1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十)几何概型(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.已知地铁列车每 10min 一班，在车站停 1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选 A.试验的所有结果构成的区域长度为 10min，而构成事件 A 的区域长度为1min，故 P(A)= .【补偿训练】某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率为 ( )A.
2、 B. C. D.【解析】选 C.把汽车到站的间隔时间分为上的实数，其中乘客候车时间不超过 3 分钟时应在内取值，所以发生的概率为 .2.(2015顺义高一检测)在区间上随机选取一个数 X，则 X2 的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选 D.因为基本事件空间为，它的度量是长度 5，X2 的度量为 4，所以所求概率为 .3.下列概率模型中，几何概型的个数为 ( )从区间内任取出一个数，求取到 1 的概率；从区间内任取出一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率；从区间内任取出一个整数，求取到大于 1 而小于 2 的数的概率；向一个边长为 4cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点
3、 P 离中心不超过 1cm 的概率.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.不是几何概型，虽然区间有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；是几何概型，因为区间和上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；不是几何概型，因为区间上的整数只有 21 个(是有限的)，不满足无限性特征；是几何概型，因为在边长为 4cm 的正方形和半径为 1cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有等可能被投到，故满足无限性和等可能性.4.(2015临沂高一检测)如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在
4、正方形的内切圆中的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选 B.设事件 A=小鸡正在正方形的内切圆中，则事件 A 的几何区域为内切圆的面积 S=R 2(2R 为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得 P(A)= = ，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为 .【补偿训练】面积为 S 的ABC，D 是 BC 的中点，向ABC 内部投一点，那么点落在ABD内的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选 B.向ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型.设点落在ABD 内为事件 M，则 P(M)= = .5.已知正三棱锥 S-ABC，在正三棱锥内任取
5、一点 P，使得 VP-ABCAC 的概率是 .【解析】设 CA=CB=m(m0)，则 AB= m.设事件 M：AMAC，即 P(M)= = =1- .答案：1-8.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 .【解析】不在家看书的概率= = = .答案：三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9.一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是
6、多少?(1)红灯.(2)黄灯.(3)不是红灯.【解析】在 75 秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型.(1)P= = = ；(2)P= = = ；(3)P= = = .10.在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为 5cm 的均匀方格的大桌子上掷直径为 2cm 的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大?【解题指南】因为硬币能否完全落入某个方格中，关键看硬币的中心落在方格中的哪个位置，若要使硬币完全落入方格中，则其中心必须距方格的边界至少有一个硬币半径的长度(即 1cm)，因此，要使硬币完全落在方格内，硬币的
7、中心必须落在以正方形的中心为中心，以 5-1-1=3(cm)为边长的小正方形表示的区域内.【解析】如图，边长为 5cm 的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以 3cm 为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为 P= = .(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1.(2015衡水高一检测)在区间 上随机取一个数 x，则事件“0sinx1”发生的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选 C.由于 x ，若 0sinx1，则 0x ，设“0sinx1”为事件 A，则 P(A)= = = .2
8、.如图，在一个边长为 a，b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为 与 ，高为 b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选 C.S 矩形 =ab.S 梯形 = b= ab.故所投的点落在梯形内部的概率为P= = = .二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3.(2015威海高一检测)在区间内任取两个数，则这两个数的平方和也在内的概率是 .【解析】设在内取出的数为 a，b，若 a2+b2也在内，则有 0a 2+b21.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为 1 的正方形，满足 a2+b2在内的点在 单位圆内(如阴影部分所示
9、)，故所求概率为 = .答案：【补偿训练】(2015合肥高一检测)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB= ，BC=1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之一个圆弧 DE，在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 .【解析】(用几何概型，化概率为角度之比)当点 P 在 BC 上时，AP 与 BC 有公共点，此时 AP扫过ABC，所以所求概率 P= = = .答案：4.(2015西宁高一检测)在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图.在球内任取一点 P，则点 P 落在剩余几何体上的概率为 .【解析】由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径 R=5，圆柱底面半径
10、r=4，高 h=6，故球体积 V= R 3= ，圆柱体积 V1=r 2h=96，所以所求概率 P= = .答案：三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)5.图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图，其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，求此长方体的体积.【解析】设长方体的高为 h，则题图 2 中虚线围成的矩形长为 2+2h，宽为 1+2h，面积为(2+2h)(1+2h)，展开图的面积为 2+4h.由几何概型的概率公式知 =，得 h=3，所以长方体的体积是 V=13=3.6.如图，已知 AB 是半
11、圆 O 的直径，AB=8，M，N，P 是将半圆圆周四等分的三个分点.(1)从 A，B，M，N，P 这 5 个点中任取 3 个点，求这 3 个点组成直角三角形的概率.(2)在半圆内任取一点 S，求SAB 的面积大于 8 的概率.【解析】(1)从 A，B，M，N，P 这 5 个点中任取 3 个点，一共可以组成 10 个三角形：ABM，ABN，ABP，AMN，AMP，ANP，BMN，BMP，BNP，MNP，其中是直角三角形的只有ABM，ABN，ABP 3 个，所以组成直角三角形的概率为 .(2)连接 MP，取线段 MP 的中点 D，则 ODMP，易求得 OD=2 ，当 S 点在线段 MP 上时，S
12、ABS = 2 8=8 ，所以只有当 S 点落在阴影部分时，SAB 面积才能大于 8 ，而 S 阴影 =S 扇形 MOP-SOMP = 42- 42=4-8，所以由几何概型的概率公式得SAB 的面积大于 8 的概率为 = .【补偿训练】(2014顺义模拟)已知关于 x 的一次函数 y=ax+b.(1)设集合 A=-2，-1，1，2和 B=-2，2，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数作为a，b，求函数 y=ax+b 是增函数的概率.(2)若实数 a，b 满足条件 求函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率.【解析】(1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为(-2，-2)，(-2，2)，(-1，-2)，(-1，2)，(1，-2)，(1，2)，(2，-2)，(2，2)，共 8 个.设函数是增函数为事件 A，所以 a0，有 4 个，所以 P(A)= .(2)实数 a，b 满足条件 要函数 y=ax+b 的图象不经过第四象限，则需使 a，b 满足 即 对应的图形为小正方形 ODBC，面积为 1.如图：
