1、导数在函数极值方面的误区.将“稳定点”等同于“极值点”定义 1：可导函数 的方程 的根 ，称为函数)(xf0)(/xf )(/00xf的稳定点。)(xf定义 2：设函数 在区间 有定义，若 ，且存在 的某邻域fDD00， ，有 ，则称 是函数DU0)(0xU)()(0xffxfx的极大点（极小点） ， 是函数 的极大值（极小值） 。极大点和极)(xf )0小点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值。对于“ ”只是它为“函数 的极值点”的必要而不充分条件。0)(/xf )(xf即函数 的极值点必然在函数 的稳定点的集合之中，反之，不成立，即f稳定点不一定是极值点。例 3 中的函数 ，它在 上可导
2、，由方程3yR，解得唯一稳定点 ，从图像上看，显然点 不是可导函数32xy/ 00的极值点。例 6.函数 的极值点是 （ ）132)()xf 0 1 1 DxCxBA或或错解：导函数 ，令 ，解得26/f 62)()/xf，故答案应选 C。0x和,剖析：这三点都是稳定点，那是不是极值点？存在极值点条件：导函数在稳定点 的两侧有不同的符号， 必是函数 的极值点。显然导函)(/f0 0x)(xf数 在 两侧有相同的符号， 不是函数的极值点。x正解：由 知，当 时， ，162)()(/xf ,10)(/xf当 时， ；当 时， ，当 时，,(1,)(/xf,，故 在 上是单调递增函数； 在 上0)/
3、xff,0)(f,是单调递减函数。因此，只有 为极小值点，而 和 不是极值点xx（实际上是函数 的拐点） ，故应选 D。)(xf例 7.函数 ，当 时，有极值 ，那么 的值223ab1x10ba为 。误解：导函数 ，因为函数 在 处有极值 ，xf2)(/ )(fx10可得，解得 或101232ab3ba14因此 或 。7剖析：上述解题忽略了一个细节，解题过程中只用到 ，和0)(/f，这能说明它是极值点吗？当 、 时，0)(f a函数 在 上是增函数，显然 不是,)()(/ 0136322xxf )(xfR1x函数 的极值点；验证当 、 时， 是函数的极值点。故4a1b。7ba.误把极值当最值例
4、 8.求函数 在区间 上的最值。593xxf)( ,2误解：导函数 ，解得 ，或 ，经验证 ，02/ 1x21x和 都是函数 的极值点，即 为极大值， 为极小值，12x)(f )(f 71)(f因此函数 的最大值为 ，最小值为 。)(f17剖析：本题是误把“极值”当成“最值”所导致的错误。对于上面所给出的定义可知，极值是一个局部概念，是函数在某一点的小领域内的最值；而最值是整体概念，是在整个闭区间上的最值。在一个区间上可能有很多极大值（极小值） ，而且某些极大值还可能小于某些极小值，但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值） 。因此求函数闭区间上的最值，需要将函数的一切
5、极值与其端点值进行比较才能确定。本题两端点值，所以函数的最大值为 ，最小值为 。12)(,)(ff 11.把极值点的取值范围扩大例 9.函数 在区间 上的极大值就是最大值，则 的12mxxf ,2m取值范围。误解：导函数 ，令 ，解得 ，经验f)(/ 0mxf)(/ 2x证 是函数 的极值点，所以 ，解得 ，故 的2mxx124取值范围是 。,4剖析：定义 2，即极值定义，不难发现极值点在区间 的内部（即不能是D区间 的端点） ， 是函数 的极值是与函数 在 的某个领域上的D)(0xf)(xf )(xf0函数值 比较而言。因此 是函数 的极大值点，有题意得，)(f 2m)(f，解得 ，故 的取值范围是 。12m4),(24
