1、宁波大红鹰学院学生数学课程论文0高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替). 3设 、 且 ；则： 与 是等价无穷小的充分必要条件为：limli0()常用等价无穷小：当变量 时，0x21sin,ta,rcsin,arct,1,ln(),cos,xx exx1,(1)x例 1 求 0oslimarctnx解 ，2,arctnxx时故，原式 2
2、01lix例 2 求 130()limcosx解 ,因此:122231,(),cosxx时原式 20li13x宁波大红鹰学院学生数学课程论文1例 3 求 301limtanx解 ，故:原式= ,时 3,tanx013limx例 4 求 201lin()xxe解 ,故:,lx时原式 201limx例 5 试确定常数 与 ，使得当 时， 与 为等价无穷小an0xnax3l(1)x解 而左边 ，30l(1)inxx2531100limlinnxxa故 即 560li62xa2.2 利用洛必达法则求极限#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为 0 比 0 型或者 型等未定式类型.洛必达法则分为 3
3、 种情况：（1）0 比 0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0 乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0 的 0 次方，1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成 0 与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当 时，函数 及 都趋于 0；在点 的某xa()fxFa去心邻域内， 的导数都存在且 的导数不等于 0； 存在，那么()fxFF()limxaf. 1()limli()xaxaffF宁波大红鹰学院学生数学课程论文2
4、求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. 3例 6 求 .2201coslim()snxx分析 秘诀强行代入，先定型后定法.（此为强行代入以定型）.224431(0)00可能是比 高阶的无穷小，倘若不这样，或 42(0)0或 .43()0解 2222 40001cossinco(sinco)(sinco)lim()limlimsnx x xxx，3 3000iiilililixx x由洛必达法则的 .2220 01cosn4sin42,li l3x x有 ： 上 式 =例 7 求 .201limxe解 .2 2000() 1lililimxxxee 例
5、8 求 .321li1xx解 原式 .（二次使用洛必达法则）.21163limli32xx例 9 求 .0lisinxxe宁波大红鹰学院学生数学课程论文3解 原式 .0002limlilim21cossncosxxxeee例 10 求 .2143lix解 原式 原式= .1112lilili0xxx例 11 求 .0tanmsirci解 原式 .222 200001(cos)t cososlililimli333xxxxx例 12 求 .coln解 原式 .220 0si 1mlisncox xx 例 13 求 .2201coli()snx解 原式2 400is(sinco)(sinco)li
6、limx xxx223 30000sincoincoi1sin4limlililim3xx x xx “ ”型：例 14 求 .li(arctn)2xx解 原式 .221limlilim11xxx“ ”型：例 15 求 .2lisectanxx宁波大红鹰学院学生数学课程论文4解 ，1sinsisectancocoxx故原式 .22ilml0ssixx“ ”型：0例 16 求 .0lix解 原式 .ln0imlnln0mi1xx exxe“ ”型：1例 17 求 .lixx解 原式 .lim1xex“ ”型：0例 18 求 .tan0li()xx解 原式 ，tanlta 01liml tanl0
7、lixx xexxee而 ，因此：原式=1.tan0lim(tl)()xx 2.3 泰勒公式（含有 的 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）e泰勒中值定理定理：如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到()fxn(,)ab(1)n阶的导数，则对任一 ，有,ab+ ( - )+ ( - ) + ( - ) + ( )()fx0f0)fx002!fx02()0!nfx0nRx其中 ，这里 是 与 之间的某个值. 1(1)10!nnnfRx0宁波大红鹰学院学生数学课程论文5例 19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 .30sincoslmxx解 由于公式的分母 ，我们只需
8、将分子中的3sin(0)x代入计算，3 3sin0(),co(!2!xx于是 ，对上式做运算3331is0()0()0()!xx时，把两个 高阶的无穷小的代数和还是记作 .3x 3x例 20 ，32 32144limlim1x xx，22lili()1xxnn.11(2)33limli2nnxx2.4 无穷小与有界函数的处理方法 面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法. 3 例 21 求 .sinlimx解 原式 .1(1)li(sin)xx2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大. 1宁波
9、大红鹰学院学生数学课程论文6例 22 求 .2sinisinlm.1解 ，111sisisinnniiio，1011si 2lmlisinnni i xdo，101 1slili sin nni x根据夹逼定理 .1si2lmnxi2.6 等比等差数列公式（ 的绝对值要小于 ） 11例 23 设 ，证等比数列 1， ， ，的极限为 0.|2 1n证 任取 ，为使 ，而 ，使 ，即01nxanxan，lln,当 ，当 时，即 ，lNnNlnl1即 ，lnnxa由定义知 im10n.22.li.1nn因此,很显然有:宁波大红鹰学院学生数学课程论文7. 0.9lim.91n2.7 各项以拆分相加 3
