1、 学有方初三数学 寒假课程1第八讲 中点问题教学目标（1 ）帮助学生系统性的复习初中阶段所学的所有关于中点的知识点。（2 ）使学生掌握中点在各类型题目中的应用。（3 ）使学生理解并掌握如何利用中点做辅助线。教学重点 如何利用中点做辅助线教学难点 如何利用中点做辅助线教学方法建议 讲练结合，讲授、讨论结合课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业A 类 （ 3 ）道 （ 5 ）道 （ 3 ）道B 类 （ 4 ）道 （ 8 ）道 （ 6 ）道选材程度及数量C 类 （ 1 ）道 （ 3 ）道 （ 3 ）道一、知识梳理1.与中点有关的内容与中点有关的内容主要包括三角形的中位线、梯形的中位线、直角三角形斜边
2、上的中线等.（1 ）等腰三角形底边的中线、底边的高与顶角的角平分线“三线合一” 。（2 ）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；.（3 ）梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半；（4 ）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5 ）弦的中点与垂径定理；2.中点四边形（1 ）顺次连接四边形四边的中点得到一个平行四边形；（2 ）顺次连接对角线相等的四边形四边的中点得到一个菱形；（3 ）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点得到一个矩形；（4 ）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点得到一个正方形；二、方法归类（1 ）等腰三角形的底边中点：构造三线合一的基本图形。（2 ）直角三
3、角形斜边中点：作斜边中线的基本图形。学有方初三数学 寒假课程2（3 ）有中线时：加倍中线构造平行四边形的基本图形。（4 ）涉及到面积问题时，中点可以联想到平分面积。（5 ）梯形与中点有关的问题：已知对角线中点时，将顶点与这个中点连接与另一底相交于一点，把梯形问题转化为三角形问题；已知一腰上中点时，把顶点与中点连接并延长与另一底相交；或过这腰中点作另一腰的平行线，把梯形问题转化为平行四边形或者三角形问题来解；或取梯形另一腰中点，构成梯形中位线问题.取梯形对角线的中点与一腰或者一底的中点连接，构成三角形的中位线，这个方法通常同样适用于普通的四边形。三、课堂精讲例题（一）直角三角形斜边的中线1.性质
4、:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2.如果一个三角形一边中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形3.直角三角形斜边的中线将直角三角形分成两个等腰三角形例 1 如图 1 在 和 中，已知ABCD分别为边 和,RtEFAB的中点，求证：CD.【难度分级】B 类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对直角三角形斜边中线性质的运用和对“三线合一”的运用.【解题思路】本题出现了直角三角形斜边的中点，那么容易联想到斜边中线的性质，另外，在已知平分的情况下证明垂直（或者已知垂直证明平分） ，会使我们很容易的联想到等腰三角形的“三线合一” 。【解析】因为 是边 上的中点，且 因此可知
5、与 是EAB,ACBDRtCED 和 的公共斜边 上的中线，而已知 是 边 上的中线，RtCtDF欲证 ，只需证明 为等腰三角形，即证FE.E学有方初三数学 寒假课程3证: 在 和 中， 是边 上的中点ABCD,ACBDRtEAB 1.2E又 是 的中点，F .【搭配课堂训练题】1. 如图 2，在四边形 中，ABCD为线段 的中点，连接,ABCRtP试问： 与 有何关系？,.DP说明理由.【难度分级】A 类试题来源经典例题答案解： =PBD证： ,ACRt 与 是直角三角形， 为线段 的中点，P (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) DB21 =2. 如图 3，在锐角 中， 分别是 边上的
6、高， 相交于 ，ACE、 BCA、 DCE、 F的中点为 ， 的中点为 ，连接 、FPQP.D求证：直线 是线段 的垂直平分线.D【难度分级】C 类试题来源经典例题答案证：如图，连结 ,QEDP, 分别是 边上的高AC、 BA、学有方初三数学 寒假课程4 90BDFE 为直角三角形, 为 的中点P (直角三角形斜边上的中线等于BFE21斜边的一半) ACQD ,P (SSS)E ,QD直线 是线段 的垂直平分线P（二）中线倍长的用法方法：延 长 中 线 ， 使 所 延 长 部 分 与 中 线 相 等 ， 然 后 往 往 需 要 连 接 相 应 的 顶 点 ， 则 对 应 角对 应 边 都 对
