1、专题十 圆锥曲线【考点聚焦】考点 1：椭圆的概念与性质.考点 2：双曲线的概念与性质.考点 3：抛物线的概念与性质.考点 4：直线与圆锥曲线的位置关系.考点 5：轨迹问题.考点 6：圆锥曲线的参数方程；极坐标；与代数、三角、平面向量的综合问题.【自我检测】完成下面表格中内容：椭圆 双曲线 抛物线定 义标准方程图形范 围顶 点离心率准线方程参数方程极坐标方程【重点 难点 热点】问题 1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的 a，b，p 等.例 1设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴， 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4，求此椭圆方
2、程、离心率、准线方程及准线2间的距离.思路分析：设所求椭圆方程为 或 .根据题意列出12byax )0(12bayx关于 a,b,c 方程组，从而求出 a,b,c 的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离.解：设椭圆的方程为 或 ，则 ，12yx )0(12ayx22)1(4cba解之得： ，b=c4.则所求的椭圆的方程为 或 ，离心24a 1632yx132yx率 ；准线方程 ，两准线的距离为 16.e8yx或点评：充分认识椭圆中参数 a,b,c,e 的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.演变 1：如图，已知P 1OP2 的面积为 ，P 为线段 P1P2 的一个三等分点
3、，求以直47线 OP1、 OP2 为渐近线且过点 P 的离心率为 的双曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 213点拨与提示 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题考查待定系数法求双曲线的方程，利用点P 在曲线上和P 1OP2 的面积建立关于参数 a、b 的两个方程，从而求出 a、b 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 问题 2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例 2：设 F1、F 2为椭圆 的两个焦点，P 为上一1492yx点，已知 P、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1PF 2，求 的
4、|21PF值.思路分析：由已知，F 1不是直角顶点，所以只要对 P、F 2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法 1：由已知，PF 1PF 2，PF 1PF 26，F 1F2 ，5若PF 2F1为直角，则 PF1 2PF 2 2F 1F2 2，可解得：PF 1 ， PF2 ，这时 .34347|21P若F 2PF1为直角，则 PF1 2PF 2 2F 1F2 2，可解得：PF 14， PF22，这时 .|2解法 2：由椭圆的对称性，不妨设 P(x,y)（其中 x0,y0） ， .)0,5(),(21FPP1P2o若PF 2F1为直角，则 P（ ） ，这时PF 1 ，PF 2 ，这时34,534
5、34.若PF 2F1为直角，则由 ，解得：7|21P1592xy.)54,3(于是PF 14，PF 22，这时 .2|1PF点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法 2 中设出了 P 点坐标的前提下，还可利用PF 1a+ex ,PF 2=a-ex 来求解.演变 2：已知双曲线的方程为 , 直线 通过其右焦点 F2，且与双曲线的14yl右支交于 A、B 两点，将 A、 B 与双曲线的左焦点 F1连结起来，求|F 1A|F1B|的最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点拨与提示：由双曲线的定义得
6、：|AF 1|= (x1+ )= x1+2，|BF 1|= x2+2,254255|F1A|F1B|=( x1+2)( x2+2)= x1x2+ (x1+x2)+4 ，将直线方程和双曲线的方程联54立消元，得 x1+x2= , x1x2= .本题要注意斜率不存在的情况.48k02k问题 3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.例 3：已知某椭圆的焦点 F1（4,0） ，F 2（4,0） ，过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个焦点为 B，且10，椭圆上不同两点 A（x 1,y1）,C(x 2,y2)满足条件F 2A，F 2B，F 2C成等差数列.（1）求该椭圆的方程
7、；（2）求弦 AC 中点的横坐标.思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2aF 1BF 2B10，所以 a=5,又c3，故 b=4.故椭圆的方程为 .1925yx由点 B（4，y 0）在椭圆上，得F 2By 0| ，因为椭圆的右准线方程为59，离心率 .所以根据椭圆的第二定义，有25x5e ,54)42(| 112 xAF.因为F 2A，F 2B，F 2C成等差数列，2224)4(| xCF ，所以： x 1+x2=8,15x9从而弦 AC 的中点的横坐标为 4点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要
8、注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.演变 3：已知椭圆 C 的中心在原点，左焦点为 F1，其右焦点 F2和右准线分别是抛物线 的顶点和准线 . 求椭圆 C 的方程；692xy若点 P 为椭圆上 C 的点，PF 1F2的内切圆的半径为 ，求点 P 到 x 轴的距离；75若点 P 为椭圆 C 上的一个动点，当F 1PF2为钝角时求点 P 的取值范围.点拨与提示：本题主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用.根据抛物线确定抛物线的顶点和准线方程，从而得到椭圆的标准方程.解题时注意椭圆的
