1、第 1 页 共 14 页南通市 2014 届高三第一次调研测试数 学 试 题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合 U 1，2，3，4，5，A 1，2，4 ，则 UA2已知复数 ， ( 为虚数单位)在复平面内， 对应的点在第 象限1zi2zi 12z3命题：“ ， ”的否定是 xR04在平面直角坐标系 中，抛物线 上横坐标为 1 的点到其焦点的距离为 Oy28yx5设实数 ， 满足 则 的最大值是 xy0 3 24xy ， ， ， ， zxy6如图是一个算法的流程图若输入 x 的值为 2，则输出 y 的值是 7 抽样统计甲，乙
2、两个城市连续 5 天的空气质量指数(AQI)，数据如下：空气质量指数 (AQI)城市第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天甲 109 111 132 118 110乙 110 111 115 132 112则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 （填甲或乙） 8 已知正三棱锥的侧棱长为 1，底面正三角形的边长为 现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，2则这两条棱互相垂直的概率是 9 将函数 的图象上所有点向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，()sin2fx0则 等于 10等比数列a n的首项为 2，公比为 3，前 n 项和为 Sn若 log3 an(S
3、4m+1)=9，则 + 的最小值是 12 1n4m11若向量 ， ，且 ，则 的值是 cos i， cos i，bbcos()输入x 12y|xxyNY结束（第 6 题）开始输出y第 2 页 共 14 页12在平面直角坐标系 中，直线 是曲线 的切线，则当 0 时，实数 的最小值是 xOyxblnyaxab 13已知集合 M= y ，N= ，则表示 MN 的图形(,)|3x1x|PA2,(1,)(,B面积等于 14若函数 对任意实数 ，在闭区间 上总存在两实数 、 ，使2()04()fxaxat t， 1x2得 8 成立，则实数 的最小值为 12|二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请
4、在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)如图，在四棱柱 中， ， ，且 1ABCD/ABCD1B1AB（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 11 A1 B1C1CDA BD1（第 15 题）第 3 页 共 14 页16(本小题满分 14 分) 在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边长，且 c=3bcosA，tanC = 34（1）求 tanB 的值；（2）若 ，求ABC 的面积c17(本小题满分 14 分)已知 a 为实常数，y=f(x) 是定义在( ，0)(0，+)上的奇函数，且当 x0 时，f( x)=2x +1a
5、3x2（1）求函数 f(x)的单调区间；（2）若 f(x)a1 对一切 x0 成立，求 a 的取值范围第 4 页 共 14 页18(本小题满分 16 分)如图，一块弓形薄铁片 EMF，点 M 为 的中点，其所在圆 O 的半径为 4 dm（圆心 O 在弓形 EMF 内） ，AEFEOF= 将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD(不计损耗)， AD EF，且点 A、D 在23上，设AOD= AEF（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于 的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos 的值O（第 18 题）MFOE第 5 页 共 14 页19(本小题满分 16 分)如图，在平面直
6、角坐标系 中，椭圆 过点 ，离心率为 ，又椭圆内xOy21(0)yxab3(1 )2， 32接四边形 ABCD (点 A、B、 C、D 在椭圆上)的对角线 AC，BD 相交于点 ，且 ，( 4P， APC2BPD（1）求椭圆的方程；（2）求直线 AB 的斜率（第 19 题）ABCDxPyO第 6 页 共 14 页20(本小题满分 16 分)已知等差数列a n、等比数列b n满足 a1+a2a 3，b 1b2b 3，且 a3，a 2+ b1，a 1+ b2 成等差数列，a1，a 2，b 2 成等比数列（1）求数列a n和数列b n的通项公式；（2）按如下方法从数列a n和数列b n中取项：第 1
7、 次从数列a n中取 a1，第 2 次从数列b n中取 b1，b 2，第 3 次从数列a n中取 a2，a 3，a 4，第 4 次从数列b n中取 b3，b 4，b 5，b 6，第 2n1 次从数列a n中继续依次取 2n1 个项，第 2n 次从数列b n中继续依次取 2n 个项，由此构造数列c n：a1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，记数列c n的前 n 和为 Sn求满足 Sn2 2014 的最大正整数 n第 7 页 共 14 页（第 21A 题）AB CM
