1、3-2-1 古典概型命题方向 1 基本事件个数的计算1、 将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于 8”包含几个基本事件？解析 解法一 (列举法)：(1)用(x，y) 表示结果，其中 x 表示第 1 枚骰子出现的点数， y 表示第 2 枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为：(1,1)， (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5) ，(1,6)，(2,1)， (2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5) ，(2,6)，(3,1)， (3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5) ，(3,6)，(4,1)， (4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5
2、) ，(4,6)，(5,1)， (5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5) ，(5,6)，(6,1)， (6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5) ，(6,6)共 36 个基本事件(2)“现出的点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事件：(3,6)，(4,5)， (4,6)，(5,4)，(5,5) ，(5,6) ，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6) 解法二(列表法) ：如下图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应(1)由图知，基本事件总数为 36.(2)总数之和大于 8 包含 10 个基本事件( 已用虚线圈出) 解法三(树形图法)
3、：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示如下图所示：(1)由图知，共 36 个基本事件(2)点数之和大于 8 包含 10 个基本事件( 已用“”标出) 2、一只口袋内装有大小相同的 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中一次摸出两个球(1)共有多少个基本事件？(2)两个都是白球包含几个基本事件？解析 (1)方法一：采用列举法：分别记白球为 1,2,3 号，黑球为4,5 号，有以下基本事件：(1,2)， (1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3) ，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5) ，(4,5)共 10 个( 其中 (1,2)表示摸到 1 号，2 号球)方法二：采
4、用列表法：设 5 个球的编号为：a、b、c、d、e ，其中 a，b，c 为白球，d，e 为黑球列表如下：a b c d ea (a，b) (a， c) (a，d) (a， e)b (b，a) (b， c) (b，d) (b， e)c (c， a) (c， b) (c， d) (c，e)d (d，a) (d，b) (d， c) (d， e)e (e， a) (e， b) (e，c) (e， d)由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a) 与(a，b)是相同的事件，故共有 10 个基本事件(2)方法一中“两个都是白球”包括(1,2) ，(1,3)，(2,3)三种方法二中包括(a，b)
5、，( b，c)，(c，a) 三种.命题方向 2 古典概型的判定1、 下列概率模型中，是古典概型的个数为( )(1)从区间1,10 内任取一个数，求取到 1 的概率；(2)从 110 中任意取一个整数，求取到 1 的概率；(3)在一个正方形 ABCD 内画一点 P，求 P 刚好与点 A 重合的概率；(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率A1 B2C 3 D4解析 第 1 个概率模型不是古典概型，因为从区间1,10内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性” 第 2 个概率模型是古典概型，因为试验结果只有 10 个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第
6、 3 个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概型；第 4 个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等故选 A.答案 A2、下列概率模型是否为古典概型(1)袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球，有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件，是否为古典概型？(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上，将豆子所落的位置看作一个基本事件，是否是古典概型？(3)一名射击运动员射击，把击中的环数看成基本事件，是否是古典概型？解析 (1)由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故共有11 种不同的摸法，
