1、怎样建立数学模型一、什么是数学模型和数学建模?数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际系统发生的现象的(近似的)描述 . 而数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型、求解该模型并得到结论以及验证结论是否正确的全过程, 数学建模不仅是了解系统的基本规律的强有力的工具, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模系统的行为的强有力的工具. 许多重要的物理现象, 常常是从某个实际问题的简化数学模型的求解中发现, 并给予明确的数学表述, 例如, 混沌、孤立子、奇异吸引子等. 数学建模本身并不是什么新东西. 纵观科学技术发展史, 我
2、们可以看到数学建模的思想和方法自古以来就是天文学家、物理学家、数学家等用数学作为工具来解决各种实际问题的主要方法. 不过数学建模这个术语的出现和频繁使用是 20 世纪 60 年代以后的事情. 很重要的原因是, 由于计算的速度、精度和可视化手段等长期没有解决, 以及其他种种原因, 导致有了数学模型, 但是解不出来, 算不出来或不能及时地算出来, 更不能形象地展示出来, 从而无法验证数学建模全过程的正确性和可用性, 数学建模的重要性逐渐被人“淡忘”了. 然而，恰恰是在 20 世纪后半叶，计算机、计算速度和精度，并行计算、网络技术等计算技术以及其他技术突飞猛进的飞速发展, 给了数学建模这一技术以极大
3、的推动, 不仅重新焕发了数学建模的活力, 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力. 而且，通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域. 现在数学建模以及相伴的计算和模拟(Simulation, 有人也译作“仿真”)已经成为现代科学的一种基本技术 数学技术. 在各种研究方法, 特别是与应用电子计算机有关的研究方法中, 占有主导地位. 在科技、经济和政府部门的一部分人中, 在某种意义下, 甚至已经成为一种生活方式(way of life), 数学建模无处不在. 在抵押贷款买房和商业谈判等日常生活中都要用到数学建模的思想和方法. 人们越来越认识到数学和数学建模的重要性. 在大、中学的教材中经常出现各种
4、各样的数学模型, 因此, 学习和初步应用数学建模的思想和方法已经成为当代大学生, 以至生活在现代社会的每一个人, 必须学习的重要内容.在部分中学, 都开设了数学建模课; 自 1992 年开始举办的“中国大学生数学建模竞赛(China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling, 缩写为 CUMCM)”已经成为我国大学生课余最大的科技活动. (想了解CUMCM 更多细节的读者可以访问网站 http:/). 于 1985 年开始举办的“美国大学生数学建模竞赛(Mathematical Contest in Modeling, 缩写为 MCM)”以及
5、与 1999 年起开始增加的“美国大学生跨学科建模竞赛(Interdisciplinary Contest in Modeling, 缩写为 ICM)”也是我国大学生非常乐于参加的数学建模竞赛, 近年来这两个竞赛有一半以上的参赛队来自中国. (想了解 MCM 和 ICM 更多的细节的读者可以访问网站 http:/ ).对实际现象的定量研究的重要性和挑战在于怎样去建立能够更好地了解该现象,并且可以应用数学方法来解决的数学模型(数学问题). 实际现象通常都是极为复杂的, 不经过理想化和简化是很难进行定量研究的. 因此, 数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：1.对某个实际问题进行观察、分析(是否
6、抓住主要方面); 2.对实际问题进行必要的抽象、简化，作出合理的假设(往往是很不容易的); 3. 确定要建立的模型中的变量和参数; 4. 根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚至是经验的规律) 建立变量和参数间确定的数学关系 (明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型), 这可能是一个非常具有挑战性的数学问题; 5. 解析或近似地求解该数学问题. 这往往涉及复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法; 6. 数学的结论能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象, 或用某种方法 (例如，历史数据、实验数据或现场测试数据等) 来验证结论是否合理、正确, 这也是很不容易的; 7. 如果第 6 步
7、的结果是肯定的，那么就可以付之试用; 如果是否定的，那就要回到第 1 6 步进行仔细分析，重复上述建模过程。因此，如果要对数学建模下定义的话, 那就是: 数学建模就是上述7个步骤的多次重复执行的过程. 或用框图来表示如下：观察、分析实际问题 利用某种“定律”建立变量和参数间的确定的关系（数学问题, 这个层次上的一个数学模型） 解析或“近似”地求解该数学问题（数学模型） 通不过 通过可应用该数学模型由此可见, 数学建模过程中最重要的三个要素, 也是三个最大的难点是: 1.怎样从实际情况出发做出合理的假设, 从而得到可以执行的合理的数学模型; 2.怎样求解模型中出现的数学问题, 它可能是非常困难的
