1、专题十 数列的概念及通项雷区 1：混淆项与项数两个不同的概念例 1：已知数列的通项公式为 an n28 n16，则数列的最小项为 .错解： 9)4(522an ，可知当 4n时， na最小，故数列的最小项为 4.数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号【分析】 9)4(25822nna，可知当 4n时， na最小，且该项值为 9.故数列的最小项为 9.例 2：已知数列 na的通项公式是 3212nan，其前项和是 nS，则对任意的mn（其中 N,*） ， mnS的最大值是 .错解： 4)6(32122 nan ，故 mnS的最大值是 4.由 （其中 N,*） ， 所求为
2、前项和间的最大差值1、已知数列的通项公式为 an n28 n15，则 3（ ）A不是数列 an中的项B只是数列 an中的第 2项C只是数列 an中的第 6项D是数列 an中的第 2项或第 6项【分析】令 an3，即 n28 n153，解得 n2 或 6，故 3是数列 an中的第 2项或第 6项数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号雷区 2：由 nS求 a时忽略对“ 1n”检验例 3：已知数列 的前项和 2，求 na.错解：由 n1=aS，解得 =n.考虑不全面，错误原因是忽略了 n1=aS成立的条件 2n，实际上当 1n时就出现了 0，而 是无意义的，所以使用 求 a
3、，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个 na表示，尚需检验.2、数列 na前项和 nS且 1a， nnS3，求 234,a的值及数列 na的通项公式.【分析】易求得 2346,927，由 1， nnS，得 )2(31S，故 )(111 naSann，得 1423nna又 1a， 2，故该数列从第二项开始为等比数列，故2nn.3、已知数列 na的首项为 31，通项 na与前项和 nS之间满足 12nSa（ 2）.（1）求证： nS是等差数列，并求其公差；（2）求数列 a的通项公式.易爆警示在数列问题中，数列的通项 na与其前项和 nS之间关系如下 1*(1)2,nnSaN，在使用这个关系
4、式时，要牢牢记住其分段的特点.当题中给出数列 的 与 关系时，先令1n求出首项 1a，然后令 2n求出通项 1nnaS，最后代入验证.解答此类题常见错误为直接令 2求出通项 1S，也不对 进行检验.雷区 3：忽略的取值范围导致错误例 4：已知 na是递增数列，且对于任意的正整数， nan2恒成立，求实数 的取值范围.错解：因 4)2(2nan ，由题意得 na是递增数列，所以an2在 ),1上是单调递增函数，因此可得 12， ，即为所求实数 的取值范围.由于数列通项公式中的是正整数，而不是取 ),内的任意实数，显然易爆警示na是递增数列，但不满足 12.【分析】由于 n是递增数列，因此有 1n
5、a，即 01na对任意 N恒成立，将 n2代入化简可得 )(，又因为 3)2(max，因此 3，即为所求实数 的取值范围.例 5：在等差数列 na中， 125， 916S，求此数列的前几项和最大.错解一：由已知，可得 d，则 nn2465，所以当 5.12时，数列前项和最大.错解二：由已知， 012a，即 13a，故当 13时，数列前项和最大.解题不细心，在用等差数列前和求解时，解得 5.12n，误认为5.12n.考虑不全面，在用等差数列性质求解得出 13a=0时，误认为只有 13S最大.【分析】由已知， 012da，即 ，可知 132S，且同时最大.4、等差数列 na的首项 10，前项和 n
6、S，当 lm时， lS.问为何值时 nS最大?5、已知数列 na满足 431na且 91，其前项之和为 nS，则满足不等式25|6|Sn的最小整数是（ ）A5 B.6 C.7 D.8【分析】由 431na，可得 )1()(31nna，所以数列 1na是以 3为公比的等比数列，且 81，所以 8n，则 Sn)(6，不等式25|6|nS可化为703，则最小整数为 7.数列的通项公式与前项和公式都是关于正整数的函数，在关于正整数的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定.1、设数列 na中， 1S， 2， )2(02311nSSn，判断 na是不是等比数列.【分析】 )(031