7、应 相 等 。 常 用 于 构 造 全 等 三 角 形 。 中 线 倍 长 法多 用 于 构 造 全 等 三 角 形 和 证 明 边 之 间 的 关 系 。例 2 如图，在 中， 为 边上的中线，ABCD求证： 1.D【难度分级】A 类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对中线倍长辅助线的运用.【解题思路】涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边 、 和两个角 和ABCBAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。CAD【解析】要证明 ，就是证明 ，也就是证明两条线段12ABC2之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于
8、第三边” ，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，学有方初三数学 寒假课程5因此应该进行转化。待证结论 中，出现了 ，即中线 应该加倍。2ABCD2AD证明：延长 至 ，使 ，连 ，则DEE.在 和 中，ACB ( )DESA .又 在 中，B.A ，即2CD1.2ABC例 3 如图 6，在 中， 为 边上的中线， 交 于点 ，交 于点BFADEC，且满足 ，FAEF求证： .B【难度分级】B 类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对中线倍长辅助线以及等角对等边的知识.【解题思路】首先，从结论出发，证明两条线段相等最常见的方法有两个：（1）证明两个三
9、角形全等；（ 2）等角对等边，通过中线倍长的方法，将不在同一三角形的两条线段转化到同一三角形中，从而利用等角对等边证明两条线段相等.【解析】这里显然很难得到分别包含线段 和线段 的两个全等三角形，因而考虑等ACBE角对等边，这就需要将线段 和线段 放在同一三角形中，考虑延长中线一倍构成全等三角形，将线段 转化.AC证明：延长 至 使得 连接 ，DG.G在 和 中，B学有方初三数学 寒假课程6ADGCB ( )SA 且,A.EF F E G B .EAC【思考】思考一下，是否可以通过延长 倍长至 ，再连接 去证明命题结论呢？DEGC【搭配课堂训练题】1.三角形的两边长分别为 3 和 5，试求第三
10、边的中线长 的取值范围.x【难度分级】A 类试题来源经典例题答案解：如图， ， ,， 为 边上的中线,运用例5B3ACDB2 知识点，在 中，E，又 2.AD .412 如图 8，在 中， 为 边上的中线， 于点 ， ，BCADAC120BA求证： 2.【难度分级】B 类试题来源经典例题答案证：延长 至 ，使 ，连结 ，ADEADBE学有方初三数学 寒假课程7在 和 中，ADCBE ( )ACBESA，90,DE ， ，12 ，30BA CE23. 如图 10，在 中， 为 边上的中点，且DB.EDF求证： .B【难度分级】C 类试题来源经典例题答案证：延长 至 ，使 ，连结 ， ，EDGDC
11、GF在 和 中，BC ( )DGBESA ， ，.F (中垂线上的一点到两边距离相等)F ，GC .BE（三）三角形的中位线与梯形的中位线定义：1.连接三角形任意两边中点的线段，称为三角形的中位线；学有方初三数学 寒假课程82.连接梯形两腰中点的线段，称为梯形的中位线.性质：1.三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；2.梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半.三角形的中位线和梯形的中位线，无论在位置上还是数量上都具有很重要的性质。例 4 如图 12 在 中， 平分 ， 于点 ，点 是 边上的ABCDBACDEBC中点， ，试求线段 的长.3,5E【难度分级】A 类【试题来源】经典例