9、定义的运用.问题 4：直线与圆锥曲线位置关系问题利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例 4：抛物线 C 的方程为 ，过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 00)作斜率为)0(2axyk1,k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P ,A,B 三点互不相同) ，且满足.（）求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程；)0(且（）设直线 AB 上一点 M，满足 ，证明线段 PM 的中点在 y 轴上；AB（）当 =1 时，若点 P 的坐标为（ 1，-1） ，求PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 的1取值范围.思
10、路分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.解：（）由抛物线 的方程 （ ）得，焦点坐标为 ，准线方C2axy0)41,0(a程为 ay41（）证明：设直线 的方程为 ，直线 的方程为PA)(010xkyPB)(020xky点 和点 的坐标是方程组 的解将式,0P),(1y0102()ykxa 代入式得 ，于是 ，故 0012xkaxx10101xa又点 和点 的坐标是方程组 的解将),(0yP),(2yB2()yk 式代入式得 于是 ，故 0022xkax 220xa20x由已知得， ，则 121ka设点 的坐标为 ，由 ，则 M),(MyxAB12xxM
11、将式和式代入上式得 ，即 001x0线段 的中点在 轴上Py（）因为点 在抛物线 上，所以 ，抛物线方程为 )1,(2ax12xy由式知 ，代入 得 1kx21)(ky将 代入式得 ，代入 得 212x2因此，直线 、 分别与抛物线 的交点 、 的坐标为PABCAB， 211(,)kk211(,)k于是 ， ，211(,)APkk1(2,4)ABk14(2)Bk 因 为钝角且 、 、 三点互不相同，故必有 0APB求得 的取值范围是 或 又点 的纵坐标 满足1k12k10k1y，故当 时， ；当 时， 即21()yy124,(,)4点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，
12、平时练习要注意提高自己的运算能力.演变 4. (05 年重庆)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ，右顶点为 .)0,3(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 若直线 l： 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且2kxy(其中 O 为原点) ，求 k 的取值范围.2BA问题 5：轨迹问题根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.例 5. （05 年江西）如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x 轴于A、B 两点，且 MA=MB. （ 1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；（2）若 M 为动点，且EMF=
13、90，求EMF 的重心 G 的轨迹思路分析：（1）由直线 MF（或 ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点 F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用 M 点的坐标将 E、F 点的坐标表示出来，进而表示出 G 点坐标，消去 y0 即得到 G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）设 M（y ,y0） ，直线 ME 的斜率为 k (l0)2则直线 MF 的斜率为k，方程为 200().xy由 ，消2002()yxy201xkyk得 xyO A BEFM解得2001(1),FFkykyx (定值)00220014(1)()2EFF kk ykyx所以直线 EF 的斜率为定值.（2） 直线 ME
14、的方程为90,5,1,MABk当 时 所 以 200()ykxy由 得202yxy200(1),y同理可得 200(),.F设重心 G（x, y） ，则有22220000(1)()333MEFyyx 消去参数 得0212().973x点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.演变 5：已知椭圆 的左、右焦点
15、分别是 F1（c ，0） 、)0(12bayxF2（c， 0） ，Q 是椭圆外的动点，满足 点 P 是线段 F1Q.2|1QF与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足.0|,22TP（）设 为点 P 的横坐标，证明 ；x xac|1（）求点 T 的轨迹 C 的方程；（）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F 1MF2 的面积 S= 若存在，.2b求F 1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.点拨与提示：本题在求点 T 的轨迹用的是代入法：即用 T 点的坐标将 Q 点的坐标表示出来，再代入 Q 所满足的曲线方程即可 .问题 6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题建立目标函
16、数，转化为函数的定值、最值问题.例 6：点 A、B 分别是椭圆 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，12036yx点 P 在椭圆上，且位于 轴上方， .PFA（1）求点 P 的坐标；（2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 ，求椭圆上的点到点 M 的距离 的最小值 .|Bd思路分析：设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离 d 表示出来，利用求函数最值的方法求 d 的最小值.解（1）由已知可得点 A(6,0), F(0,4)设点 P( , ),则 = +6, , = 4, ,由已知可得AxyPxy则 2 +9 18=0, = 或 =6.221360
