1、重点列表：重点 名称 重要指数重点 1 正余弦定理在解三角形中的应用 重点 2 解三角形应用举例 重点详解：重点 1：正余弦定理在解三角形中的应用【要点解读】1.正弦、余弦定理在 ABC 中，若角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， R 为 ABC 外接圆半径，则定理 正弦定理 余弦定理内容 2 Rasin A bsin B csin C a2 b2 c22 bccos A；b2 c2 a22 cacos B；c2 a2 b22 abcos C 变形(1)a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C；(2)sin A ，sin B ，sin C ；a2R b2R
2、 c2R(3)a b csin Asin Bsin C；(4)asin B bsin A， bsin C csin B， asin C csin Acos A ；b2 c2 a22bccos B ；c2 a2 b22accos Ca2 b2 c22ab2.S ABC absin C bcsin A acsin B (a b c)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计12 12 12 abc4R 12算 R、 r.3.在 ABC 中，已知 a、 b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a bsin A bsin Ab解的个数 一解 两解 一解 一解4.实际问题中
3、的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等.(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.【考向 1】正弦定理在解三角形中的应用【例题】【2016 年江苏省高考】在 ABC 中， AC=6， 4cos.5BC=，（1）求 AB 的长；（2）求 cos(6A-)的值. 【答案】 （1） 52.（2） 760【考向 2】余弦定理在解三角形中的应用
4、【例题】 【2016 年高考北京理数】 （本小题 13 分）在 ABC 中， 22acbac.（1）求 B 的大小；（2）求 osAC 的最大值.【答案】 （1） 4；（2）.【考向 3】正余弦定理在解三角形中的综合应用【例题】 【2016 高考新课标 1 卷】 （本小题满分为 12 分）ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2os(cos).CaB+bAc （I）求 C；（II）若 7,c的面积为 32,求 A的周长【答案】 （I） 3（II） 57【解析】（I）由已知及正弦定理得, 2cosCincsicosinC,即 2cosCiniA故 s可得 12,所以 3（II
5、）由已知, sinC2ab又 C3,所以 6由已知及余弦定理得, 2cos7ab故 213ab,从而 25ab所以 CA的周长为 7【考向 4】判断三角形形状【例题】在 B中，已知 22()sin()()sin()abABabAB,判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法二：同上可得 22cosincosinaABbA由正、余弦定理，即得：222acba2222()()abcbac即 0或 22c即 ABC为等腰三角形或直角三角形【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而
6、判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。 （边化角）【名师点睛】1.解三角形常见的四种类型（1）已知两角 ,AB与一边：由 180BC及正弦定理 sinisinabcAB，可求出 C，再求,bc。利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.（2）已知两边 ,bc与其夹角 ，由 22coab，求出，再由余弦定理，求出角 ,B。对于余弦定理，一般根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是解答这类题的关键，同时还要注意整体思想
7、、方程思想在解题过程中的运用熟练运用。同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.（3）已知三边 abc、 、 ，由余弦定理可求出 ABC、 、 。（4）已知两边 ,及其中一边的对角 ，由正弦定理 siniab，求出另一边的角 B，由180CAB，求出 C，再由 siniac求出，而通过2.解三角形的题目常常与三角函数的知识相结合，在过程中要注意公式的变形应用.重点 2：解三角形应用举例【要点解读】1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视
8、线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).90 A90 A90ab一解 一解 一解无解 无解 一解sinab两解无解 无解 A一解ab i无解(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等.(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.3.解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三
9、角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.【考向 1】正、余弦定理在几何中的应用【例题】如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=5，AC=9，BCA=30 0，ADB=45 0，求 BD 的长。【解析】在 ABC 中，AB=5，AC=9，BCA=30 0，由正弦定理，得 0sin9sin30,sinsinsi 519/,180,ii92,4,1092BDoABCACBDACA于 是 。同 理 ， 在 中 =5i 解 得故 的 长 为【点评】（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用；（2）条件中如果出现平方关系多
10、考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理；（3）在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角；（4）正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视。【考向 2】与高度有关的问题【例题】某人在塔的正东沿着南偏本 600的方向前进 40 米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 300，求塔高。【点评】1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。【考向 3】与角度有关的问题【
11、例题】某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.【答案】 （1）30 （2）航行方案：航行方向为北偏东 30，航行速度为 30 海里/小时3(2)
12、设小艇与轮船在 B 处相遇.则 v2t2400900 t222030 tcos(9030)，故 v2900 .600t 400t20 v30，900 900，即 0，解得 t .600t 400t2 2t2 3t 23又 t 时， v30，23故 v30 时， t 取得最小值，且最小值等于 .23此时，在 OAB 中，有 OA OB AB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东 30，航行速度为 30 海里/小时.【点评】1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解
13、题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。【考向 4】与距离有关的问题【例题】如图，公路 MN 和 PQ 在 P 处交汇，且QPN=30 0，在 A 处有一所中学，AP=160 米，假设拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为 18 千米/小时，那么学校受影响的时间为多少？【解析】作 ABMN，B 为垂足，在 RtABP 中，ABP=90 0，APB=30 0，AP=160，AB= AP802。点 A 到直线 MN 的距离小于 100 米，所以这所中学会受到噪声的影响。【考向 5】与三角形面积有关的问题【例题】在 ABC 中，内角 A、B、C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= 3。（1）若 ABC 的面积等于 3，求 a,b;(2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求 ABC 的面积。【解析】（1）由余弦定理及已知条件得 2 14,ABC3.sin3,42ab abCab又 的 面 积 等 于 即 ，联立方程组得：2,ab解 得（2）
