】 A a(ab)，a( ab)0，a 2ab5(x 4)0，解得 x9.【例 3】 解：(1)ab2 2 4 .3 3 3(2)cos x1x2 y1y2x21 y21 x2 y2 .433 14 12 32又 0 180，30.【例 4】 解： (5,1)(2，2) (3,3)，AB (1,4)(2 ，2)(1,6)，AC 3 (1)3615.AB AC 又| | 3 ，AB 32 32 2| | ，AC 12 62 37cos BAC .AB AC |AB
10、 |AC | 153237 57474【例 5】 A a 与 b 的夹角 为锐角，cos 0 且 cos 1，即 ab0 且 a 与 b 方向不同，即 ab12 0，且 amb (m0) ，解得 (，2) ，故选 A.( 2，12)1设 a(1，2)，b( 3,4) ，c (3,2) ，则(a2b)c 等于 ( )A(15,12) B0 C3 D112ABC 中，A(5 ，1)，B(1,1)，C(2,3)，则ABC 是( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形3(2011广东佛山高三质检) 已知向量 a(1,1)，2ab(4,2)，则向量 a，b 的夹角为( )A. B. C
11、. D.64324若向量 a(2x1，x3)，b( x,2x1) ，c (1,2) ，且(ab) c，则实数 x 的值为_5已知 a(1,2)，b(3,2)，若 kab 与 a3b 垂直，求实数 k 的值答案：1C a2b(5,6)，( a2b)c53623.2B (4，2)， (1,2) ，则 4(2) 20.ABCABC .ABC90.3B 由于 2ab(4,2)，则 b(4,2)2a(2,0)，则 ab2，| a| ，| b|2.设向量 a，b 的夹角为 ，则 cos .|ab2又 0，所以 .443 ab(x1,2x)由于(ab) c，则(ab)c0，所以(x 1)2(2x )0，解得 x3.5分析：由(kab)(a3b)，得( kab)(a3b) 0，列方程解得 k 的值解：kabk(1,2)( 3,2)(k3,2k 2) ，a3b(1,2)3(3,2)(10， 4)kab 与 a3b 垂直，(ka b)(a3b) 0，即(k3)10(2k 2)(4)0，解得 k19.
