1、专升本,2015年成考 数学复习,成考数学的所有知识点在辅导书中的内容提要部分.对知识点有三个层次的不同要求，三个层次由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级要求。三个层次分别为：,知识点及要求,了解：要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用。理解、会：要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题。掌握：要求考生对所列知识能够综合运用，并能解决较为复杂的数学问题。,试卷题型分析：,一、选择题 （10小题每题4分总共40分）,二、填空题 （10小题每题4分总共40分）,三、解答题 （8小题，前5题每题8分后3题每题10
2、分，总共70分）,合理安排时间，先易后难，先将会做的做好，不会做的暂时放下。 “有所为有所不为”.即有所侧重,对于各个板块的知识,侧重于自己熟悉的 ,对于自己没学过的,或要花相当大的力气才能搞懂的,要学会放弃. 找往年的题目来做一下,多做几套模拟题,找到考试的感觉.同时,也可检验自己擅长于哪一部分内容的题.,考试经验:,第一分部 初等函数,一、基本初等函数 最常用，最常见的5种基本初等函数： 常数函数：y=c(c为常数)、 幂函数：y=x(为实数)、 指数函数：y=ax(a0，a1，a为常数)、 对数函数：y=logax(a0，a1，a为常数)、 三角函数： 正弦函数y=sinx,和余弦函数y
3、=cosx.要求大家要牢牢记住上述函数，所有 知识基本上是围绕基本初等函数展开的。,二、初等函数 定义2基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、)经过有限次的加、减、乘、除(分母不为零)的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，叫做初等函数.如果一个函数必须用几个式子表示，那么它就不是初等函数，例如分段函数：f(x)=就不是初等函数，我们将这样的函数，叫做非初等函数.,三、复合函数 定义1若函数y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数
4、,u是中间变量,x是自变量,通常将y=f(u),u=g(x) 合并写成 y=fg(x)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成.,【例1】指出下列函数的复合过程:,【解】(1) y=cos2x是由y=u2, u=cosx复合而成的.(2)及u=x2+2x复合而成的.,第二部分 极限与连续,本章内容在考试中约占15%，22分左右。重点：1.求极限，2.函数在一点处连续的判定,极限的运算法则,例：,例：,(1),两个重要极限,【例】求下列极限：,第二个重要极限,其本质为：,例：,1.,型未定式.,定理1 如果函数f (x)和g (x)满足,(1)当xa
5、时，f (x)0，g (x)0，,(2)在点a的去心邻域内可导，即f(x)，g(x)存在，且g(x)0,(3)极限,存在，,则,洛必达法则,如果xa时，,仍是“ ”型不定式，并且f(x),g(x)像f (x)，g (x)一样满足定理的条件,则仍可继续使用洛必达法则，即,型未定式,如果f (x)，g (x)满足,(1)当xa时，f (x)，g (x),(2)在点a的去心邻域内可导，即f(x)，g(x) 存在，且g(x)0，,(3)极限 存在(或为无穷大)，则,求极限,型的极限满足若干条件后有,1、洛必达法则,例3 求,解 ：,例1、,(1)求,解,原式,注意: 不是,未定式不能继续用洛必达法则
6、!,解：,例 求,解: 原式是“ ”不定式且满足洛必达法则 条件，故,例 求,解: 原式是“ ”型不定式，满足定理条件，,故,函数的连续性,初 等 函 数 的 连 续 性,注意：,1. 初等函数仅在其定义域区间上连续,在其定义域内不一定连续 .,2.由于初等函数在其定义域（或定义域区间 ）上具有连续性，函数的连续性的考试内容主要是针对分段函数的连续性。,解：,例：,例：函数,第三部分 导数与微分,这部分在微积分中占有极重要的位置，在考试中约占30%，45分左右。 主要内容：基本初等函数的导数，微分公式，四则运算求导，复合函数求导，利用导数研究函数的性质等。,一、导数的几何意义,例,解,根据导数
7、的几何意义知, 所求切线的斜率为,所求切线方程为,基本求导法则与导数公式,一、函数和、差、积、商的求导法则,定理,函数的求导法则,和差积商的求导法则；,(u v) = u v ;,(uv) = uv + uv;,例1,解,例2,解,例3,解,复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导。,例,解,例,三、隐函数求导,定义,隐函数求导法：,两边求导,即可求得隐函数的导数.,应用复合函数求导法把方程,F(x,y)=0,三、隐函数求导,定义,隐函数求导法：将方程F(x,y)=0的两端对x求导，在求导过程中将y看成x的函数，y的函数看成是x的复合
