1、单元测评(一) 解三角形(时间：90 分钟 满分：120 分)第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分1在ABC 中，a ，b1，B30，则 A( )3A60 B30C 120 D60或 120解析：由 知 sinA ，又 ab，A60或 120.asinA bsinB 32答案：D2在ABC 中，已知 a11，b20，A 130，则此三角形( )A无解 B只有一解C有两解 D解的个数不确定解析：由 A130，而 ab，可知无解答案：A3在ABC 中，已知 b3，c3 ，A30，则角 C 等于( )3A30 B60或 120C 60 D120解析：由余弦定理可
2、得 a3，根据正弦定理有 ，故 sinCasinA csinC，故 C 60或 120.若 C60，则 B90 C ，而 bc，不满足大边对32大角，故 C120.答案：D4在ABC 中，B 30，AB2 ，AC 2，则ABC 的面积为( )3A2 B.3 3C 2 或 4 D. 或 23 3 3 3解析：如图，ADABsinB 2，故ABC 有两解：S 3ABC BCAD ，12 3SABC BCAD 2 .12 3答案：D5已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ac ，且A75，则 b 的值为( )6 2A2 B. 6 2C 4 2 D423 3解析：sin Asin
3、75 sin(3045)sin30cos45sin45cos30，由 ac 可知，CA 75，所以B30，2 64 6 2sinB ，由正弦定理，可得 b 2，故选 A.12 asinBsinA 2 62 64 12答案：A6在ABC 中，bcosAacosB，则该三角形为 ( )A直角三角形 B锐角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析：b2RsinB，a2RsinA，sinBcos Asin AcosB，sin(AB)0，A B0 或 AB (舍去)，A B.三角形 ABC 为等腰三角形答案：C7若ABC 的周长等于 20，面积是 10 ，A60，则角 A 的对边长3为( )A5 B6C 7
4、 D8解析：abc20， bc 20a，即 b2c 2 2bc400 a240a，b 2c 2 a240040 a2bc ，又 cosA ，b2 c2 a22bc 12b 2c 2 a2bc .又 SABC bcsinA10 ，12 3bc40.由可知 a7.答案：C8如图，四边形 ABCD 中，BC120， AB4，BC CD2，则该四边形的面积等于( )A. B53 3C 6 D73 3解析：四边形面积可分为求ABD 与BCD 两部分的和，由余弦定理 BD2 ，3SBCD BCCDsin120 ，ABD120 3090，12 3S ABD ABBD4 .12 3S 四边形 ABCD 4 5
5、 .3 3 3答案：B9在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若asinBcosCc sinBcosA b，且 ab，则B( )12A. B.6 3C. D.23 56解析：边化角后约去 sinB，得 sin(AC) ，所以 sinB ，但B 非12 12最大角，所以B .6答案：A10某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处出发，沿北偏东 60方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达 B 处时，发现北偏西 45方向有一艘船 C，若 C 船位于 A 处北偏东 30方向上，则缉私艇B 与船 C 的距离是( )A5( ) km B5( ) km6 2 6
6、2C 10( ) km D10( ) km6 2 6 2解析：由题意BAC 30，ACB 75， ，ABsin75 BCsin30BC 10( )10sin75 6 2答案：D第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11在等腰三角形 ABC 中，已知 sinAsinB12，底边 BC10，则ABC 的周长是_ 解析：由正弦定理得 BCACsinAsinB12，又BC10，AC20.ABAC20，ABC 的周长是 10202050.答案：5012在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若a ，b2，sin B cosB ，则角
