1、- 1 -合肥皖智高复学校 2013-2014 届高三上学期第三次半月考数学（理科）试题第卷（选择题，共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合 0,12,210x-2y1MNxy且 ， ,M，则 N 中的元素个数为（ ）A.9 B.6 C.4 D.22下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 （ ）A B C D1yx2yx1yx|yx3.函数 ,则下列坐标表示的点一定在函数 f(x)图象上的是（ ） 33()fA B C D,a(,)af(,)af(,a4若 bc,则函数 xxbxcxa的两个零点分别
2、位于区间( )A. ,和 ,内 B. ,a和 ,内 C. ab和 c内 D. 和 c内5如图是导函数 y=f（x）的图象，则下列命题错误的是（ ）A导函数 y=f（x）在 x=x1处有极小值 B导函数 y=f（x）在 x=x2处有极大值C函数 y=f（x）在 x=x3处有极小值 D函数 y=f（x）在 x=x4处有极小值6若曲线 ()cosfax与曲线 2()1gxb在交点 (0,)m处有公切线， 则ab( )A 1 B 0 C D 27将函数 的图像向左平移 个长度单位后，所得到的图xysinco30- 2 -像关 轴对称，则 的最小值是 （ ） ymA. B. C. D. 1263658已
3、知函数 0,4)(2xxf ，若 2()0faf，则实数 a的取值范围是 ( )A 13a 或 13a B 1 C 或 D a9. 函数 fx的定义域为 D，若对任意 12,x且 ，都有 12fxf，则称函12x数 在 D 上为非减函数，设函数 f在 0上为非减函数，且满足以下三个条件：0f； 132xff； 1fxf，则 38ff等于（ ）A. 34 B. C. 1 D. 210已知 f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，且满足 xf（x）f（x）0，对任意正数 a，b，若 ab，则必有（ ）Aaf（a）bf（b） Bbf（b）af（a） Caf（b）bf（a） Dbf（a）af（b）第卷
4、（非选择题，共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡上。11.若周期为 2 的函数 f（x）满足当 x1，3时， ，且，则 ab 的值为 12.设当 时，函数 取得最大值，则 xxxfcos2sin)(cos13设22cossin0,yayby，则 a与 b的大小关系是 14. 方程 x33 x k 有 3 个不等的实根, 则常数 k 的取值范围是 .15. 关于函数 ，有下列命题：)0(|1lg)(2xf- 3 -其图象关于 y 轴对称；当 x0 时， f(x)是增函数；当 x0 时， f(x)是减函数； f(x)的最小值是 lg2； f
5、(x)在区间（1，0） 、 （2,+）上是增函数； f(x)无最大值，也无最小值 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16 （本小题满分 12 分）设函数 ， 图像的一条对称轴是直线)0( )2sin()( xxf )(xfy8（1）求 及函数 的单调增区间)(xfy（2）证明：直线 与函数 的图像不相切025c)(xfy17 （本小题满分 12 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）=x 2+2x现已画出函数f（x）在 y 轴左侧的图象，如图所示，并根据图象（1）写出函数 f（x）
6、（xR）的增区间；（2）写出函数 f（x） （xR）的解析式；（3）若函数 g（x）=f（x）2ax+2（x1，2） ，求函数 g（x）的最小值18 （本小题满分 12 分）某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救，救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处，然后游向 B 处。若救生员在岸边的行进速度是 6 米/秒，在海中的行进速度是 2 米/秒。 （不考虑水流速度等因素）BDA300 米C300 米- 4 -（1）请分析救生员的选择是否正确；（2）在 AD 上找一点 C，使救生员从 A 到 B 的时间最短，
