1、章末综合能力测试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC 中，A45，B60，a10，则 b( )A5 B102 2C. D 51063 6解析：由正弦定理得， ，10sin45 bsin60b 10 105 .sin60sin453222 6答案：D2某人先向正东方向走了 x km，然后他向右转 150，向新的方向走了 3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么 x 的值为( )3A. B23 3C2 或 D33 3解析：根据余弦定理可得：( )2x 23 223xcos(
2、180150)，3即 x23 x60.x2 或 .3 3 3答案：C3在ABC 中，若(aacosB)sinB(bccos C)sinA，则这个三角形是( )A底角不等于 45的等腰三角形B锐角不等于 45的直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析：由正弦定理得 asinB bsinA.故 asinBcosBc sinAcosC，sinAsinBcosB sinCsinAcosC，sin2Bsin2C.故 BC 或 2B2C，即 BC .2这个三角形为直角三角形或等腰三角形答案：D4在ABC 中角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 4sin2 cos2 C ，且A B
3、2 72ab5，c ，则ABC 的面积为( )7A. B.332 32C. D.34 334解析：因为 4sin2 cos2C ，A B2 72所以 21cos( AB) 2cos 2C1 ，7222cosC2cos 2C1 ，cos 2CcosC 0，72 14解得 cosC ，12故 sinC .32根据余弦定理有 cosC ，12 a2 b2 72ababa 2b 27，3aba 2b 22ab7(ab )2725718，ab6.所以 S absinC 6 .12 12 32 332答案：A5在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 bc a,2sinB3sin
4、 C，14则 cosA 的值为 ( )A. B14 14C. D34 34解析：由正弦定理得到边 b，c 的关系，代入余弦定理的变式求解即可由 2sinB3sinC 及正弦定理得 2b3c ，即 b c.32又 bc a， c a，即 a2c .由余弦定理得14 12 14cosA .b2 c2 a22bc94c2 c2 4c2232c2 34c23c2 14答案：B6ABC 的三边长分别为 a，b，c，且 a1，B45，S ABC 2，则ABC 的外接圆的直径为( )A4 B53C5 D62 2解析：S ABC 2， acsinB2.12 1c 2，c4 .12 22 2b 2a 2c 22
5、ac cosB，b 21 2(4 )2214 25，b5.2 222 2R，2R 5 ，故选 C.bsinB 5sin45 2答案：C7在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，若 cosB ， 2，且 S14 sinCsinAABC ，则 b( )154A4 B3C2 D1解析：依题意得 c2a，b 2a 2c 22ac cosBa 2(2a) 22a2a 4a 2，所以14bc2a，sinB .又因为 SABC acsinB b ，所以 b2.1 cos2B154 12 12 b2 154 154答案：C8设ABC 的内角 A，B ，C 所对边的长分别为 a，b，c.若
6、bc2a,3sinA5sin B，则角 C( )A. B.3 23C. D.34 56解析：由 3sinA5sinB 可得 3a5b，又因为 bc2a，所以可令a5t ，b3t，c 7t( t0)，可得 cosC ，故 C .5t2 3t2 7t225t3t 12 23答案：B9若锐角ABC 的三边 a，b，c 满足 f(x)b 2x2(b 2c 2a 2)xc 2，则 f(x)的图象( )A与 x 轴相切 B在 x 轴上方C在 x 轴下方 D与 x 轴交于两点解析：(b 2c 2a 2)24b 2c2(2 bccosA)24b 2c24b 2c2(cos2A1)0ABAD，且 ，01，BD
7、BC BD8 .在ABD 和ADC 中，由余弦定理的推论，得cosBDA ，AD2 BD2 AB22ADBDcosADC .AD2 DC2 AC22ADDCcosBDAcosADC，将已知代入化简，得22(22 )( 2) 0，3 3解得 ，故选 C.3 12答案：C12在ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2Csin BsinC，则A 的取值范围是( )A. B.(0，6 6，)C. D.(0，3 3，)解析：在ABC 中，由正弦定理，可得 sinA ，sin B ，sinC (其中 R 为ABCa2R b2R c2R外接圆的半径)，由 sin2Asin 2Bsin 2Csin Bs
8、inC，可得 a2b 2c 2bc ，即b2c 2a 2bc，cosA ，0A .b2 c2 a22bc 12 3答案：C二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则 a2b 2 与 c2 的大小关系为_解析：cosC ，且C 为钝角，a2 b2 c22abcosC0，a 2b 2c 20.故 a2b 2c2.答案：a 2b 2c214在ABC 中，A 满足 sinAcos A1，AB2，BC2 ，则ABC 的面积为3 3_解析：由Error!得Error!A120.由正弦定理得 ，sin C .2sinC 23sinA 12C30，
9、B30 ，S ABBCsinB 22 sin30 .12 12 3 3答案： 315ABC 中，B60，AC ，则 AB2BC 的最大值为_3解析：在ABC 中，根据 ，得 AB sinC sinC2sinC ，同理ABsinC ACsinB BCsinA ACsinB 332BC2sin A.所以 AB2BC2sinC4sin A2sinC 4sin(120C)4sinC2 cosC2 sin(C ) .又 0C 120，故 AB2BC3 7 (tan 32，且 是 第 一 象 限 角 )的最大值为 2 .7答案：2 716在锐角ABC 中，若 BC1，B2A，则 的值等于_，AC 的取值范