8、函数，求导后，解出y即可求得隐函数的导数。 注意：式子中允许有y出现。,例,解,解得,函数的微分,求函数的微分，关键是求出函数的导数。,例3 设 y = , 求 dy.,解,例4 设 y = (2x + 1)5+ sin x2, 求 dy.,解,单调性、极值,定理 设函数f (x)在闭区间a,b上连续，,在开区间(a,b)内可导，则：,1、函数的单调性,(1)若在(a,b)内,(2)若在(a,b)内,则f (x)在区间（a,b）上单调增加.,则f (x)在区间（a,b）上单调减少.,例2,解,单调区间为,求函数极值的步骤：,(1) 确定函数的定义域；,(2) 求导，令导数等于0，解方程，求出驻
9、点；,(3) 列表（根据分界点把定义域分成相应的区间；判断可疑点是否为极值点）,(4) 下结论。,例 确定函数,的单调区间,解:,令,得,该函数的定义域是 R,和极值.,极大值2,极小值1,故,的单调增加区间为,单调减少区间为,极大值是,极小值是,例,解,列表讨论,极大值,极小值,函数的最值,求函数最值的方法:,(1) 求f(x)在(a,b) 内的驻点,(2) 求这些点对应的函数值,（3）比较大小，得函数在a,b上的最值.简言之，求出极值及端点处的值，其中最大的即是最大值，最小者就是最小值。,以及端点的函数值：,例 确定函数,在0,3上,解:,令,得,的最值.,因为,所以函数在0,3上最大值是
10、6，最小值是-3.,本部分是微积分的核心内容之一，在考试中约占47%，70分左右。主要内容如下： 1.原函数和不定积分的概念；定积分的概念与性质。 2.第一换元积分法，分部积分法计算不定积分与定积分。,第四部分 不定积分与定积分,不定积分的基本公式由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本 求导公式反推，可得基本积分公式,基本积分公式,不定积分的基本公式 由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本求导公式反推，可得基本积分公式：,不定积分的运算性质,（1）,(k 为不等于零的常数),例 求下列不定积分 x5dx sinxdx,解： 是x5的一个原函数cosx是sinx的一个原函数,例 求积分,
11、解,3、第一换元积分法（重点）,定理一 (第一换元积分法),设u = j (x) ，,则,则,这种先凑微分再作变量代换的方法，称为第一换元积分法（也称凑微分法）,第一换元积分法在运用的时候需要注意两点：,（1） 凑du其实是积分过程；,积分过程,（2）欲看成整体,务必先凑出d;,例 求,解 ：令 ， 则,例2 求2sin2xdx 解：设u2x，则du2dx2sin2xdxsin2x2dxsinuducosuCcos2xC 注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。解：设ux21，则du2xdx,解：设ux2，则du2xdx设ucosx，则du-sinxdx,例5,例4,考察函数乘积的求导法则：
12、u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 两边积分得u(x)v(x)u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx 于是有u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx 或表示成u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 这一公式称为分部积分公式。,分部积分法,分部积分法,设函数 u = u(x)， v = v(x) 可导，则,例1 求xexdx 解:令 u(x)x，v(x)ex 原式为u(x)v(x)dx的形式(ex)ex v(x)ex， 由分部积分公式有xexdxxexexdxxexexC例2 求xcos2xdx 解：令 u(x)x，v(x)cos2x，则v(x) s
13、in2x于是xcos2xdx xsin2x sin2xdx xsin2x cos2xC,有时，用分部积分法求不定积分需要连续使 用几次分部积分公式才可以求出结果。例3 求x2e-2xdx 解：令u(x)x2，v(x)e-2x，则v(x) 于是,例 求xlnxdx,解,例 求,有些单独一个函数的不定积分也要用分部 积分法解。 例7 求lnxdx,六、定积分,定理 七 如果函数 f (x) 在区间a, b上连续，要算定积分，先计算不定积分,那么,且,牛顿-莱布尼茨公式,解,例 12 求,例2 计算 .,解.,原式 .,解法2.,解,例5 计算 .,3、定积分的应用（重点）,由曲线 及直线x=a,x
14、=b,(ab)所围图形的面积是,平面图形的面积,解,1,-1,1,例 求由,所围成图形的面积,偏导数,1、,对x求偏导时只要把y暂时看作常数对x求导数；,对y求偏导时只要把x暂时看作常数对y求导数；,【例1】,2、二阶偏导数,例14,求,解,【例】,第五部分 概率论初步,此部分在考试中约占10%，15分左右。,合理安排时间，先易后难，先将会做的做好，不会做的暂时放下。 “有所为有所不为”.即有所侧重,对于各个板块的知识,侧重于自己熟悉的 ,对于自己没学过的,或要花相当大的力气才能搞懂的,要学会放弃. 找往年的题目来做一下,多做几套模拟题,找到考试的感觉.同时,也可检验自己擅长于哪一部分内容的题.,考试经验:,预祝所有同学考试顺利，取得好成绩！,
