1、人教版必修四3 2 简单的三角恒等变换（练）一、选择题1设30.coscos0，coscos，又在(0，)上，ycosx 是减函数 0 由原式可知：2sin cos (2sin sin )， 2 2 33 2 2tan ， ， . 2 3 2 3 233在ABC 中，若 sinBsinCcos 2 ，则ABC 是( )A2A等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D直角三角形答案 B解析 sinBsinCcos 2 ，sin BsinC ，即 2sinBsinC1cos( BC),A2 1 cosA22sinBsinC1 cosBcosCsin BsinC，即 cosBcosC sinBsin
2、C1，cos(BC)1，BC0，BC .4在ABC 中，若 B30，则 cosAsinC 的取值范围是( )A1,1 B ， 12 12C ， D ， 14 34 34 14答案 C解析 cos AsinC sin(A C)sin(A C)12 sin(AC)，14 121sin(AC)1，cosAsinC ， 14 345已知 cos2 cos2a，那么 sin()sin()等于( )A B. C a Daa2 a2答案 C解析 法一：sin( )sin( )(sincoscossin )(sincoscossin)sin 2cos2 cos2sin2(1cos 2)cos2cos 2(1c
3、os 2)cos 2cos 2a，故选 C.法二：原式 (cos2cos2 ) (2cos212cos 21)cos 2cos 2a.12 126函数 f(x)cos 2xsin xcosx 的最大值是( )A2 B. C. D.32 2 12 1 222答案 C解析 f(x) cosx(cosxsinx) cosx ( cosx sinx) cosxsin(x ) sin(2x222 22 2 4 22)sin sin(2x )4 4 22 4 12当 sin(2x )1 时，f(x)取得最大值4即 f(x)max 1 .22 12 2 127若 ，则 cossin 的值为( )cos2si
4、n( 4) 22A B C. D.72 12 12 72答案 C解析 法一：原式左边sin(2 2) sin(4 )2sin(4 )cos(4 ) sin(4 )2cos (sincos ) ，(4 ) 2 22sincos ，故选 C.12法二：原式cos2 sin2sincos4 cossin4(cos sin)(cos sin)22(sin cos) (sincos) ，222cossin ，故选 C.128设 56，cos a，则 sin 等于( )2 4A. B.1 a2 1 a2C D1 a2 1 a2答案 D解析 5 6， ，54 432sin .4 1 cos22 1 a29(
5、09江西文)函数 f(x)(1 tanx)cosx 的最小正周期为( )3A2 B. C D.32 2答案 A解析 因为 f(x)(1 tanx)cosxcos x sinx3 32cos ，(x 3)所以 f(x)的最小正周期为 2.10已知 ，则 的值为( )32 12 12 12 12cos2Asin Bcos2 2Csin Dcos2 2答案 A解析 原式12 12cos2 12 12( cos) 12(1 cos)|sin |sin ，选 A.2 2二、填空题11若 cos2 m(m0)，则 tan _.(4 )答案 1 1 m2m解析 cos2m，sin2 ，1 m2tan (4
6、)1 cos2(4 )sin2(4 ) .1 sin2cos2 1 1 m2m12. 的值为_ 1sin10 3sin80答案 4解析 原式 1sin10 3cos10 cos10 3sin10sin10cos10 4.2cos(10 60)12sin2013已知 、 均为锐角，且 tan ，则 tan()_.cos sincos sin答案 1解析 tan tan ，cos sincos sin 1 tan1 tan (4 ) ， 且 ytan x 在 上是单调增函数，4 ( 2，2) ( 2，2) ， ，tan( )tan 1.4 4 4三、解答题14求 sin42 cos12sin54的
7、值解析 sin42cos12sin54sin42sin78sin542cos60sin18sin54sin54sin182cos36sin18 2cos36sin18cos18cos18 cos36sin36cos18 .2cos36sin362cos18 sin722cos18 1215求 cos cos cos 的值27 47 67解析 cos cos cos 27 47 67 12sin7(2sin7cos27 2sin7cos47 2sin7cos67) Error!12sin7Error! .12sin7(sin sin7) 1216方程 8x26kx2k 1 0 的两根能否是一个直
8、角三角形的两个锐角的正弦值，若能，求出 k 的值；若不能，请说明理由解析 设直角三角形两锐角分别为 、 ，设已知方程的两根为 x1、x 2，则 x1sin ，x 2sin sin cos(2 )由韦达定理得：x1x 2sin cos sin2 ( 4)(02)x1x2sincos sin212 (02)于是有Error! ，即Error! ，Error!，易知该混合组无解故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值点评 此题易产生下面错解设直角三角形的两个锐角分别为 和 .已知方程的两根为 x1 和 x2，则 x1sin，x 2sin .又 与 互余， x 2sin cos.(2
9、)由 sin2cos 21 得x x 1(x 1x 2)22x 1x2 1.21 2由韦达定理得： 22 19k 28k200.解得：k 12，k 2 .( 6k8) 2k 18 109错因是忽视了一元二次方程有实根应满足 0，锐角的三角函数值应为正值的条件事实上，当 k2 时，原方程可化为 8x212x 50 ，此时 0，方程无实根当k 时，原方程化为：8x 2 x 0，此时 x1x2 ，即 sincos . 是锐109 203 119 1172 1172角，该式显然不成立17求函数 ycos3 xcosx 的最值解析 ycos3x cosx (cos4xcos2x)12 (2cos22x1cos2x)cos 22x cos2x12 12 12 2 .(cos2x 14) 916cos2x 1,1，当 cos2x 时，y 取得最小值 ；14 916当 cos2x1 时，y 取得最大值 1.