12、题【选题意图】本题主要是考察学生对三角形中位线的知识.【解题思路】在出现角平分线和垂直的条件时，很容易构造全等三角形，从而得到线段的中点，再与其他的中点连接构成中位线，从而方便解决问题.【解析】因为，点 是 边上的中点，如果点 也是某一边的中点，我们就可以利用三EBCD角形的中位线定理，来求得 的长度。循着这条思路，我们不妨延长 ，交 于点 ，只要证明点 是DBACFD的中点就可以了.BF解：延长 ，交 于点 ，ACF 平分 B D .AFRt又 ( )BDAS 且3, 1.2ECF例 5 如图 13，梯形 中， ，ABDBC于 ，试判断 与 的大小，ADO并证明你的结论.OFE DCBA图
13、13学有方初三数学 寒假课程9【难度分级】C 类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对构造梯形中位线和直角三角形斜边中线的知识.【解题思路】从结论出发，本题为证明有关线段的不等式问题，于是我们将它与三角形边长关系联系起来，这就需要转化，构造梯形中位线和直角三角形斜边中线是本题转化的主要工具.【解析】考虑如何在图形中建立 、 之间的联系，一般我们想办法先转ABCD化，把他们和某几条线段建立联系，然后放在一个三角形中讨论。在这道题中，我们首先能想到的是如何转化 ，可以做出梯形的中位线 ，则有 ，EF12ADBC而 ，使我们联想到直角三角形斜边的中线.ACBD解：结论： 证明如下：.A
14、BC分别取 、 的中点 、 ，连接 、 和 ，则有EFO12EF,.OABD显然梯形 中 、 、 三点不会共线.CEF在 中有FO即 11.22B .ABD【小结与思考】本题通过转化将所证明的线段转化到同一个三角形中，利用三角形边的关系解决问题，本例中用到了梯形的中位线的性质，同时还运用到了直角三角形斜边中线的性质，本例将中点的作用发挥的淋漓尽致.另外，思考一下为什么梯形 中 、 、ABCDEO三点不会共线.F【搭配课堂训练题】1. 如图 14，在 中， 、 分别为ABCED与 的平分线， 于点 ，ABCM于点 ，连接 ，求证： .NENBC【难度分级】C 类试题来源经典例题NMED CB A
15、图 14学有方初三数学 寒假课程10答案证：延长 ， 分别 交 于点 ，点 ，AMNBCGH在 中， 、 分别为 与 的角平分线，EDACB于点 ， 于点N在 和 中，90GMCA （ ）AS ，同理 ，HN在 中，AG 且 (三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半)MG21 .BC2. 如图 16，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD,中位线 EF 与对角线 AC、BD 交于 M、N 两点，若 EF=18 cm，MN=8 cm，求 AB 的长.【难度分级】B 类试题来源经典例题答案解： ABCD,中位线 EF 与对角线 AC、BD 交于M、N 两点 ABFME21, ， MNEFNFE
16、ODCBA图 17图 16HG图 15学有方初三数学 寒假课程11 cm2681MNEFAB3. 如图 17， 为正方形 中 的平分线， 分别交 、 于点 、CDBAEBDCF， 、 相交于点 .ECDO求证： 1.2【难度分级】B 类试题来源经典例题答案证：过 作 CMAC 交 的延长线于 点，CAEM正方形 ， 、 相交于点 ，BDCO 为 的中点，且 ，OF M ，且F21 为正方形 中 的平分线，AEBCDACMA ，E ， 1.2OF（四）四边形的中点概念： 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.性质： 中点四边形的形状始终是平行四边形，且中点四边形的面积为原四边形面
17、积的一半.例 6 如图 19， 与 都是等边三角形，ABCDE且 、 、D 三点共线，分别取 、 、 、 边的中点 、 、 、 ，连BBEAMNPQ接 、 、 、 ，试判断四边形 的形状，说明理由.MNPQNPQM图 18学有方初三数学 寒假课程12QPNM EDCBA图 19【难度分级】B 类【试题来源】2010 甘肃酒泉中考【选题意图】本题主要是考察学生对中点四边形知识的掌握【解题思路】本题出现了中点四边形，显然四边形 为平行四边形，另外，这里出MNPQ现了两个有共同顶点的正三角形，这就很容易构造全等三角形，从而判断出 为何MNPQ种特殊的平行四边形.【解析】题中出现了四个中点，很显然联想
18、到中点四边形的知识，依据中位线的性质，很容易判断出四边形 为平行四边形，由于 与 都是等边三角形，我们MNPQABCDE知道，两个正多边形有一个顶点重合时，很容易出现依据 判定的一组全等三角形，因S此，这里我们连接 、 ，依据全等可得 ，再利用三角形中位线的性质可得ADBE到四边形 为菱形.解：四边形 为菱形，证明如下：MNPQ连接 、 ，ABE 与 都是等边三角形CD 且,60.ACBED BE ( )S AD 、 、 、 分别为 、 、 、 边的中点MNPQABDEA 11/,/,/,/.22BEMNPQ学有方初三数学 寒假课程13 /,/.MQNP四边形 为平行四边形，又 ，ADBE N
