1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十一)几何概型一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.(2014湖南高考)在区间上随机选取一个数 X,则 X1 的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 B.基本事件空间为区间,它的度量是长度 5,X1 的度量是长度 3,所以所求概率为 .2.(2013黄冈高一检测)设不等式组 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离小于等于 2 的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选 A.平面区域 D 的面积
2、为 4,到坐标原点的距离小于等于 2 的点所在区域的面积为,由几何概型的概率公式可知区域 D 内一个点到坐标原点的距离小于等于 2 的概率为 .【举一反三】若在区域 D 内随机取一点,则此点到坐标原点的距离大于 1 的概率为 ( )A. B.1- C. D.1-【解析】选 D.平面区域 D 的面积为 4,到坐标原点的距离小于等于 1 的点所在区域的面积为,由几何概型的概率公式可知区域 D 内一个点到坐标原点的距离大于 1 的概率为 1- .3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥 A1-ABC 内的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选 B.体积型几何概型问题
3、.11ABCDVP.64.(2014大庆高一检测)如图,在一个边长为 a,b(ab0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为 与 ,高为 b.向该矩形内随机地投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为( )A. B.C. D.【解析】选 C.S 矩形 =ab.S 梯形 = b= ab.故所投的点落在梯形内部的概率 P= = = .5.(2013汉中高一检测)在区间内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间内的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选 D.设取出的两个数为 a,b,则 a,b ,(a,b)构成区域的总面积为 100,而a2+b210 时,点(a,b)在以原点为圆心,以 为半径
4、的圆位于第一象限的区域,面积为,所以这两个数的平方和也在区间内的概率是面积之比,为 = .6.(2013陕西高考)如图,在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是 ( )A.1- B. -1C.2- D.【解题指南】由几何概型的概率计算公式可知只需计算图中阴影部分的面积与矩形的面积之比即可.【解析】选 A.由题设可知,矩形 ABCD 的面积为 2,曲边形 DEBF 的面积为 2- ,故所求概率为 =1- .二、填空题(每
5、小题 4 分,共 12 分)7.(2014深圳高一检测)在区间上随机取一个数 x,则 x的概率为 .【解析】的长度为 3,的长度为 1,所以所求概率是 .答案:8.在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观察,则发现大肠杆菌的概率为 .【解析】大肠杆菌在 400 毫升自来水中的位置是任意的,且结果有无限个,属于几何概型.设取出 2 毫升水样中有大肠杆菌为事件 A,则事件 A 构成的区域体积是 2 毫升,全部试验结果构成的区域体积是 400 毫升,则 P(A)= =0.005.答案:0.0059.在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P
6、 到三个顶点的距离至少有一个小于 1的概率是 .【解题指南】解答本题从正面考虑较繁琐,所以从反面来解答,先计算事件“使点 P 到三个顶点的距离都大于或等于 1”的概率,利用对立事件的概率公式计算.【解析】边长为 2 的正三角形 ABC 内,到顶点 A 的距离小于 1 的点的集合为以点 A 为圆心,1为半径,圆心角为A=60的扇形内.同理可知到顶点 B,C 的距离小于 1 的点的集合.故使点P 到三个顶点的距离都大于或等于 1 的概率为 =1-,故所求的概率为 1- = .答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)10.甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间的某处会面,并约定先到者应等候
7、另一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.【解析】以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|15.在如图所示的平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形区域,其面积用 S 表示,而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示,面积为 SA.由几何概型的概率公式得:P(A)= = = = .所以,两人能会面的概率是 .11.如图,AOB=60,OA=2,OB=5,在线段 OB 上任取一点 C,试求:(1)AOC 为钝角三角形的概率.(2)AOC 为锐角三角形的概率.【解析】如图,由平面几何知识:当 ADO
8、B 时,OD=1;当 OAAE 时,OE=4,BE=1.(1)当且仅当点 C 在线段 OD 或 BE 上时,AOC 为钝角三角形,记“AOC 为钝角三角形”为事件 M,则 P(M)= = =0.4,即AOC 为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点 C 在线段 DE 上时,AOC 为锐角三角形,记“AOC 为锐角三角形”为事件 N,则P(N)= = =0.6,即AOC 为锐角三角形的概率为 0.6.一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.若过正三角形 ABC 的顶点 A 任作一条直线 L,则 L 与线段 BC 相交的概率为( )A. B. C. D.【解题指南】从角度方面考虑,注意和