10、围为ACcosA_解析：由正弦定理得 ，即 . 2.ABC 是锐角三角形，ACsin2A BCsinA AC2sinAcosA 1sinA ACcosA0 A ，02 A ，0 3A ，解得 A .由 AC2cos A 得 AC 的取值范围为( ， )2 2 2 6 4 2 3答案：2 ( ， )2 3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边长，已知 b2ac，且 a2c 2acbc.求：(1)角 A 的大小；(2) 的值bsinBc解析：(1)b 2ac，且 a2c
11、 2acbc ，b 2c 2a 2bc .在ABC 中，由余弦定理的推论，得 cosA ，A60.b2 c2 a22bc bc2bc 12(2)在ABC 中，由正弦定理得 sinB ，bsinAab 2ac，A 60， sin60 .bsinBc b2sin60ac 3218(本小题满分 12 分)f(x) sin ，在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f(A)3 (2x 3) ，a 2，B ，求ABC 的面积32 3解析：f(x) sin ，3 (2x 3)f(A) sin ，3 (2A 3) 32sin .(2A 3) 12B ，0A ， 2A ，3 23 3
12、3532A ，A .3 56 4由正弦定理 ，得 b .asinA bsinB asinBsinA23222 6由 A ，B 得 C ，4 3 512sinCsin .512 6 24S absinC 2 .12 12 6 6 24 3 3219(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，并且 sin2 .A2 c b2c(1)试判断ABC 的形状并加以证明；(2)当 c1 时，求ABC 周长的最大值解析：(1)ABC 为直角三角形证明如下：证法一：由已知，可得 ，1 cosA2 12 b2c即 cosA .又由余弦定理，得bccosA .化简得 c2a
13、2b 2，b2 c2 a22bc bc由此知ABC 为直角三角形证法二：由证法一知 bccosA，由正弦定理得 sinBsin CcosA.由 sinBsin(AC)，从而有 sinAcosCcosAsinC sinCcosA，即 sinAcosC0.因为 sinA0，所以 cosC0 ，即 C ，故ABC 为直角三角形2(2)由(1)知 c 为 RtABC 的斜边当 c1 时，两直角边长分别为 sinA，cos A，则ABC 的周长l1sin AcosA1 sin .2 (A 4)而 0A ，当 sin 1，即 A 时，周长 l 取得最大值为 1 .2 (A 4) 4 220(本小题满分 1
14、2 分)如图，某观测站 C 在城 A 的南偏西 20的方向，从城 A 出发有一条走向为南偏东 40的公路，在 C 处观测到距离 C 处 31 km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去，行驶了 20 km 后到达 D 处，测得 C，D 两处的距离为 21 km，这时此车距离 A 城多少千米？解析：在BCD 中，BC31 ，BD20，CD21，由余弦定理 cosBDC ，所以 cosADC ，sinADC ，DB2 DC2 BC22DBDC 202 212 31222021 17 17 437在ACD 中，由条件知 CD21，A60，所以 sinACDsin(60 ADC) ，由正
15、弦定理 ，32 17 12 437 5314 ADsinACD CDsinA所以 AD 15，2132 5314故这时此车距离 A 城 15 千米21(本小题满分 12 分)设函数 f(x)sin 2xsin .(2x 6)(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值；(2)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c3，f ，若向量(C2) 14m(1， sinA)与 n(2，sinB) 共线，求 a，b 的值解析：(1)f(x) sin2xsin (2x 6) 1 cos2x2 ( 32sin2x 12cos2x) sin2x cos2x1 cos2x2 32 12 sin2x.
16、12 32f(x)的最小正周期 T .22当 2x 2k ，kZ，即 x k ，kZ 时，f(x)取得最大值 .2 4 1 32(2)由 f ，即 sinC ，(C2) 14 12 32 14得 sinC .32m 与 n 共线，sinB2sinA0.由 ，得 b2a. asinA bsinB当 C 为锐角时，C .3c3，9a 2b 22abcos . 3由得 a ，b2 .3 3当 C 为钝角时，C ，a ，b .23 377 67722(本小题满分 12 分)在四边形 ABCD 中，A，B 为定点，C ，D 是动点，且 AB ，BCCDAD1，若3BCD 与BAD 的面积分别为 T 与
17、S.(1)求 S2T 2 的取值范围；(2)求 S2T 2 取最大值时， BCD 的值解析：(1)如右图，设 BD2x ，则 12x2，3 x1.在 CDB 中，过点 C 作 CEBD 于点3 12E.CDCB1，DEBEx ，CE 21x 2，T 2 2x 2(1x 2)(12BDCE)又 S2 2 2(12ABADsinA) ( 32sinA) (1cos 2A)34 341 (1 3 4x223 )2 (1x 2)2，34S 2T 2x 2x 4 (1 x 2)2342 2 ，(x2 34) 78 78当 x2 时，S 2T 2 取最大值 .34 78又 x1， 1 x21，3 12 32当 x21 时， S2T 2 ；32 23 34当 x21 时，S 2T 2 ，34 S2T 2 .23 34 78(2)当 S2T 2 时，x ，BD ，78 32 3此时 cosBCD ，BCD120.BC2 DC2 BD22BCDC 1 1 3211 12