19、 为菱形.MPQ【说明】我们在遇到两个正多边形有一个顶点重合时，要想到这里会出现依据 判定的SA一组全等三角形，如果能联想到这样的一组三角形，对我们解决问题会有很大的帮助，因而，记住一些结论和基本图形会有助于我们思考问题.例 7 如图 20，在菱形 ABCD 中， A=110，E、F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EPCD 于点 P，则FPC = ( )A. 35 B45C. 50 D. 55【难度分级】B 类【试题来源】2009 浙江杭州中考【选题意图】本题主要是考察学生对三角形中位线以及构造直角三角形斜边中线知识的掌握【解题思路】本题出现了中点和垂线，三角形中位线和直角三角形斜边中线是
20、本题的主要方法，这里还要延长线段构成“8” 字的全等三角形，实现了对角的转化.【解析】考虑到 E、 F 分别是边 AB 和 BC 的中点，只需连接 AC，就可构造出三角形的中位线 EF，于是可得BEF=55 ，又 F 为 BC 的中点，EP CD，显然让我们想到直角三角形的斜边中线，于是延长 DC 和 EF 交于点 G，如图 21，易证 EF=FG，于是 PF 为Rt EPG 斜边的中线， FPC= FGC= BEF=55.答案：D【搭配课堂训练题】GPFEDCBA图 21图 20学有方初三数学 寒假课程141. 如图 22， D 是ABC 内一点， BDCD，AD =6，BD=4，CD=3，
21、E 、 F、 G、 H 分别是AB、 AC、 CD、 BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ）A 7 B 9 C 10 D 11【难度分级】A 类试题来源经典例题答案D【解析】考虑到 E、 F、 G、 H 分别是 AB、 AC、 CD、 BD 的中点，分别为 的中位线，所H, BCDABD,以 ， ，又 BDCD，BD =4，CD=3 ，所以 ，A2121 5BC所以四边形 EFGH 的周长是 .2. 如图 23，在 ABCD 中, AD=2AB,M 是 AD 的中点，CEAB 于点 E， CEM=40， 则 DME 是（ ）A.150B.140C.135D.130【难度分级】B 类试
22、题来源经典例题答案A【解析】考虑到在 ABCD 中，M 是 AD 的中点，CEAB 于点 E，所以取 的中点 ,连接 , ,则 BCFCF,则 且 平分 ，所以AE，又在 ABCD 中，AD =2AB，所以 ,所以 ，DMMD所以 DME= ，又 CEM=40， ，所以 ,所以 DME=F3CEF50F.1503. 如图 25，已知：梯形 ABCD 中，AB/CD，且 BMCM，M 是 AD 的中点，ME DCBA图 23图 22F图 24学有方初三数学 寒假课程15试说明 ABCD= BC. 【难度分级】B 类试题来源经典例题答案证：取 中点 ，连接 ，则CNM 在梯形 ABCD 中，AB/
23、CD，M 是 AD 的中点，为 中点B /AB/CD，且 CDAB21 BMCM， 为 中点，N BC21ABCD= BC4. 已知：如图 26，在正方形 ABCD 中，Q 在 CD 上，且 DQ=QC，P 在 BC 上，且 AP=CDCP.求证：AQ 平分 DAP. 【难度分级】B 类试题来源经典例题答案证：连接 ，并延长 交 的延PQAD长线于 点，E在 和 中，DCQPE90 （ ）DCAS ，正方形 ABCD A图 25N图 26E学有方初三数学 寒假课程16AP=CDCP= AEDAQ 平分 DAP（五）弦的中点与垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧
24、.推论：平分弦（不包括直径）的直径，垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧.例 8 如图 27，AB 是O 的直径，CD 是弦，AE CD 于 E，BFCD 于 F.求证： EC=DF.【难度分级】A 类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对垂径定理知识的把握【解题思路】圆中常见的辅助线作垂直于弦的直径，本题主要考察垂径定理，我们还会发现出现了梯形的中位线.因而利用垂径定理和梯形中位线知识就可解决本题.【解析】我们知道四边形 ABFE 为直角梯形，O 为腰 AB 的中点，这里只需取得另一腰 EF的中点即可构造梯形的中位线，于是作 OPCD 于点 P，由垂径定理，可以知道 CP=DP