9、射线的区别.【解析】选 B.由于直线向两端无限延伸,当直线绕点 A 旋转时,直线和线段 BC 相交的概率为 = .【举一反三】若将直线改为射线呢?【解析】选 C.由于射线不是向两端无限延伸,当射线绕点 A 旋转时,射线和线段 BC 相交的概率为 = .2.某人从甲地去乙地共走了 500m,途中要过一条宽为 xm 的河流,他不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,物品不掉在河里就能找到,已知该物品能被找到的概率为,则河宽为 ( )A.16m B.20m C.8m D.10m【解析】选 B.物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的,所以符合几何概型的条件.找到的概率为 ,即掉到河里的概率为
10、 ,则河流的宽度占总距离的 ,所以河宽为 500=20(m).3.(2014郑州高一检测)如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位 1),如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望中奖,则应选择的游戏盘是 ( )【解析】选 A.P(A)= ,P(B)= = ,P(C)= =1- ,P(D)= ,则 P(A)最大,故选 A.4.在长为 10 厘米的线段 AB 上任取一点 G,用 AG 为半径作圆,则圆的面积介于36 平方厘米到 64 平方厘米的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选 D.以 AG 为半径作圆,面积介于 36 平方厘米到 64平方厘米,则 AG 的长度应介于 6
11、厘米到 8 厘米之间.所以所求概率P(A)= = .【变式训练】(2014海口高一检测)一只小蜜蜂在一个棱长为 4 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】根据几何概型知识,概率为体积之比,即 P= = ,选 A.二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)5.(2014重庆高考)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:307:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 .(用数字作答)【解题指南】
12、可设出两人到校的时刻,列出两人到校时刻满足的关系式,再根据几何概型的概率公式进行求解.【解析】设小张与小王到校的时刻分别为 7:30 之后 x,y 分钟,则由题意知小张比小王至少早 5 分钟到校需满足 y-x5,其中 0x20,0y20.所有的基本事件构成的区域为一个边长为 20 的正方形,随机事件“小张比小王至少早 5 分钟到校”构成的区域为阴影部分.由几何概型的概率公式可知,其概率为 P= = .答案:6.在区间上任取一个实数 a,则使直线 ax+y+1=0 截圆 O:x2+y2=1 所得弦长 d的概率是 .【解题指南】由给出的弦长范围,求出圆心到直线 ax+y+1=0 的距离的范围,再由
13、点到直线的距离公式写出圆心到直线的距离,列式求出 a 的范围,然后用长度比求概率.【解析】如图.直线 ax+y+1=0 截圆 O:x2+y2=1 所得弦长 d=AB ,则半弦长 BC ,因为圆的半径等于 1,所以圆心到直线 ax+y+1=0 的距离 OC ,即 ,得-2a-1 或 1a2.又 a,所以在区间上任取一个实数 a,则使直线 ax+y+1=0 截圆 O:x2+y2=1 所得弦长 d的概率是 = .答案:【误区警示】解答本题时易出现利用直线和圆的方程求弦长的解法,这样会使解答过程繁琐、易错,甚至解不出答案.通过本题的解答应该学会抓住问题的本质,适时将问题转化,养成转化与化归的意识.三、
14、解答题(每小题 13 分,共 26 分)7.(2014长春高二检测)在街道旁边有一游戏:在铺满边长为 9cm 的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为 1cm 的小圆板.规则如下:每掷一次交 5 角钱,若小圆板压在边上,可重掷一次;若掷在正方形内,需再交 5 角钱才可玩;若压在正方形塑料板的顶点上,可获得一元钱.试问:(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少?(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?【解析】(1)如图(1)所示,因为圆板的中心 O 落在正方形 ABCD 内任何位置是等可能的,小圆板与正方形塑料板 ABCD 的边相交接是在圆板的中心 O 到与它靠近的边的距离不超过 1cm 时,
15、所以圆板的中心 O 落在图中阴影部分时,小圆板就能与塑料板 ABCD 的边相交接,这个范围的面积等于 92-72=32(cm2),因此所求的概率是 = .(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆板中心 O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径 1cm 时,如图(2)阴影部分,四块合起来面积为 cm 2,故所求概率是 .8.在长度为 10 的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率.【解析】设构成三角形的事件为 A,长度为 10 的线段被分成三段的长度分别为 x,y,10-(x+y),则 即 由一个三角形两边之和大于第三边,有 x+y10-(x+y),即 5x+y10.又由三角
16、形两边之差小于第三边,有 x5,即 0x5,同理 0y5.所以构造三角形的条件为所以满足条件的点 P(x,y)组成的图形是如图所示中的阴影区域(不包括区域的边界).S阴影 = 52= ,SOAB = 102=50.所以 P(A)= = .【方法锦囊】解几何概型概率问题时,区域的两种情况(1)几何区域具有明显的几何意义,随机事件 A 所在的几何区域也明确.(2)几何区域没有直接给出,这时需建立起几何模型.具体步骤:根据题设引入适当变量,利用所引进的变量,把题设中的有关条件转换成变量所满足的代数条件;根据所得到的代数条件找出相应的几何区域,在坐标系中把几何图形画出来;把长度、面积或者体积求出来;代入公式P(A)=计算即可.关闭 Word 文档返回原板块