8、问题; 3.怎样验证模型的结论是合理、正确、可行的. 所以, 当你看到一个数学模型时, 就一定要问问或者想一想它的假设是什么,是否合理? 模抽象、简化，确定变量和参数解释、验证型中的数学问题是否很难, 数学上是否已经解决? 怎样验证该模型的正确与可行性? 当你在学习有关后继课程或参加具体的数学建模活动时牢记这三条, 一定会受益匪浅. 另外, 在建模过程中还有一条不成文的原则: “从简单到精细”, 也就是说, 首先建立一个比较简单但尽可能合理的模型, 对该模型中的数学问题有可能解决很彻底, 从而能够做到仅仅通过实验观察不可能做到的事情, 甚至发现重要的现象. 如果在求解该模型的结果不合理, 甚至
9、完全错误, 那么它也有可能告诉我们如何改进的方向. 要想比较成功地运用数学建模去解决真正的实际问题, 还要学习“双向翻译”的能力, 即能够把实际问题用数学的语言表述出来, 而且能够把数学建模得到的(往往是用数学形式表述的)结果, 用普通人(或者说要应用这些结果的非数学专业的人士)能够懂的普通语言表述出来. 二、可口可乐罐头为什么是这种样子?可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐) 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的? “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖 )容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多少? ”实际
10、上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的正圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为多少? 表面积用 S 表示 , 体积用 V 表示, 则用微积分的典型的解法是 2222(,) , / ()SrhrhrrrhVVSrrr322()2()()0Vrrr3, 2Vr.23332 24482V Vh rdrV 结论: 正圆柱体的直径等于高.测量一个可口可乐饮料罐:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高: 约为6厘米和12厘米. 中间胖的部分的直径约为6.6厘米，胖的部分高约为10.2厘米. 可口可乐饮料罐上标明净含量为 355 毫升( 即 355 立方厘米). 实际的罐内体积为 365 毫升.怎样测量比较
11、简捷? 简化模型分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比. 实际上，饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体。my = AbsoluteThickness2,Line2.3,0.4,2.3,0,2.7,0,2.7,0.8,3.3,0.8,3.3,11,3,12,3,12.4,2.7,0,-3,12,-3,12.4,-3,12,-3.3,11,-3.3,0.8,-2.7,0.8,-2.7,0,-2.3,0,-2.3,0.4mygrapg = ShowGraphicmy,Axe
12、sLabel-x,y,AspectRatio-Automatic, PlotRange-0,12.4用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉), 假设除易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作 , 顶盖的厚b度为 . 想象一下 , 硬度体现在同样材料的b厚度上( 有人测量过, 顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的 3 倍). 因此, 我们可以进行如下的数学建模. 这时必须考虑所用材料的体积( 或者每单位体积的材料的价格). F=AbsoluteThickness1,Line-3.1,0,3.1,0,3.1,12.4,-3.1,0,-3,0.1,3,0.1,3,12.1
13、,-3,12.1,-3,0.1mygrapg = ShowGraphicF,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic, PlotRange-0,12.5 明确变量和参数：设饮料罐的半径为 r（因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内体积为 V. b 为除顶盖外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材料的体积 SV 是因变量 , 而 b 和 V 是固定参数, 是待定参数 . 饮料罐侧面所用材料的体积为 22223()(1)22(1)(1)rbrhbrhbrbhb饮料罐顶盖所用材料的体积为 2r饮料罐底部所用材料的体积为 b所以, SV 和 V 分别为 ,