7、又因为所有球大小相同，因此每个球被摸到的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型. (2)由豆子落在桌面上的位置有无数个，即有无数个基本事件，所以以豆子所落的位置为基本事件的概率模型不是古典概型(3)由于运动员击中每一环的可能性不同，故以击中的环数为基本事件的概率模型不是古典概型(3)由于运动员击中每一环的可能性不同，故以击中的环数为基本事件的概率模型不是古典概型命题方向 3 古典概型概率的求法1.对于古典概型，任何事件 A 的概率为：P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 m基 本 事 件 的 总 数 n2求古典概型概率的步骤为：(1)判断是否为古典概型；(2)算
8、出基本事件的总数 n；(3)算出事件 A 中包含的基本事件个数 m；(4)算出事件 A 的概率，即 P(A) .mn在运用公式计算时，关键在于求出 m，n.在求 n 时，应注意这 n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错3对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可4处理较复杂事件的概率时，往往结合互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式求解1、 先后抛掷两枚骰子，观察向上的点数，则：(1)所得点数之和是 3 的概率是多少？(2)所得点数之和是 3 的倍数的概率是多少？(3)所得点数之和不是 3 的倍数的概率是多少？解析 掷一枚骰子的结果有
9、 6 种由于第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的任意一个结果配对，组成先后抛掷两枚骰子的一个结果，因此先后抛掷两枚骰子的结果共有 36 种(1)事件 “所得点数之和为 3”记为 A，共有两种结果：“第一枚点数为 1，第二枚点数为 2”和“第一枚点数为 2，第二枚点数为 1”，故所求概率为 P(A) .236 118(2)所得点数之和是 3 的倍数的结果有(1,2) ，(1,5) ，(2,1)，(2,4)，(3,3)， (3,6)，(4,2)，(4,5) ，(5,1) ，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共 12 种记“向上的点数之和是 3 的倍数”为事件 B，则事件 B 的结果有12 种
10、，故所求的概率为 P(B) .1236 13(3)由(2)得“ 所得点数之和不是 3 的倍数”的概率是 1P(B) .232、一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已编有不同号码的 3 个黑球，从中摸出 2 个球求：(1)基本事件总数；(2)事件 “摸出 2 个黑球”包含多少个基本事件？(3)摸出 2 个黑球的概率是多少？解析 由于 4 个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型(1)将黑球编号为黑 1，黑 2，黑 3，从装有 4 个球的口袋内摸出 2个球，所有基本事件构成集合 ( 黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑 1，白)， (黑 2，黑 3)，(黑 2，白)，(黑
11、 3，白)，其中共有 6 个基本事件(2)事件 “摸出 2 个黑球”( 黑 1，黑 2)， (黑 2，黑 3)， (黑 1，黑 3)，共 3 个基本事件(3)基本事件总数 n6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数 m3，故 P .12命题方向 4 较复杂的古典概型概率计算问题1、 袋中有两个红球和两个白球，现从中任取两个小球，求所取的两个小球中至少有一个红球的概率解析 给两个红球编号为 1,2，两个白球编号为 3,4，从中任取两个，共有 6 个基本事件：1,2，1,3 ， 1,4，2,3 ，2,4，3,4设至少有一个红球为事件 A.解法一：至少有一个红球的结果有 5 个：1,2，1,3，1,
12、4，2,3，2,4，则至少有一个红球的概率为 P(A) .56解法二：设事件 B“有一个红球与一个白球” ，事件“两个都是红球” ，则 AB C .由互斥事件的概率加法公式得 P(A)P( BC)P( B)P (C) .46 16 56解法三：设事件 D“两个都是白球” ，则事件 A 与事件 D 互为对立事件，所以 P(A) 1P(D)1 .16 562、在大小相同的 6 个球中，2 个是红球，4 个是白球，若从中任意选取 3 个，则所选的 3 个球中至少有 1 个红球的概率是多少？解析 从 6 个球中任意选取 3 个，设事件 A：取 3 个白球；事件 B：取到 2 个白球， 1 个红球；事件
13、 C：取到 1 个白球，2 个红球则 A， B，C 是两两互斥的，因此可用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式来求设白球标号为 1,2,3,4，红球标号为 5,6， “从 6 个球中任选 3 个球”包括：(1,2,3) ，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1, 4,6)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,3,5) ，(2,3,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)，(4,5,6) ，共 20 个基本事件解法一(用对立事件) ：“选取的 3 个都是白球”包括(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共 4 个基本事件故所求概率为 P1 .420 45解法二(古典概型) ：“至少有 1 个红球”的情形包括(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6) ，(1,5,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6) ，(3,5,6)，(4,5,6)，共 16 种，所以所选 3 个球中至少有 1 个红球的概率为 .1620 45
