1、课题 基本不等式中的母题及其解答技巧不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳1基本不等式 aba b2基本不等式的使用条件： 一正：a0，b0，即：所求最值的各项必须都是正值； 二定：ab 或 ab 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； 三相等：当且仅当 ab 时取等号；即：等号能否取得在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误2由公式 a2b 22ab 和 可以引申出的常用结论aba b2(1) 2( a， b 同号)
2、；ba ab(2) 2( a，b 异号)；ba ab(3) (a0，b0) 21a 1b ab a b2 a2 b22(或 ab (a b2 )2 a2 b22 (a 0， b 0)3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果 x0，y0 ，且 xyP(定值)那么当 xy 时，xy 有最小值 2 (简记：P“积定和最小”)(2)如果 x0，y0 ，且 xyS(定值) 那么当 xy 时，xy 有最大值 ( 简记：“和S24定积最大”)类型一、直接应用类此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：非零的各数(或式) 均为正；和或积为定值；等号能否成立，即“一正、二定、三相等” ，这三个条件缺一
3、不可解答技巧一：直接应用【母题一】若 x0，y 0，且 xy18，则 xy 的最大值是_【解析】由于 x0，y 0，则 xy2 ，所以 xy 281，当且仅当 xy9 时，xyxy (x y2 )取到最大值 81【答案】81【变式】1已知 f(x)x 2( x0)，则 f(x)有 ( )1xA最大值为 0 B最小值为 0C最大值为4 D最小值为4【解析】x0，f( x) 2224，当且仅当x ，( x) 1( x) 1 x即 x1 时取等号【答案】C2已知 0x1，则 x(33x)取得最大值时 x 的值为 ( )A B13 12C D34 23【解析】0x1，1x0x (33x )3x(1x)
4、3 2 当(x 1 x2 ) 34x1x，即 x 时取等号12【答案】B 3(2014成都诊断)已知定义在 (0，)上的函数 f(x)3 x，若 f(ab)9，则 f(ab)的最大值为_【解析】3 ab 9，ab22 ，得 ab1，f (ab)3 ab3ab【答案】34已知 a，bR，且 ab50 ，则|a2b|的最小值是_【解析】依题意得 a，b 同号，于是有|a 2b| |a|2b| 2 2 2 20，当且仅当|a| |2b|10 时取等号，因此|a|2b| 2|ab| 100|a 2b|的最小值是 20【答案】20类型二、配凑定值类(恒等变形类 )此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从
5、整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小解答技巧二：拆项【母题二】已知 t0，则函数 y 的最小值为_t2 4t 1t【解析】t0，y t 4242，且在 t1 时取等号t2 4t 1t 1t【答案】2解答技巧三：凑项【母题三】若 x2，则函数 yx 的最小值为_1x 2【解析】x2，y (x 2) 2224，当且仅当 x3 时取等号1x 2【答案】4解答技巧四：凑系数【母题四】若 0x ，则函数 yx (83x )的最大值为_83【解析】x2，y
6、 (3x)(83x) 2 ，当且仅当 x 时取等号13 13(3x 8 3x2 ) 163 43【答案】163【变式】1函数 y (x1)的最小值是( )x2 2x 1A2 2 B2 23 3C2 D23【解析】x1，x10y x2 2x 1 x2 2x 2x 2x 1 x2 2x 1 2(x 1) 3x 1x 1 22 22 2当且仅当(x 1)2 2(x 1) 3x 1 3x 1 (x 1)( 3x 1) 3x1 ，即 x1 时，取等号3x 1 3【答案】A2当 x1 时，不等式 x a 恒成立，则实数 a 的最大值为 _1x 1【解析】x1，x 10又 x x1 1213，当且仅当 x2
7、1x 1 1x 1时等号成立则 a3，所以 a 的最大值为 3【答案】33(2014潍坊一模)已知 a b0，ab1，则 的最小值为_a2 b2a b【解析】 ( ab) 2 当且仅当 aba2 b2a b (a b)2 2aba b (a b)2 2a b 2a b 2时，取等号2【答案】2 24已知函数 f(x) 2xx2 6(1)若 f(x)k 的解集为x |x3，或 x2 ，求 k 的值；(2)对任意 x0，f(x )t 恒成立，求 t 的取值范围【解】(1)f(x) kkx 22x6k0由已知x| x 3，或 x2是其解集，得 kx22x6k 0 的两根是3，2由根与系数的关系可知(