17、()40xy x23由于 0,只能 = ,于是 = . 点 P 的坐标是( , )yxy355(2) 直线 AP 的方程是 +6=0. 设点 M( ,0),则 M 到直线 AP 的距离是m. 于是 = ,又6 6,解得 =2.26m26m椭圆上的点( , )到点 M 的距离 有xyd,2222254940()15dxx由于6 6, 当 = 时 ,d 取得最小值9yOx1lF2F1 A2A1PM 点评：解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等） ，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.演变 6：（05 年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1，F 2
18、在 x 轴上，长轴 A1A2 的长为 4，左准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA 1| |A1F1|21()求椭圆的方程；()若直线 l1：xm(|m| 1)，P 为 l1 上的动点，使F 1PF2 最大的点 P 记为 Q，求点Q 的坐标(用 m 表示)点拨与提示：（1）待定系数法；（2）利用夹角公式将F 1PF2 的正切值用 y0 表示出来，利用基本不等式求其最值.演变 7：（05 年全国）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 轴上，斜率为 1 且x过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点， 与 共线. （1）求椭B(3,)a圆的离心率； （2）设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明
19、,)MAR为定值.2点拨与提示：（1）将 AB 的方程与椭圆方程联立成方程组，然后求解；（2）将 M 点的坐标用 A、B 的坐标表示出来，代入到椭圆方程，结合韦达定理求解.问题 7：与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.例 7：过点(1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为 的椭圆 C 相2交于 A、 B 两点，直线 y= x 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直21线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 思路分析： 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，
20、将 A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线 AB 斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 e= ,得 ,从而 a2=2b2,c=b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2aab设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x 12x 22)+
21、2(y12y 22)=0,.)(2121y设 AB 中点为(x 0,y0)，则 kAB= ，又(x 0,y0)在直线 y= x 上，y 0= x0,于是0221 =1，k AB=1，设 l 的方程为 y=x+1. 02yx右焦点(b,0) 关于 l 的对称点设为 (x,y), bbxy1 12解 得则由点(1,1b) 在椭圆上，得 1+2(1b) 2=2b2,b2= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 89,a所求椭圆 C 的方程为 =1,l 的方程为 y=x+1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2968yx解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126
22、.hp:/wxjkygco 由 e= ,从而 a2=2b2,c=b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1,22aba得设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x1),将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k 2)x24k 2x+2k22b 2=0,则x1+x2= ,y1+y2=k(x11)+ k(x21)=k (x1+x2)2k= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4k 直线 l 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y= x 过 AB 的中点( ),y则 ,解得 k=0，或 k=1 头htp:/
23、w.xjkygcom126t:/.j 22若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身，不能在椭圆C 上，所以 k=0 舍去，从而 k=1，直线 l 的方程为 y= (x1),即 y=x+1,以下同解法一 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点评：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题，成为解决本题的关键.注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论.演变 8：（05 年湖南）已知椭圆 C： 1（a b0）的左右焦点为2xyF1、F 2，离心率为 e. 直线 l：yexa 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B ，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设 .（）证明：1e 2；（）确定 的值，使得PF 1F2 是等腰三角形.点拨与提示：（1）由 A、B 的坐标求出 M 点的坐标（x 0,y0） ，代入椭圆的方程即可；