8、NO数学（附加题）21 【选做题】A 选修 41：几何证明选讲 （本小题满分 10 分）在ABC 中，已知 CM 是ACB 的平分线，AMC 的外接圆交 BC 于点 N，且 BN 2AM求证：AB AC2B 选修 42：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）设二阶矩阵 ， 满足 ， ，求 AB123410BA1BC选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知曲线 ： ，过极点 O 的直线 与曲线 相交于 A、B 两点， ，C2sinlC3求直线 的方程lD选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分）已知 x， y，z 均为正数，求证： 1yxzxyz第 8 页 共
9、14 页【必做题】22 （本小题满分 10 分）如图，设 ， ， 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点现任选其中三个不同点构成一个三角形，1P26记该三角形的面积为随机变量 S（1）求 的概率；3S（2）求 的分布列及数学期望 ()E23 （本小题满分 10 分）已知 1，2， 满足下列性质 T 的排列 ， ， 的个数为 （n2，且 nN*） n1a2na()f性质 T：排列 ， ， 中有且只有一个 （ 1，2， ） 1a2n 1ii1（1）求 ；(3)f（2）求 n 5P62P34（第 22 题）OP1第 9 页 共 14 页南通市 2014 届高三第一次调研测试数学试题参考答案一、填空题：本大
10、题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1.3，5 2.二 3. ， 3. 3 4. 7 5. 6. 乙xR|0327. 8. 9. 111 12. 13. 14825214二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)（1）证明：在四棱柱 中， ，1ABCD/ABCD平面 ，AB1平面 ，CD所以 平面 6 分/1C（2）证明：在四棱柱 中，四边形 为平行四边形，又 ，1ABD1AB1AB故四边形 为菱形1从而 9 分又 ，而 ， 平面 ，1ABC1B1 A， BC1A所以 平面 14 分1
11、6(本小题满分 14 分) （1）解：由正弦定理，得 ，2 分sin3icosBA即 sincAB所以 coii从而 i4s因为 ，所以 4 分s0tan4B又 ，由（1）知， ，tant()tAC 23tan41B解得 6 分1t2BA1B1C1CDA BD1（第 15 题）第 10 页 共 14 页（2）解：由（1） ，得 ， ， 10 分2sin5A1sin5B3sinC由正弦定理，得 12 分4sin35caC所以ABC 的面积为 14 分 11si2235cB17(本小题满分 14 分)（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论 f(x)在区间(，0)的单调性即可f (x)2 ，令
12、 f (x)0，得 x a 2 分2a3x3当 a0 时，f (x )0，故 f(x)在区间 (，0)是单调递增 4 分当 a0 时，x ( ，a )，f (x) 0，所以 f(x)在区间(， a )是单调递增x (a，0) ，f (x )0，所以 f(x)在区间(a，0)是单调减 6 分综上所述：当 a0 时，f(x )单调增区间为(，0) ，(0，+)；当 a0 时，f(x) 单调增区间为(，a ) ，(a ，+)，单调减区间为 (a，0)，(0，a) 7 分（2）解：因为 f(x)为奇函数，所以当 x0 时， f(x)f(x ) (2 x 1) 2x 1 9 分a3x2 a3x2当 a0
13、 时，要使 f(x)a1 对一切 x0 成立，即 2x a 对一切 x0 成立a3x2而当 x 0 时，有 a+4aa，所以 a0，则与 a0 矛盾a2所以 a0 不成立11 分当 a0 时，f(x )2x11=a1 对一切 x0 成立，故 a0 满足题设要求12 分当 a0 时，由(1)可知 f(x)在(0， a)是减函数，在(a ，+)是增函数所以 fmin(x)=f(a) 3a1a1，所以 a0 时也满足题设要求 13 分综上所述，a 的取值范围是 14 分0,18(本小题满分 16 分)（1）解：设矩形铁片的面积为 ， SAOM当 时（如图） ， ， ，034cos2B4sinD 3
14、分4cos2in16ico1SABD当 时（如图） ， ， ，32 4cosA24sinA（第 18题） M FOE EFABCDO M第 11 页 共 14 页故 64sinco32sinSABD综上得，矩形铁片的面积 S 关于 的函数关系式为 7 分1si21 0 3n .，（2）解：当 时，求导，得0216cos21sin2i164cosS 令 ，得 10 分038记区间 内余弦值等于 的角为 （唯一存在） 列表：( )， 100 ， ( )3，S0 增函数 极大值 减函数又当 时， 在 上的单调减函数，32 3sin2 )，所以当 即 时，矩形的面积最大 16 分01co819(本小题