8、2)(3) ，即 k 2k 25(2)因为 x0，f(x ) ，当且仅当 x 时取等号2xx2 6 2x 6x 226 66 6由已知 f(x)t 对任意 x0 恒成立 ，故 t ，即 t 的取值范围是 66 66， )类型三、条件最值类利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值 ”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值” ，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的
9、替换，构造不等式求解技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)【母题五】已知 a0，b0，ab1 ，则 的最小值为_ 1a 1b【解析】a0，b0，ab1， 2 22 4，1a 1b a ba a bb ba ab baab即 的最小值为 4，当且仅当 ab 时等号成立1a 1b 12【答案】4【变式】1本例的条件不变，则 的最小值为_ (1 1a)(1 1b)【解析】 52 549当(1 1a)(1 1b) (1 a ba )(1 a bb ) (2 ba)(2 ab) (ba ab)且仅当 ab 时，取等号12【答案】92本例的条件和结论互换即：已知 a0，b0， 4，则 ab 的最小值为1a
10、1b_【解析】由 4，得 1ab (ab) 21a 1b 14a 14b (14a 14b) 12 b4a a4b 121当且仅当 ab 时取等号b4a a4b 12【答案】13若本例条件变为：已知 a0，b0，a2b3，则 的最小值为_2a 1b【解析】由 a2b3 得 a b1， 213 23 2a 1b (13a 23b)(2a 1b) 43 a3b 4b3a 43 当且仅当 a2b 时，取等号a3b4b3a 83 32【答案】834本例的条件变为：已知 a0，b0，c0，且 abc1，则 的最小值为1a 1b 1c_【解析】a0，b0，c0，且 abc1， 1a 1b 1c a b c
11、a a b cb3 3 32229当且仅当a b cc ba ca ab cb ac bc (ba ab) (ca ac) (cb bc)abc 时，取等号13【答案】95若本例变为：已知各项为正数的等比数列a n满足 a7a 62a 5，若存在两项am，a n，使得 2 a1，则 的最小值为_aman 21m 4n【解析】设公比为 q(q0)，由 a7a 62a 5a 5q2a 5q 2a5q 2q20(q0)q2 2 a1a 12m1 a12n1 8a 2 m1 2n1 8mn23m n5，则aman 2 21 (mn) (52 ) ，当且仅当 n2m 时等号成立1m 4n 15(1m 4
12、n) 155 (nm 4mn) 15 4 95 103【答案】956(2012浙江)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是( )A B245 285C5 D6【解析】x0，y 0，由 x3y5xy 得 13x4y (3x4y) 15(1y 3x) 15 (1y 3x) 15 2 5( 当且仅当 x2y 时取等号)(3xy 4 9 12yx) 135 15(3xy 12yx) 135 15 3xy12yx【答案】C7已知不等式(xy) 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值是( )(1x ay)A2 B4C6 D8【解析】(xy) 1a 1a2 ，当 1a
13、2 9 时不等式恒成(1x ay) yx axy a a立，故 13，a4a【答案】B技巧六：构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2b 22ab逆用就是 ab ； (a，b0)逆用就是 ab 2 (a，b0) 等还要注意a2 b22 a b2 ab (a b2 )“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等思考方式还能以保留“和(a b)”还是“积(ab) ”来确定公式的运用方向【母题六】若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是 _【解析】由 x0，y 0，2x y6xy，得 xy2 6(当且仅当 2xy 时，等号成立)，2xy即(
