1、34 基本不等式： （均值不等式）2ba一、知识点：1定理：如果 a，b 是正数，那么 （当且仅当 ab 时取“”号）a b2 ab我们称 为 a，b 的算术平均数，称 为 a，b 的几何平均数，因而，此定理又可a b2 ab叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.故也叫均值不等式说明：利用均值定理求最值时应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;（2) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在。即：“一正二定三相等”这三个原则。可分别在“正” “定” “相等”三处设题2、常用不等式有：（1） (根据目标不等式左右的运算结构选用) ；2 21abab
2、（2）a、b、c R， （当且仅当 时，取等号） ；22ccabc二、例题分析：例 1：已知 ，求 的最值。 （直用）)0(1xyy例 2：已知 x ,求函数 y=4x-2 + 的最小值 （变形应用） 45541x变式 1、求函数 （ 0）的值域。12xy变式 2、当 x 为何值时， 有最小值28(1)xy变式 3、求函数 的最小值。 4132xy例 3：求函数 的最小值。254xy变式、求函数 （x（0，90 ）4sinyx最 小 值 0例 4：当 0x4 时，求 y=x(9-2x) 的最大值。 （逆用）例 5：若 ，且 2x+5y=20,求 的最大值。 （应用）,xyRlguxy变式、已知
3、 x+3y-2=0,求 最小值。3271xy例 6：正数 满足 ，求 的最小值为。 （方法：“1”的代换）,xy21yx例 7：已知 x0,y0 且 x+2y+xy=30,求 xy 的最大值练习题一、选择题1、设 x,y 为正数，(x+y)( )的最小值为（ ）x1y4A6 B 9 C 12 D 152、已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）,xy.4.141.23、若 是正数，且 ，则 有 （ ）,xy19xyx最大值 最小值 最小值 最大值.A36B136C36D1364、在下列函数中，最小值是 的是（ ）2且 ） .1(,yxR0x.254xy.2xy.sin(0)2yxm244二、填空
4、题5、若 ，则 的最大值 。102x(2)yx6、设 时，则函数 的最小值 。417、已知 ，则 的最小值是 。lg1xy5xy三、解答题：8、已知 ，求 的最值及相应的 的值。1x231xx9若 是正数，且 ,求 的最大值,xy12yx2yx10某校要建一个面积为 392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为 2m和 4 m的小路（如图所示） 。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。34 基本不等式： （均值不等式） （师）2ba一、知识点：1定理：如果 a，b 是正数，那么 （当且仅当 ab 时取“”号）a b2 ab我们称 为 a，b 的算术平均数，
5、称 为 a，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述a b2 ab为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.故也叫均值不等式说明：利用均值定理求最值时应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;（2) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在。即：“一正二定三相等”这三个原则。可分别在“正” “定” “相等”三处设题2、常用不等式有：（1） (根据目标不等式左右的运算结构选用) ；2 21abab（2）a、b、c R， （当且仅当 时，取等号） ；2ccabc二、例题分析：例 1：已知 ，求 的最值。 （直用）)0(1xyy解：当 x0 时，y = 2; 当且
6、仅当 即 x=1 时，y 有最小值 2x1当 x0 时， 0, 0 2 -2x -2, 当且仅当 即 x=-1 时，y 有最大值-2。y1x例 2：已知 x ,求函数 y= + 的最小值 （变形应用） 45541解：y= + = + +3 x 0，x45x（ ）+ 2 y2+3=5 当（ ）= ，即 x= 时，y 有最小值5x11235。变式 1、求函数 （ 0）的值域。2xy解： 0 2 +13 xxy12x1x131,0(y变式 2、当 x 为何值时， 有最小值28()1y解： = = + = + +2，x1， 0，182y92xx9x1xy2 +2=8，当且仅当 = 即 x=4 时，y
7、有最小值 891变式 3、求函数 的最小值。 432xy解： = = + 2 =612942x92当且仅当 = 即 x 时，y 有最小值 6。42x25例 3：求函数 的最小值。25y解析：不能用均值不等式，利用函数的单调性解题， （利用双勾曲线）解： = = +42xy1242x12设 u= 2，y= + =u +2如图：u2，增区间，当 u=2 时，y 有最小值 。5变式、求函数 （x（0，90 ）4sinyx最 小 值 0解：设 u=sinx （0，1 ，y=sinx+ = u + （画图象） ，xsin1知函数在（0，1单调递减，当 u=1 时，y 有最小值 1+4=5例 4：当 0x
8、4 时，求 y=x(9-2x) 的最大值。 （逆用）解：0x4 1(9-2x)9 y=x(9-2x)= 2x(9-2x) =21214)92x（ 81当且仅当 2x=9-2x 即 x= 时，y=x(8-2x)有最大值 .498例 5：若 ，且 2x+5y=20,求 的最大值。 （应用）,xyRlguxy解：20=2x+5y2 xy10 =lg xy lg10=1xy10lg当且仅当 2x=5y=10 即 x=5 y=2 时，u 的最大值 1 .变式、已知 x+3y-2=0,求 最小值。327xy解： = +1 +1 = +1=73271xyyx3yx32当且仅当 ，即 x=3y 时，上式等号成
9、立。3又 x+3y=2 所以 x=1，y= 时 有最小值 7.271xy例 6：正数 满足 ，求 的最小值为。 （方法：“1”的代换） 。,xy21 32方法：“1”的代换有两种方式，一种是乘 1，一种是代 1.例 7：已知 x0,y0 且 x+2y+xy=30,求 xy 的最大值解：30=x+2y+xy2 +xy 即 xy+2 -300, 则 0 3 所以, (xy) =18y2y2xy2max练习题：一、选择题1、设 x,y 为正数，(x+y)( )的最小值为（ B ）x1y4A 6 B 9 C 12 D 152、已知正数 满足 ，则 的最小值为（ B ）,xy.4.141.23、若 是正
10、数，且 ，则 有 （ C ）,xy19xyx最大值 最小值 最小值 最大值.A36B13636D136m2444、在下列函数中，最小值是 的是（ C ）2且 ） .A1(,yxR0x.B254xy.2xy.D1sin(0)2yx二、填空题5、若 ，则 的最大值 。02(12)y186、设 时，则函数 的最小值 。61x4x7、已知 ，则 的最小值是 。2lgy5y三、解答题：8、已知 ，求 的最值及相应的 的值。1x231xx解：22()5()51xy， ， 1x012y当且仅当 ，即 时取等号，5x5故当 时， 有最小值 。1231xy259若 是正数，且 ,求 的最大值,xy2xy解：因为 所以 222x = = = =21yx23x）（ )3(2)23(x4当且仅当 2 ，即 时， 有最大值21yx10某校要建一个面积为 392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为 2m 和 4 m 的小路（如图） ，问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。解：设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为 m,又设占地面积为y m 2，依题意，392x得 =4244(x )424224=648)4392)(8xy784x当且仅当x= 即x=28 时取“=”.784x
