1、1.2 正弦定理和余弦定理应用举例（学生版）【知识梳理】（1）正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等即： ，其中 为该三角形外接圆的半径2sinisinabcRABC（2 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即： ， ， 22cocab22cosabA22cosbaC（3 ）面积公式： 11siniinABCShB证明：过点 C 作 CDAB 于 D，此时有 ， ，sC1sin2ACSDbA同理可得 sinsii22ABabcbc2 正弦定理和余弦定理的应用考点 1：三角形面积公式的应用【例 1】在ABC 中，已知 A30，
2、a8，b8 ，求ABC 的面积3练习 1已知ABC 的面积为 ，且 b2，c ，则( )32 3AA 30 BA 60 CA 30 或 150 DA60或 1202在ABC 中，AB 2，BC5，ABC 的面积为 4，则 cosABC 等于( )A. B C D35 35 35 253在ABC 中，已知 b=1，c=3，A=60 0，则 SABC = 。4在 ABC 中，若 ，则其面积等于（ ）8,7cbaA B C D12236考点 2：判断三角形的形状【例 2】 （1）已知ABC 的三边的长度分别为 5、7、8，试判断ABC 的形状（2）已知(abc )(abc)3ab 且 2cosAsi
3、nB sinC，试判断此三角形的形状练习 1在 中， ，则 是（ ）ABCcosbaBACA直角三角形 B锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，若(a 2c 2b 2)tanB ac，则角 B 的值为( )3A. B. C. 或 D. 或6 3 6 56 3 233在 中， 分别为角 的对边，若 ，则 的形状（ ,abc,2cosaBAC）A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形4设 2a1，a,2a1 为钝角三角形的三边长，求实数 a 的取值范围【反思】 本题实质上是求 2a1，a,2a1 能构成钝角
4、三角形的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边” 5在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC(2ac )cosB.(1)求角 B 的大小；(2) 若 b2ac，试确定ABC 的形状考点 3：测量距离类型 1：设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。【例 3】测量者在 A 的同测，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 ，103BAC 45o， ACB75 o，求 A、B 两点间的距离类型 2：A 、B 两点都在河的对岸（不可到达） ，设计一种测量两点间的距离的方法。【例 4】 如图，为了测量河对岸 A，B 两点间的
5、距离，在岸边定一基线 CD，现已测出 CDa 和ACD60，BCD30 ，BDC105 ，ADC60，试求 AB 的长练习 1隔河可以看到对岸两目标 、 ,但不能到达，现在岸边取相距 的 、 两AB3kmCD点，测得 ， ， ， （ 、 、 、75ACB45D30C45ADB在同一平面内） ，求两目标 、 间的距离.D练习 2.如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 、A，观察对岸的点 ，测得 ， ,且 米BC75AB45CA10B（1）求 ；（2）求该河段的宽度sin75考点 4：测量高度【例 5】 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ，在
6、塔底 C 处测得 A 处60的俯角 . 已知铁塔 BC 部分的高为 10 m，求出山高 CD4练习 1：如图，为了测量河对岸的塔高 AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D，测得 CD200 米，在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45和 30，且CBD30 ，求塔高 AB.练习 2如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 仰角为 30，塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15角，小王向前走了 1200m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60角，则电视塔 CD 的高度为 3.在地面上一点 测得
7、一电视塔尖的仰角为 ，再向塔底方向前进 100 m，又D45测得塔尖的仰角为 ，则此电视塔高约为( )60A237 m B227 m C247 m D257 m4. 为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30，测得塔基 B 的俯角为 45，则塔 AB 的高度为多少 m？考点 5：测量角度【例 6】如图，渔船甲位于岛屿 的南偏西 方向的 处，且与岛屿 相距 12 海里，渔船A60BA乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 处出发沿北偏东B的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上（1）求渔船甲的速度；（2）求 的值
8、sin考点 6 三角形中的恒等式证明问题【例 7】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，证明： a2 b2c2sinA BsinC练习 1在ABC 中，求证： .a ccosBb ccosA sinBsinA60ABC东南西北2在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B 、C 的对边，且 .cos Bcos C b2a c(1)求角 B 的大小；(2) 若 b ，ac4，求ABC 的面积133在ABC 中，求证： 2(cos)aBbAab4在ABC 中，求证： cos,cos,cosabCBbAaCBbA1在 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 和 ，则塔高为（
9、20m306）A B C D203m403m403203m2如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，则它的顶角的余弦值为( )A B. C D.78 78 87 873如图，在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为 60，塔基的俯角为45，则这座塔的高度是 ( )A20 m B 20(1 ) m C10( ) m D20(133) 3 6 2 ) m6 24海上有 A，B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B，C 之间的距离为( )A10 n mile B. n mile C5 n mile
10、 D5 31063 2 6n mile5如图，要测量湖中一灯塔的高 CD(水上部分)，可在岸边一建筑物 AB 上进行有关的测量已知 AB20 米，且测出CAD ，ACB ，则灯塔 CD 的高3 4度为( )A20(3 )米 B20( )米 C10 米 3 6 2 2D20( )米3 26一艘轮船从 A 出发，沿南偏东 70的方向航行 40 海里后到达海岛 B，然后从B 出发，沿北偏东 35的方向航行了 40 海里到达海岛 C.如果下次航行直接从 A2出发到 C，此船航行的方向和路程(海里)分别为( )A北偏东 80，20 B北偏东 65，20( 6 2) ( 3 2)C北偏东 65，20 D北
11、偏东 80，20( 6 2) ( 3 2)7一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15方向上，与灯塔 S 相距20 n mile，随后货轮按北偏西 30的方向航行 3 h 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A. n mile/h B. n mile/h106 23 106 23C. n mile/h D. n mile/h106 33 106 338在ABC 中，若 ，则ABC 是( )cosAcosB ba 43A直角三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角形 D等腰直角三角形9ABC 中，AB ，AC1，B30，则ABC 的面积等于( )3A. B. C. 或
12、 D. 或32 34 32 3 32 3410在ABC 中，A60，AB1，AC2，则 SABC 的值为( B )A. B. C. D212 32 3 311已知 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_BC12如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN 60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m ，则山高MN_m.13某海岛周围 38 海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东 60方向，航行 30 海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船_触礁的危险
13、(填“有”或“没有”)14已知ABC 的三个内角 A，B，C 满足 2BAC，且 AB1，BC 4，则BC 边上的中线 AD 的长为_15如图，为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的 A，B ，C 三点进行测量已知 AB50 m，BC120 m，于 A 处测得水深 AD80 m ，于 B 处测得水深 BE200 m，于 C 处测得水深 CF110 m，求 DEF 的余弦值16一只船以 20 海里/时的速度向正东航行，它在 A 点时测得灯塔 P 在船的北偏东 60方向， 2 小时后船到达 B 点时测得灯塔 P 在船的北偏东 45方向，求：(1)船在 B 点时与灯塔 P 的距离；(2)已知以
14、 P 点为圆心，55 海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么此船继续向正东航行，有无触礁的危险？17某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在 A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为 45，距离为 10 海里的 C 处，并测得货船正沿方位角为 105的方向，以 10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以 10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时3间18在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsinA acosB.3(1)求角 B 的大小；(2) 若 b3，sinC 2sinA，求 a，c 的值19 如图，在树丛中为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离，观察者找到一个点 C，从 C 点可以观察到点 A，B ；找到一个点 D，从 D 点可以观察到点 A，C；找到一个点 E，从 E 点可以观察到点 B，C. 并测量得到图中的一些数据，此外，.60DE（1 ）求 的面积；（2 ）求 A、B 两点之间的距离.