7、1nn ， )(11nn，即)2(1an， n，又 11Sa， 12Sa，则 2a，所以不是等比数列.2、已知下面数列 an的前 n项和 Sn，求 an的通项公式：（1） nS；（2） Sn2 n23 n；（3） Sn3 n b.（3） a1 S13 b，当 n2 时， an Sn Sn1 (3 n b)(3 n1 b)23 n1 .当 b1 时， a1适合此等式当 b1 时， a1不适合此等式当 b1 时， an23 n1 ；易爆警示当 b1 时， anError!3、已知数列 的前项和 2nSnN，则 13517aa 等于（ ）A.162 B.163 C.164 D.165【分析】由题知：
8、 12nnSa， 24n. 13517 86346031a .4、已知数列 n的前项和 qaqSn,1(为非零常数） ，则 na为（ ）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列，也不是等比数列 D.既是等差数列，又是等比数列【分析】当 1时， aqS1；当 1n时，)(aqSann， n（常数） ，但 12， n既不是等差数列，也不是等比数列，选 C.5、设 na是等差数列， nS是前项和，且 65S， 87S，则下列结论错误的是（ ）A、 0d B、 70a C、 59 D、 6和 7均为 n的最大值【分析】由 86S，可知 7，且数列为递减数列，由于等差数列前项和为关于的二次函数，由
9、其对称轴，结合单调性可得 59S.6、若数列 ,nab的通项公式分别是 aann207)1(， nbn208)1(，且n，对任意 N恒成立，则常数的取值范围是（ ）A.1,2 B.,2 C.1,2 D.1,7、已知 na为等差数列， 1a+ 3+ 5=105， 246a=99，以 nS表示 na的前项和，则使得 nS达到最大值的是（ ）A21 B20 C19 D18【分析】由 1a+ 3+ 5=105得 3105,a即 3，由 246a=99得 439a即4， 2d， 4()1n n，由 10n得 2，选 B.8、已知数列 na的首项为 1，前项和为 S，并且对于任意的 ， 43nS， na，
10、231nS总成等差数列（1）求 的通项公式；（2）记数列 n的前项和为 nT，求 （2）由（1） ，当 1n时， 11aST，当 2n时，)2(43nnaS， 92)1(341)2()1(2)1(221 nnnnST .9、设不等式组 nxy30，所表示的平面区域为 nD，记 n内的整点个数为 na( N)，（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（1）求数列 na的通项公式；（2）记数列 na的前项和为 nS，且 T123nS，若对于一切的正整数 n，总有 mTn，求实数 m的取值范围【分析】 （1）由 0x， y， 0x，得 3x， 1或 2x，nD内的整点在直线x、 2上，记直线 n3为，与
11、直线 1、 2的交点坐标分别为 1y，2y，则 n31， y2， na3)(N.（2） )1()(S ， T2， 111 )(22 nnnnT，当 3n时， 1nT，且321，于是 3,T是数列 中的最大项，故 2m.10、已知数列 an(1)若 an n25 n4.数列中有多少项是负数？ n为何值时， an有最小值？并求出最小值(2)若 an n2 kn4 且对于 nN *，都有 an1 an成立求实数 k的取值范围11、已知数列 an的通项公式是 an( n1) n，试问该数列中有没有最大项？若有，求出(1011)最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由法一： an1 an( n2) n1
12、 ( n1) n n ，(1011) (1011) (1011) 9 n11当 n0，即 an1 an；当 n9 时， an1 an0，即 an1 an；当 n9时， an1 an0，即 an1 an，该数列中有最大项，为第 9、10 项，且 a9 a1010 9.(1011)法二：根据题意，令Error!( n2)，即Error!解得 9 n10.又 nN *， n9 或 n10，该数列中有最大项，为第 9、10 项，且 a9 a1010 9.(1011)12、已知数列 an中， )1(2na(nN *， aR，且 a0)(1)若 a7，求数列 an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的 nN *，都有 an a6成立，求 a的取值范围(2)an1 1 .1a 2 n 112n 2 a2对任意的 nN *，都有 an a6成立，结合函数 f(x)1 的单调性，知12x 2 a25 6，10 a8.2 a2故 a的取值范围为(10，8)