10、将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例 24 求 .11lim.2*34n n解 原式 li.n 1li2n3limn= .22.8 求左右极限的方式例 25 求函数 ，求 时， 的极限.0,1,)(xf fx解 ， ，00limlixxf0limli1xxf因为 ，所以，当 时， 的极限不存在.f)(f例 26 .0lix解 ， ，0)(lim)(li00xx 0limlixx因为 ，所以,原式=0.li)(li00xx2.9 应用两个重要极限宁波大红鹰学院学生数学课程论文8，1sinlm0xlixxe例 27 求 .exli0
11、解 记 ，则ln1txt原式= .100imilttt1limxxe因 为例 28 求 .li1nn解 原式= = .1limnne例 29 求 .li-1nn解 原式= = .li-nne2.10 根据增长速度 )(lxxn例 30 求 .lim0nxe为 正 整 数 ，解 原式= = .1linxx2!lilim0nxnxxee例 31 求 .li0nx解 .1lilimli1nxnxnx同函数趋近于无穷的速度是不一样的， 的 次方快于 （ 的阶乘）快于指数函数，x!x宁波大红鹰学院学生数学课程论文9快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： .)(lnxex故以后上述结论可直接在极限计算中
12、运用.2.11 换元法例 32 .1lim()xx解 令 ，t则原式= =li1tt1litt1limtt te2.12 利用极限的运算法则 1利用如下的极限运算法则来求极限：(1)如果 lim,li,fxAgxB那么 Axf)(lim)()(lilifx若又有 ，则0BBxgff)(li)(li（2）如果 存在，而 为常数，则limxfc)(lim)(lixfcxf（3）如果 存在，而 为正整数，则)(nnn（4）如果 ，而 ，则xbxax)(li,)(lia（5）设有数列 和 ，如果nym;nyAB那么， lim;nxABlinx当 且 时，01,2.y0blinyB2.13 求数列极限的
13、时候可以将其转化为定积分 1宁波大红鹰学院学生数学课程论文10例 33 已知 ,在区间 上求 （其中将 分为21fx0,101limnifx0,1个小区间 , ， 为 中的最大值） .n1i1iiiix解 由已知得: 1001limniffd120x.4（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数 在区fx间 上的面积）.01在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数 在积分区间 上连续，则在 上至少fx,ab,ab有一个点，使下列公式成立： ；bad（2）设函数 在区间 上连续，取 ，如果极限 存在，fx,tlimtatfx
14、d则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即0)(；tata dxfdxf)(lim)(设 在区间 上连续且 ，求以曲线 为曲线，底为 的,b0fyfx,ab曲边梯形的面积 ，把这个面积 表示为定积分： 的步骤是：Ab=aAd首先，用任意一组的点把区间 分成长度为 的 个小区间，相应,ab(1,2.)ixn地把曲线梯形分成 个窄曲边梯形，第 个窄曲边梯形的面积设为 ，于是有ni i；1niiA其次，计算 的近似值 ；iA1iiiiifxx宁波大红鹰学院学生数学课程论文11然后，求和，得 的近似值 ；A1niiifx最后，求极限，得 .bainii dff)()(lm10例 34 设
15、函数 连续，且 ，求极限 .fxf20limxtfdt解 =0limxtfdt 00li ,xxftdtfu，0+lixftfxfud由 洛 必 达 得 ：,fxtdxtfux0其 中 令 得0limxfx再 由 积 分 中 值 定 理 得 :在 到 之 间.0 01li 2xff例 35 计算反常积分: .dx解 = = = .21dxarctn-limarctnliarctnxx()22.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限. 3例 36 数列 : ， ， ，极限存在吗？
16、nx21nx2解 由已知可得 单调递增且有界，由单调有界原理，知 存在limnx宁波大红鹰学院学生数学课程论文12又 ，12nnx1limli2nnxx记 ，li=t,t则即可证 ，得到 .nx2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你 时， 的导数等于 0 的时候，就是暗示你一定要用导数0)(F)(x定义：（1）设函数 在点 的某个领域内有定义，当自变量 在 处取得增量yfx0 x0（点 仍在该领域内）时，相应的函数取得增量 ；如x0 0yffx果 与 之比 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极yxfx0限为函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记f0 y
17、x作 ，即 ；0fx 0000limlixxffxyf（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例 36 ，求 .1fef解 .f =limli11xxffexe例 37 若函数 有连续二阶导数且 ， ， ， f 0=ff0=-2f则 .20lixA:不存在 B：0 C：-1 D：-2 解 .20limxf 001lilim2xxfff102f所以，答案为 D.宁波大红鹰学院学生数学课程论文13例 38 若 ，求 .()1)(2.(01)fxx()f解 0limxf().()x0li12.01x.2!2.16 利用连续性求极限 1例 39 设 在 处有连续的一阶导数，且 ，求 .()fx1(1)2f1lim(cos1)xdx解 原式 1limcos)(sin)xfx1i1li()2xfx1licosxf(m1)2x)f.12.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是 趋近，而不是 趋近.面对数列极限时，先要转化成求 趋近情况下的nx x极限，当然 趋近是 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的 当然是趋于x n正无穷的）. 1例 40 求 .21lim(sin)n解 令 ,则原式 ，1t232000sisin1cosl()lmlt t tt所以在 时， 与 等价，因此，原式 .0tcost102li3t6