25、,又 OP 为梯形 ABFE 的中位线，所以 P 也是 EF 的中点，于是问题得到解决 .证明：作 OPCD 于点 P，CP=DP又 O 为 AB 的中点， AECD ， BFCDOP 为梯形 ABFE 的中位线EP=PFEC=DF .【搭配课堂训练题】1 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、 D 两点，AB=10cm ,CD=6cm，则 AC 的长为（ ）A 0.5cm B 1cm C 1.5cm D 2cm【难度分级】A 类试题来源经典例题图 27G图 28学有方初三数学 寒假课程17答案D【解析】我们知道在圆中垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的
26、两条弧，故在以 O 为圆心的两个同心圆中，过 O 作 于 ，则 ， .所ABEABE21CD21以 cm.221CDABEAC2如图，AB 为O 的一固定直径，它把 O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦 ， 的平分线交O 于点P，当点 C 在上半圆（不包括 A、 B 两点）上移动时，点 P（ ）A到 CD 的距离保持不变 B 位置不变C等分 D随 C 点的移动而移动【难度分级】A 类试题来源经典例题答案B【解析】考虑到在 中， 的平分线交 于点 ，OCDOP连接 ，则 ，设 交 于 点， 与 交于 ，则PPABECDABF，所以 ，又 ,所以 .我们知道在圆CEAEF中垂直于弦的直
27、径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧，所以点 位置不变，为中点.B3. 如图，已知：在 中， 是直径， 是弦， 交 于 ，OABCDEABE交 于 CDFAF求证： E【难度分级】B 类试题来源经典例题答案证：作 OPCD 于点 P，CP=DP在 中， 是直径， ， ，OABCDEFOP 为梯形 的中位线CDFP图 30学有方初三数学 寒假课程18 OFE BA4. 如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB，交小圆于 C、 D 两点，设大圆和小圆的半径分别为 .求证：ba, 2baD【难度分级】B 类试题来源。经典例题答案证：过 O 作 于 ，连接 ，则ABEOCA,22C EAEA ，在两个
28、同心圆中，大圆的弦 AB，BOE交小圆于 C、 D 两点， , BDEAEA, 2baBD四、巩固练习基础训练题（A 类）1、如图，在ABC 中，AB=A C,延长 AB 到 D,使 BD=AB,E 为 AB中点，连结 CE,CD,求证：CD=2 EC 【答案】证：取 的中点 ，连接 .CFBBD=AB， 为 的中点A 且BD2AB=AC，E 为 AB 中点， 为 的中点C在 和 中，FE图 31F图 33图 32图学有方初三数学 寒假课程19AEFCB （ ）S CBCD=2 EC 2、已知：如图，在ABC 中，AB AC，D 、 E 在 BC上，且 DE=CD，过点 E 作 EFAB 交
29、AD 于点F，EF=AC.求证：AD 平分 BAC【答案】如图，延长 AD 至 G，使 DF=DG,易证DEFDCG,EF=CG , EFD= G,AC=CG CAG= GEFAB BAD= EFD BAD= CADAD 平分 BAC3、已知：如图 CD=AB， BDA= BAD，AE 是ABD的中线。求证： C= BAE【答案】如图，延长 AE 至 F，使 AE=EF,易证AEDFEB再通过 SAS 证明ABFCDA C= BAE FEDCB A图 34GFDE CB A图 35AB CDE图 36F图 37学有方初三数学 寒假课程20提高训练（B 类）1、如图，在正方形 ABCD 中，AB
30、=2 ，EF =2，E 、 F 分别从 D、 A 出发沿正方形的四边逆时针方向移动，E 点回到 D 点时，运动停止， EF 的中点为P，试描述 P 点的运动轨迹，说明理由，并求出运动过程中，P 点轨迹所围成的图形的面积.【解析】考虑到正方形 ABCD，所以，又 AB=2，EF=2，EF 的90DCBA中点为 P，E 、 F 分别从 D、 A 出发沿正方形的四边逆时针方向移动，故 E 从 D 到 A 时 始终成立，即此时1PP 点的运动轨迹是以 A 为圆心，半径为 1 的 的圆，同4理当 E 分别从 A 到 B，B 到 C，C 到 D 时，P 点的运动轨迹分别是以 B，C，D 为圆心，半径为 1