15、满分 16 分)（1）解：依题意， 解得223 14. abc， ， 24 1.ab=，所求椭圆的方程为 6 分24xy（2）解：设 ，则 1 A， 21由 ，得 8 分2PC134 8xy，代入椭圆方程 ，得 24y212134y整理，得 ， 10 分21139()06xx即 12 分18y设 ，同理可得 14 分2 Bx， 28xy （第 19 题）ABCDxPyO第 12 页 共 14 页 ，得 ，即直线 AB 的斜率为 16 分21yx21ykx20(本小题满分 16 分)（1）解：设等差数列a n的公差为 ，等比数列b n的公比为 ，dq依题意，得 解得 a1=d=1，b 1=q=2
16、11211112() ()()(). aabqqdbdb， ，故 an=n，b n=2n 6 分（2）解：将 a1，b 1，b 2 记为第 1 组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6 记为第 2 组，a5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12 记为第 3 组，以此类推，则第 n 组中，有 2n1 项选取于数列a n，有 2 n 项选取于数列b n，前 n 组共有 n2 项选取于数列a n，有 n2n 项选取于数列 bn，记它们的总和为 Pn，并且有 11 分21， 22014207145(5)09834 ()当 （22 22
17、2012）时，2(1)nS 13 分201401345(1)0当 （22 22 2013)时， 5()nS2014(51)0可得到符合 的最大的 n=4522012=4037 16 分2014nS第 13 页 共 14 页（第 21A 题）AB CMNO数学（附加题）参考答案与评分标准21 【选做题】C 选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分）证明：如图，在ABC 中，因为 CM 是ACM 的平分线，所以 3 分AMB，又因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的割线，所以 ，NC即 6 分 C，又 BN=2AM，所以 8 分2BAM，由，得 AB AC 10 分D 选修 42：
18、矩阵与变换（本小题满分 10 分）解：设 ，因为 ， 2 分1abcd11BA所以 ，即 6 分021342 034 1acbd， ， ，解得 所以 10 分3 21abcd， ， ， 123BC选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）解：设直线 的方程为 (R) ， ， ，2 分l0 0A， 10 B，则 5 分1|AB2sin|又 ，故 7 分303i解得 +2k 或 +2k，k Z 0所以直线 的方程为 或 (R) 10 分l3D选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分）证明：因为 x，y，z 均为正数，所以 4 分12yxxzyz 同理可得 ， 7 分2 2y第 14
19、 页 共 14 页当且仅当 x y z 均时，以上三式等号都成立将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以 2，得 10 分1zz【必做题】22 （本小题满分 10 分）解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有 种不同选法，36C其中 的为有一个角是 的直角三角形（如 ） ，共 种，32S30 145P21所以 3 分615CP（2） 的所有可能取值为 ， ， 的为顶角是 的等腰三角形S424S120（如 ） ，123共 6 种，所以 5 分3610CPS的为等边三角形（如 ） ，共 2 种，所以 7 分4S5P362140CPS又由（1）知 ，故 的分布列为362SS所以 10
20、 分33931()41025402ES23 （本小题满分 10 分）解：（1）当 时，1，2，3 的所有排列有 ，2， ， ，3， ， ，1， ， ，3， ， n()(2)()(21)，1， ， ，2， ，其中满足仅存在一个 1，2，3，使得 的排列有 ，3， ，()()iiia，1， ， ，3， ， ，1， ，()所以 3 分()4f（2）在 1，2， 的所有排列 ， ， 中，n1a2na若 ，从 个数 1，2，3， 中选 个数按从小到大的顺序排列为 ，()iai 1i 1a， ，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，21i于是满足题意的排列个数为 6 分1Cin若 ，则满足题意的排列个数为 8 分na()f综上， ()f)f1ni12n从而 10 分332()()(31n nf f34234P510 5P62P34（第 22 题）OP1
