1、【课题研究】3、2 简单的三角恒等变换【讲师】 讲义编写者：数学教师孟老师学习了和（差）角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、运算能力提供了新平台.一、 【学习目标】1、记忆、背诵半角公式、积化和差公式、和差化积公式、万能公式，会用化一公式球最值、单调性等问题；2、要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力.二、 【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材 139140 页内容，回答问题（半角公式、积化和差公式、和差化积公式、万能公式的推导）请你推导积化和差公式.结论：积化和
2、差公式的推导 sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = sin( + ) + sin( )21sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = sin( + ) sin( )cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = cos( + ) + cos( )21cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = cos( + ) cos( )请你推导和差化积公式.结论：和差化积公式的推导若令 + = ， = ，则 ， 代入2得： )sin(1)sin()2sin(21cos2in 2cossin2is
3、nicscos2ini2请你推导半角公式.结论：半角公式 cos12tan,cos12cos,12sininsita证：1在 中，以 代 2， 代 即得：2s1coiscos1sin2在 中，以代 2， 代 即得：cs21oscscos3以上结果相除得： 2tan4 2tancosisi)(sinco1 ta2csi1cs21ncosi 请你推导万能公式.结论：万能公式2tan1t,2tan1cos,2tan1si 2证：1 tacossiisi 2222 2tan1cs2sini1cos 3 tasicositan2222、阅读教材 140 页内容，回答问题（y=asinx +bcosx 型
4、函数最值的求法）探究 y=asinx+bcosx 型函数最值的求法结论：1 y=asinx+bcosx 型函数最值的求法：常转化为 y= sin（ x+ ）的形式，我们通过例题来学习以下，譬如下面的例2题：例题示例 已知函数 12)6(,80,cos2sin)( ffxbaf 且求实数 的值；,求函数 的最大值及取得最大值时 x 的值xf解：函数 .ssi)(b08,12,6ff（ 1） 由 可 得 3()2,(),4.()sin4cos28sin(2)4,6fbfaafxxx所 以时，函数 f(x)的最大2,6kkZ故 当 即值为 12点评 结论 是历年高考命题2sincossinabab的
5、热点之一例题示例 已知函数的定义域为 ，值域为 baxaxaxf2cosin32cos 20， 5，1 ，求常数 的值,b解： ，f in3baxa2cos2 ， ， 0323x1 32cos 1x当 a 0 时， b f ( x ) 3 a + b， 解得 .5， .52，当 a 0 时，3 a + b f ( x ) b 解得 .1b， .1a，故 a、 b 的值为 或 522b点评：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响例题示例 设 的周期 ，最)0(cossin)(xaxf T大值 ，4)12(f（1）求 、 、 的值； ab（
6、2）若 是方程 的两根， 的终边不共线，求,()0fx,的值tn()解：(1) ， ， ， )sin(2T2又 的最大值 ， )x(f()41f ， 且 ，2ba41cosb2sia由 、解出 2,3ab(2) ， )3x2sin(4co32xsin)(f ，()0ff， )32si(4)32sin4， 或 ， k )32(k即 ( 共线，故舍去) ， 或 ，、 6k36ktan)ta()Zk(点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性三、 【综合练习与思考探索】例 1 已知 ，求 3cos 2 + 4sin 2 的值5cos3sin2解： cos 0 (否
7、则 2 = 5 ) 解之得：tan = 2ta1原式 57214)(3tan14tn)a(3222 例 2 已知 ， ，tan = ，tan = ，求 2 + 0 解： 43tan12ta1t)2tn(又tan2 0，tan 0 ， 230 2 + = 247例 3 已知 sin cos = ， ，求 和 tan的值212tan解：sin cos = 1tata122化简得： 03tan42t 7216ta 20tan即 7tan374257410)72(1tan2t 例 4 已知 cos cos = ，sin sin = ，求 sin( + )的3值解：cos cos = ， 2121sin
8、2isin sin = ， 33co 0sin3tanta 12492ta1)i( 例 5 求证：sin3sin 3 + cos3cos3 = cos32证：左边 = (sin3sin)sin 2 + (cos3cos)cos2= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2211= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 1+ cos2cos2= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)112= cos22cos22 = cos32 = 右边原式得证四、 【作业】1、必做题：教材 142 页练习 1、2、3、4；2、选做
9、题：习题 3.2A 组、B 组.七、 【课后小练】课后练习一1 已知 、 为锐角，且3sin2 2sin 2 1，3sin2 2sin2 0求证： 2 证法 1：由已知得 3sin2 cos2 3sin2 2sin2 得 tan )2tan()2cos(in2si 、 为锐角0 ，02 ， 2 0， 2 2 ， 2 证法 2：由已知可得：3sin2 cos2 3sin2 2sin2 cos（ 2 ）cos cos2 sin sin2 cos 3sin2 sin sin2 233sin 2 cos sin 3sin cos 0又由 2 （0， ） 2 证法 3：由已知可得 2sini3co2si
10、n（ 2 ）sin cos2 cos sin2sin 3sin2 cos sin2 3sin （sin 2 cos 2 ）3sin 又由，得 3sin cos sin2 2 2，得 9sin4 9sin 2 cos2 1sin ，即 sin（ 2 ）131又 0 2 2 评述：一般地，若所求角在（0， ）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（ ， )上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，2若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切2 在 ABC 中，sin A 是 cos（ B C）与 cos（ B C）的等差中项，试求(1)tan Btan C 的值(2) 证明 tanB（
11、1tan C）cot（45 C）(1)解： ABC 中，sin Asin（ B C）2sin（ B C）cos（ B C）cos（ B C）2sin BcosC2cos BsinC2cos BcosCcos BcosC0 tan Btan C1（2）证明：又由上：tan 1tan C（1tan C） tan1（1tan C）tan（45 C）（1tan C）cot（45 C）3 求值： 40coss2)(in解：原式 40cos8insi8i36tan2cs6i课后练习二1 如果cos ， 3 ,则 sin 的值等于( )51251D. 51C. 0B. 0A. 2 设 5 6 且 cos a
12、,则 sin 等于( )2421. 21. 1. 1. aaa 3 已知 tan764，则 tan7的值约为( ) 158D. 178C. 47B. 7A.4tan cot 的值等于 125 已知 sinAcosA1，0 ，则 tan 6A6 已知 tan 、tan 是 方程 7 28 10 的两根，则tan 27 设 25sin2 sin 240 且 是第二象限角，求 tan 2x8 已知 cos2 ，求 sin4 cos 4 的值39 求证 .2tancos12sc4os1inxxx参考答案：1C 2D 3A 42 52 62 317 8 3419 xxcos12scosin xcos12sctanxin.ta