31、 的 的圆。故P 点的运动轨迹为图中 4 条圆弧。故 P 点轨迹所围成的图形的面积为 .S2、 如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，E、F 分别是对角线BD、AC 的中点，求证：EF .)(1CDAB【答案】证：取 的中点 ，连接 ， ，MEFE、F 分别是对角线 BD、AC 的中点， 为 的MAD中点图 38HGNM DCBA图 39图 40M图 41学有方初三数学 寒假课程21在 中，ABDABEM21在 中，CF又 ABCD，在 中， FMEEF )(21AB3、已知：正方形 ABCD，E 、 F 分别为 AB、 AD 的中点，CE、 BF 相交于 G.求证：DG =CD.【答案】证
32、：延长 ， 交于 点，CDBFH 为 的中点A易证 （ ）SA B在正方形 中，E 、 F 分别CDAB， 的中点，A易证 （ ）AS BHG CD4、如图，AB =AE，ABAE ，AD=AC ，AD AC ，点 M 为 BC 的中点，求证：DE =2AM【答案】简要证明，如图延长 AM 至 N，使 AM=MN,易证AMCNMB，于是可证ABNEADDE=AN =2AM图 42H图 43学有方初三数学 寒假课程22DACMBE图 44 NME DCB A图 455、如图，在 中，D 、 E 分别是弧 的中点，连接OA,BDE，分别交 AB、 AC 于点 F、 G,求证:AF=AG.【答案】证
33、明：如图，连接 OD、 OE，分别交 AB、 AC 于点 M、 N,D 、 E 分别是弧 C 的中点A,BODAB，且 OEAC AMD= ENG=Rt .又OD=OE, D= E. DFM= EGN. AFG= AGF.AF=AG.6、如图，在四边形 ABCD 中，一组对边AB=CD,另一组对边 AD BC,分别取 AD,BC 的中点 M,N,则 AB 与 MN 的关系是（ ）A.AB=MN B.ABMNC.ABMN.C21MNG图 49综合迁移（C 类）1、如图，在平面直角坐标系中，A 、 B 分别为 x、 y 轴上的动点，且 AB=2，以 AB 为边作正三角形 ABC,连接 OC，求 O
34、C的最大值.【答案】解：如图，取 AB 的 中点 E，连接 OE，CE，又 AB=2，正三角形 ABC 以 AB 为边，故 OE=1，CE= 。3在三角形 OCE 中， .又 A、 B 分别CO为 x、 y 正半轴上的动点，故 OC 的最大值为 。1CEOE图 51图 52图 50学有方初三数学 寒假课程242、如图，已知四边形 ABCD 中，AB=CD,E, F 分别为 AD,BC 中点，BA,FE, CD 延长线分别交于 M,N 点，比较 BMF, CNF 的大小，并证明.【答案】 CFB证：如图，连接 ，取 的中点 ，连ACH接 ， ，EH、 分别是 、 的中点 ,CD21 ,且 FAB
35、AB HFE又 ( )CND( ) BMA F3、如图，ABC 中， BAC=120,以 AB,AC为边分别向外作正三角形 ABD 和正三角形ACE,M 为 AD 中点，N 为 AE 中点，P 为 BC 中点，求 MPN 的度数. 【答案】【分析】已知中点再造中点，我们首先想到作中位线辅助做题。取 AB、 AC 的中点 G、 H，连接MG、 GP、 NH、 PH， 这样一来 MPN 出现在四边形 AGPH 中，而我们可以证明四边形 AGPH 是平行四边形， GPH= BAC=120，如果我们能够求出 GPM 和 NPH， MPN 自然就求出来了。图 53ACP ENMBD图 54HG图 55图
36、学有方初三数学 寒假课程25我们可以证明MGPPHN （ 三边相等） ，所以 MGP= PHN=60+60=120，即 GPM+ GMP= GPM+ NPH=60，所以 MPN=60.4、如图，在ABC 中,BD 、 CE 分别是两个外角的平分线，且 ADBD 于点 D,AEEC 于点 E，连接 DE,求证： 1()2DABCEDCBA图 56【答案】证明：如图，延长 AD、 AE 分别交直线 BC 于点M、 N,BD 平分 ABM, ABD= MBDBD=BD 且 ADB= MDB=Rt .ADBMDB(ASA )D 为 AM 中点，AB=MB ,同理，E 为 AN 中点，AC= CN 1()2MBCN即 .A NM ED CBA图 57