7、并求出最短时间.19. （本小题满分 12 分） 设正有理数 是 的一个近似值，令 x3xy12（）若 ，求证： ；3xy（）求证： 比 更接近于y320（本小题满分 13 分）设 ()ln(1)fxax（ R且 0a） （）讨论函数 f的单调性；（）若 1a，证明： (0,5)x时，9()1xf成立21 （本小题满分 14 分）已知函数 （ ） 2()ln(1)1xfaaR（1）若函数 在区间 上是单调递增函数，试求实数 的取值范围；f,a（2）当 时，求证： （ ） ；a12ln(1)24xx2x（3）求证： （ 且 ） .l.46*nN数学试卷（理科）参考答案C D B C C C B
8、D A C- 5 -11. 24 12. 13. ab5214. -2k2 15. 16.解：（） 是函数 y=f（x）的图象的对称轴，8x ， ， 1)2sin(Zk,242 分 ， 。 034 分 。)42sin(xy由题意得 ，Zkk,23所以函数 的单调增区间为)si(xy。7 分Zkk,85,（）证明： =|（ |=| |2/y/)432sin(x)432cos(x所以曲线 y=f（ x）的切线的斜率取值范围是-2,2， 10 分而直线 5x-2y+c0 的斜率为 2，5所以直线 5x-2y+c0 与函数 的图象不相切。)43sin(xy12 分17解：（1）如图，根据偶函数的图象关
9、于 y 轴对称，可作出f（x）的图象， （2 分） ，则 f（x）的单调递增区间为（1，0） ， （1，+） ；（4 分）（2）令 x0，则x0，f（x）=x 22x函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x）=f（x）=x 22x解析式为 f（x）= （9 分）（3）g（x）=x 22x2ax+2，对称轴为 x=a+1，当 a+11 时，g（1）=12a 为最小；当 1a+12 时，g（a+1）=a 22a+1 为最小；- 6 -当 a+12 时，g（2）=24a 为最小；g（x）= 18. 解析：（1）从 A 处游向 B 处的时间 ，)(215031st而沿岸边自 A 跑到距离 B 最
10、近的 D 处，然后游向 B 处的时间 )(20362st而 ，所以救生员的选择是正确的. 4 分2015（2）设 CD=x，则 AC=300-x, ，使救生员从 A 经 C 到 B 的时间230xC6 分,236xxt，令2901t 275,0t又 ， 9 分,375;, txtx知 11 分)(21275mins答：（略） 12 分19.证明：（I） xxxy 1)3(13313 ， ，而 ，x30x0 ； （6 分）y（II） |3|1)(3|3| xx- 7 -，)123(|)13(| xxx ， ， ，0020| ，即 ，|3|xy |3|xy 比 更接近于 （6 分）20解：（）函数
11、 ()fx的定义域为 (1,)， 1(fxa，当 0a时， 0，函数 f在 上是增函数；当 时， ()1afx，又 a；由 ()f得， ；由 ()0fx得， 1a函数 x在 (,)a上是增函数；在 ,)上是减函数4 分（）当 1时， ln(1fxx，要证 (0,5)x时 9(成立，由于 0，只需证 2l)8xx在 (,5)时恒成立，令 ()1n(gx，则 ln127gx设 l)27hx， 1()0hx， (,) ()x在 0,5上单调递增， ()5，即 (ln63gx；即 ，使 ()gx在 0,)上单调递减，在 0,)x上单调递增，而 2(),6ln15l61ge，当 05x时， ()8xx恒
12、成立，即原命题得证12 分21 （1）因为 ，若函数 在区间 上是单调递增函数，则 2(1) )afx()fx2,)恒成立，即 恒成立，所以 ()0fxmax1()又 ，则 ，所以 2,1xa- 8 -（2）当 时，由（ ）知函数 在 上是增函数，a2()ln(1)xf2,)所以当 时， ，即 ，则 x()2fxl0121l(x令 ，则有 ，()24ln1g 2()()1xgx当 时，有 ，,x()0gx因此 在 上是增函数，所以有 ，()24ln1g(2,)()20gx即可得到 ()x综上有 （ ） 12ln4x2（3）在（2）的结论中令 ，则 ，1t1ln2ttt取 时，得到 个不等式，将所得各不等式相加得，*1,(,2)tnNn ()，31.2l.l2.)231n所以 ，.n(.)n即 （ 且 ）11.l.4622*N2
