1、知能提升作业（十三）第 2 课时（30 分钟 50 分）一、选择题(每小题 4 分，共 12 分)1.如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=30，CDAB，DEBC，DFAC，垂足分别为D，E，F，则图中的线段存在 2 倍关系的有( )(A)7 组 (B)8 组 (C)9 组 (D)10 组2.如图所示，AOB 是一钢架，且AOB=10，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管 EF，FG，GH，添加的钢管长度都与 OE 相等，则最多能添加这样的钢管的条数为( )(A)7 (B)8 (C)9 (D)103.如图，在ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，AC=AB+BD，下列正确的是(
2、 )(A)B=C (B)B=2C (C)B=3C (D)B= C二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)来源:学优高考网 gkstk4.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知 A，B 两格点，如果点 C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是_.5.如图，在ABA 1中，B=20，AB=A1B，在 A1B 上取一点 C，延长 AA1到A2，使得 A1A2=A1C，在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2到 A3，使得 A2A3=A2D，按此做法进行下去，A n的度数为_.6.如图，在ABC 中，AB=AD=DC，BAD=20，则C=_.三、解答题
3、(共 26 分)7.(12 分)如图，ABC 中，AB=AC，A=36，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D为垂足，连接 EC.(1)求ECD 的度数.(2)若 EC=5，求 BC 长.来源:学优高考网【拓展延伸】8.(14 分)如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，DMN 为等边三角形(点 M 的位置改变时，DMN也随之整体移动).(1)如图，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必说明理由.(2)如图，当点 M 在 BC 上时，其他
4、条件不变，(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图给出推理过程；若不成立，请说明理由.(3)若点 M 在点 C 右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立？请直接写出结论，不必说明理由.答案解析1.【解析】选 B.根据题意可知，图中所有的直角三角形都含有 30角，所以每个三角形中都有一组线段满足 2 倍关系，共有 7 个三角形，同时由于 CE 与DF 相等，所以共有 8 组.2.【解析】选 B.因为添加的钢管长度都与 OE 相等，AOB=10，所以GEF=FGE=20，从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
5、即第一个等腰三角形的底角是 10，第二个是 20，第三个是 30，第四个是 40，第五个是50，第六个是 60，第七个是 70，第八个是 80，第九个是 90就不存在了.所以一共有 8 个.3.【解析】选 B.在 AC 上取点 E，使得 AE=AB，连接 DE.因为 AD 平分BAC，所以BAD=EAD.因为 AD=AD，AB=AE.所以ABDAED(SAS).所以 BD=DE，B=AED.又因为 AC=AB+BD，所以 EC=BD=DE.所以EDC 是等腰三角形，所以C=EDC.所以AED=C+EDC=2C.所以B=2C.4.【解析】如图，以 AB 为底边的点有 4 个，在线段 AB 的垂直
6、平分线上，以 AB为腰的有 4 个.答案：85.【解析】在ABA 1中，因为B=20，AB=A 1B，来源:学优高考网 gkstk所以AA 1B=80.在A 1A2C 中，因为 A1A2=A1C，所以A 1A2C= AA 1B= 80=( )2-180=40.在A 2A3D 中，因为 A2A3=A2D，所以A 2A3D= A 1A2C= 80=( )3-180=20，依此类推，得A n的度数为( )n-180.答案：( )n-180(或 )6.【解析】因为 AB=AD=DC，所以ABD=ADB，C=DAC，由三角形的内角和定理得：ADB= =80，所以C= 80=40.答案：407.【解析】(
7、1)方法一：因为 DE 垂直平分 AC，所以 CE=AE，所以ECD=A=36.方法二：因为 DE 垂直平分 AC，所以 AD=CD，ADE=CDE=90.又因为 DE =DE，所以ADECDE，所以ECD=A=36.(2)方法一：因为 AB=AC，A=36，所以B=ACB=72.因为ECD=36，所以BCE=ACB-ECD=36，所以BEC=72=B，所以 BC=EC=5.方法二：因为 AB=AC，A=36，所以B=ACB=72，所以BEC=A+ECD=72，所以BEC=B，所以 BC=EC=5.【归纳整合】构造等腰三角形的“四个方法”来源:gkstk.Com在等腰三角形的性质与判定的综合运
8、用中，常见的构造等腰三角形的模式有：来源:学优高考网(1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应用等角对等边得到边的相等.(2)“角平分线+垂线”构造等腰三角形，应用的原理是逆用等腰三角形的三线合一性质定理.(3)应用“垂直平分线”构造等腰三角形.(4)用“三角形中角的 2 倍关系”构造等腰三角形.8.【解析】(1)判断：EN 与 MF 相等(或 EN=MF)，点 F 在直线 NE 上.(2)成立.理由：延长 EN，则 EN 过点 F.因为ABC 是等边三角形，所以 AB=AC=BC.又因为 D，E，F 是三边的中点，连接 DF，所以 EF=DF=BF.因为BDM+MDF=60，FDN+MDF=60，所以BDM=FDN.又因为 DM=DN，ABM=DFN=60，所以DBMDFN.所以 BM=FN.因为 BF=EF，所以 MF=EN.(3)画出图形(连出线段 EN)，MF 与 EN 相等的结论仍然成立(或 MF=EN 成立).