7、A 的大小为_2 2解析：sinBcosB sin ，2 (4 B) 2sin 1.(4 B)又0B ，B .4由正弦定理，得sinA .asinBb 2222 12又ab， AB，A .6答案：613甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60的方向，两船相距 a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的 倍，则甲船应取北偏东3 方向前进，才能尽快追上乙船，此时 _.解析：设乙船的速度是 v 海里/小时，t 小时后甲船在 C 处追上乙船(如图)，则由题意得甲船的速度是 v 海里/小时，在ABC 中，3ABa，AC vt，BC vt ，ABC120，由正弦定理知 3BCsinBAC，ACsi
8、nABCsinBAC .BCsinABCAC vt sin1203vt 12又 0BAC90，所以BAC30， 60BAC30.答案：3014有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清，具体如下：在ABC 中角 A， B，C 所对的边长分别为a，b，c，已知角 B 45，a ，_.求角 A.若已知正确答案为3A60，且必须使用所有条件才能解得，请写出一个符合要求的已知条件解析：在ABC 中，若已知 B45，a ，A60，则 C180345 6075.由正弦定理得AB ，BCsinCsinA 3sin75sin6036 2432 6 22所以已知条件可填 AB ，另外，若
9、填 C75，则未使用所有6 22条件，若填 AC 的长度，求出 A60或 120，不合题意答案：C6 22三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分15(12 分) 设ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且有2sinBcosA sinAcosCcosA sinC.(1)求角 A 的大小；(2)若 b2， c1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长解：(1) 由题设知， 2sinBcosAsin(AC) sinB，因为 sinB0，所以 cosA .(4 分)12由于 0A ，故 A .(6 分)3(2)因为 a2 b2c 22bccosA41221 3，12所以 a2c
10、2b 2，所以 B .(8 分)2因为 D 为 BC 中点，所以 BD ，AB1，32所以 AD .(12 分)12 ( 32)2 7216(12 分) 在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，A ，sinB .3 33(1)求 cosB 的值；(2)若 2cb 2，求边长 b.解：(1) sinB sinA，33 32B A，(4 分)B 为锐角，cos B .(6 分)63(2)sinCsin(AB ) .32 63 12 33 32 36由正弦定理得 ，(8 分)bsinB csinC又 c 1 ，故 ，b2 b33b2 132 36解得 b .(12 分)6317(1
11、2 分) 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知3cos(BC)16cosB cosC.(1)求 cosA；(2)若 a3， ABC 的面积为 2 ，求 b，c.2解：(1) 3(cosB cosCsinBsinC )16cosBcosC，3cos BcosC3sin BsinC1，3cos( BC)1，(4 分)cos( A) ，cosA .(6 分)13 13(2)由(1)得 sinA ，223由面积公式 bcsinA2 可得 bc6，12 2根据余弦定理得cosA ，b2 c2 a22bc b2 c2 912 13则 b2c 2 13， (10 分)两式联立可得 b
12、2，c3 或 b3，c 2.(12 分 )18(14 分) 已知函数 f(x)msinx cosx(m0)的最大值为 2.2(1)求函数 f(x)在0，上的单调递减区间；(2)ABC 中，f f 4 sinAsinB，角 A，B，C 所对的边(A 4) (B 4) 6分别是 a，b，c，且 C60，c3，求ABC 的面积解：(1) 由题意， f(x)的最大值为 ，所以 2.m2 2 m2 2而 m0，于是 m ，f( x)2sin .2 (x 4)(2 分 )由正弦函数的单调性及周期性可得 x 满足2k x 2k (kZ)，2 4 32即 2k x 2k (kZ )4 54所以 f(x)在0 ， 上的单调递减区间为 .4，(6 分 )(2)设 ABC 的外接圆半径为 R，由题意，得 2R 2 .csinC 3sin60 3化简 f f 4 sinAsinB，得(A 4) (B 4) 6sinAsinB2 sinAsinB.(8 分)6由正弦定理，得 2R(ab)2 ab，ab ab.6 2由余弦定理，得 a2b 2ab9，即(a b)2 3ab90.将式代入，得 2(ab)23ab90，解得 ab3 或 ab (舍去)，(12 分)32故 SABC absinC .(14 分)12 334