14、 )22 60，( 3 )( )0 又 0， 3 ，即xy 2xy xy 2 xy 2 xy xy 2xy18xy 的最小值为 18【答案】18【变式】1已知 x0，y 0，x 2y2xy8，则 x2y 的最小值是( )A3 B4C D92 112【解析】依题意，得 2xy(x2y)8 2，当且仅当Error!即Error!时等号成(x 2y2 )立( x2y) 24( x2y)32 0，解得 x2y4 或 x2y8(舍去) ，x2y 的最小值是 4【答案】B2若正数 x，y 满足 x23xy 10，则 xy 的最小值是( )A B 23 223C D33 233【解析】对于 x23xy10
15、可得 y ( x)，xy 2 (当且仅当131x 2x3 13x 29 223 ，即 x 时等号成立) 2x3 13x 22【答案】B3若实数 x，y 满足 x2y 2xy1，则 xy 的最大值是_【解析】x 2y 2xy1(x y )2xy1(xy) 21xy( )2，解得x y2 xy 233 233【答案】233类型四、基本不等式的应用1某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓库，这两项费用y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站
16、_公里处【解析】设 x 为仓库与车站距离，由已知 y1 ，y 20.8 x费用之和20xyy 1y 20.8 x 2 8，当且仅当 08x ，即 x5 时等号成立20x 0.8x20x 20x【答案】52 规定记号“”表示一种运算，即 ab ab( a，b 为正实数)若(创 新 题 ) ab1k3，则 k 的值为_ ，此时函数 f(x) 的最小值为_k xx【解析】1k 1k 3，即 k 20， 1 或 2(舍)，k1k k k kf(x) 1 123，当且仅当 ，即 x1 时等号成立k xx x x 1x x 1x x 1x【答案】1；33设 (1 ，2) ， (a，1)， ( b，0)(a
17、 0，b0，O 为坐标原点)，若OA OB OC A，B ，C 三点共线，则 的最小值是( )2a 1bA4 B92C8 D9【解析】 (a1,1)， ( b1,2)若 A，B，C 三点共AB OB OA AC OC OA 线，则有 ，AB AC (a1)21( b1)0，2ab1，又 a0，b0， (2ab)2a 1b (2a 1b)5 52 9，当且仅当Error!即 ab 时等号成立2ba 2ab 2ba 2ab 13【答案】D4设正实数 x，y ，z 满足 x23xy4y 2z0，则当 取得最大值时， 的最大xyz 2x 1y 2z值为( )A0 B1C D394【解析】由已知得 zx
18、 23xy4y 2(*)，则 1，当且仅当xyz xyx2 3xy 4y2 1xy 4yx 3x2y 时取等号，把 x2y 代入(*)式，得 z2y 2，所以 2112x 1y 2z 1y 1y 1y2 (1y 1)【答案】B5已知 x0，y 0，x y3xy，且不等式(xy) 2a(xy) 10 恒成立，则实数a 的取值范围是_【解析】要使(xy) 2a( xy) 10 恒成立，则有(xy) 21a(xy)，即 a( xy) 恒成立1x y由 xy3xy，得 xy3xy 2，即(xy) 24(xy) 120，解得 xy6 或(x y2 )xy2(舍去)设 txy，则 t6，(x y ) t
19、设 f(t)t ，则在 t6 时，f(t)单调递增，所以1x y 1t 1tf(t)t 的最小值为 6 ，所以 a ，即实数 a 的取值范围是 1t 16 376 376 ( ，376【答案】 ( ，376【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数 yx (m0)的mx单调性1小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(ab) ，其全程的平均时速为 v，则( )Aav Bvab abC v Dvaba b2 a b2【解析】设甲、乙两地之间的距离为 sab，v 2ssa sb 2sab(a b)s 2aba b 2ab2ab 又 va a 0，vaab2aba b ab a2
20、a b a2 a2a b【答案】A2函数 y 的最小值是( )x4 3x2 3x2 1A2 B23C3 D5【解析】y ( x21) 1213，当且x4 3x2 3x2 1 (x2 1)2 (x2 1) 1x2 1 1x2 1仅当( x21) ，即 x0 时，取等号1x2 1【答案】C3(2011湖南)设 x，yR，且 xy0，则 的最小值为_(x2 1y2)(1x2 4y2)【解析】 5 4x 2y252 9，当且仅当 x2y2(x2 1y2)(1x2 4y2) 1x2y2 1x2y24x2y2时，等号成立12【答案】94(2014贵阳适应性监测)已知向量 m(2,1)，n (1b，a)(a0，b0) 若 mn，则 ab 的最大值为_【解析】依题意得 2a1b，即 2ab1(a0，b0) ， 因此 12ab2 ，即2abab ，当且仅当 2ab 时取等号，因此 ab 的最大值是 18 12 18
