1、第 1 页 共 11 页初一升初二数学辅导资料（一）11.2.2 三角形的外角教学目标 1、理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。重点难点 三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。教学过程一、导入新课投影 1如图，ABC 的三个内角是什么？它们有什么关系？是A、B、C ，它们的和是 1800。若延长 BC 至 D，则ACD 是什么角？这个角与ABC 的三个内角有什么关系？二、三角形外角的概念ACD 叫做ABC 的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。想一想，三角形的外角共有几个？共有六个。注意：每个顶点处
2、有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.三、三角形外角的性质容易知道，三角形的外角ACD 与相邻的内角ACB 是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明ACD 与A、B 的关系吗？CEAB ， A= 1，B=2又ACD= 1+2ACD= A+B你能用文字语言叙述这个结论吗？三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。四、例题例 如图，1、2、3 是三角形 ABC 的三个外角，它们的和是多少？解：1+BAC=180 0，2+ABC=180 0，3+ACB=180 0，1+ BAC+2+AB
3、C+3+ACB=540 0第 2 页 共 11 页又BAC+ABC+ACB=180 01+ 2+ 3=3600。你能用语言叙述本例的结论吗？三角形外角的和等于 3600。11.31 多边形教学目标 1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念2、区别凸多边形与凹多边形重点难点 多边形及有关概念、正多边形的概念是重点；区别凸多边形与凹多边形是难点。教学过程一、情景导入投影 1看下页的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？ 二、多边形及有关概念这些图形有什么特点？由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接这种在平页内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形
4、按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形、n 边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的A、B 、C 、D 、E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做 多边形的外角如图中的1 是五边形 ABCDE 的一个外角。 投影 2连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的 对角线四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。你能猜想 n 边形有多少条对角线吗？说说你的想法。n 边形有 1/2n（n3）条对角线。因为从 n 边形的一个 顶点可以引n3 条对角线，n 个顶点共引 n（n3
5、）条对角线，又由于 连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，n 边形有 1/2n（n3）条对角线。三、凸多边形和凹多边形如图，下页的两个多边形有什么不同？第 3 页 共 11 页在图（1）中，画出四边形 ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画 BD 所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形四、正多边形的概念我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边
6、形叫做正多边形。下页是正多边形的一些例子。11.32 多边形的内角和教学目标 1、了解多边形的内角、外角等概念；2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算重点难点 多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；多边形的内角和定理的推导是难点。教学过程一、复习导入我们已经证明了三角形的内角和为 180，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为 360，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？二、多边形的内角和投影 1如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？AB CD可以引一条对角线；它
7、将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=ABD 的内角和+BDC 的内角和=2180=360。类似地，你能知道五边形、六边形 n 边形的内角和是多少度吗？投影 2观察下页的图形，填空：第 4 页 共 11 页A BCD 五边形 六边形 从五边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将五边形分成 三角形，五边形的内角和等于 ；从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 三角形，六边形的内角和等于 ；投影 3从 n 边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将 n 边形分成 三角形，n边形的内角和等于 。n 边形的内角和等于（n 一 2）180从上页的讨论我们知道，求 n 边形的内角和可以将
8、 n 边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？ 分法一 投影 3如图 1，在五边形 ABCDE 内任取一点 O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。五边形的内角和为 5180一 2180（52）180=540。12345ABCDEO134ABCDO图 1 图 2分法二 投影 4如图 2，在边 AB 上取一点 O，连 OE、OD、OC，则可以（51）个三角形。五边形的内角和为（51）180一 180（52）180如果把五边形换成 n 边形，用同样的方法可以得到 n 边形内角和（n 一 2）180三、例题例 1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什
9、么关系？如图，已知四边形 ABCD 中，AC180，求B 与D 的关系解：A+B+C+D=（42）180=360又AC180BD= 360（AC）=180这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补例 2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和等于多少？如图，已知1，2，3，4，5，6 分别为六边形 ABCDEF 的外角，求1+2+3+4+5+6 的值第 5 页 共 11 页1234A BCDEF56解：1+BAF=180 2+ABC=180 3+BAD=1804+CDE=180 5+DEF=180 6+EFA=1801+BAF+2+AB
10、C+3+BAD+4+CDE+5+DEF+6+EFA=6180又1+2+3+4+5+6=4180BAF+ABC+BAD+CDE+DEF+EFA=6180-4180=360这就是说，六边形形的外角和为 360。如果把六边形换成 n 边形可以得到同样的结果：n 边形的外角和等于 360。对此，我们也可以这样来理解。投影 8如图，从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到 A 点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360第十一章复习二（11.2.211.3）一、双基回顾1、三角形的外角：
11、三角形 与另 组成的角叫做三角形的外角.如图 1， 是ABC 的一个外角.x1450图 1 图 22、三角形外角的性质(1)三角形的一个外角等于 两个内角和.注意：三角形的外角和等于 3600.1如图 2， 45 0，则 x= .(2)三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角.2如图，ABC 中， 1 与 A 有什么关系？为什么？AB C1 23、多边形和正多边形在平页内，由 相接组成的图形叫做多边形。第 6 页 共 11 页注意：多边形分为凸多边形和凹多边形，我们现在只研究凸多边形.各 相等，各 相等的多边形叫做正多边形。4、对角线连接多边形 线段叫做对角线。3从九边形的一个顶点作对角线，
12、能作 条，可把九边形分成 个三角形。5、多边形的内角和、外角和n 边形的内角和是 ；n 边形的外角和是 .4一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 边形。6、平页镶嵌能单独镶嵌的图形有 。5正五边形不能单独镶嵌的原因是什么？用多种正多边形镶嵌必须满足条件：几种多边形在 的内角的和为 .6某公园便道用三种不同的正多边形地砖镶嵌，已选好了正十二边形和正方形两种，还需选用 .二、例题导引例 1（1）已知正多边形的一个内角是 150，求这个多边形对角线的条数？（2）n 边形的边数每增加 1 条，其内角和增加多少度？ 例 2 如图，一个任意五角星的五个角的和是多少？A ABCB CDO7 8 9
13、例 3 一个零件形状如图所示，按规定 BAC=90 0, B=21 0, C=20 0,检验工人量得BDC=130 0，就断定此零件不合格，请运用所学知识说明理由。（运用三种方法）A BCD夯实基础1、若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定2、如图,CAB 的外角为 120,B 为 40,则C 的度数是_ .第 7 页 共 11 页3、如图 1，ABCD，A= 38C= 80，则M 为（ ）A、52 B、42 C、10 D、4012040CB A1 2 3AA ABC C BB C DDDEE EMH122 题 3
14、 题4、如图，在ABC 中，E 是 AC 延长线上的一点，D 是 BC 上的一点，1 与A 的大小关系是 .5、若从一个多边形的一个顶点最多可以引 10 条对角线,则它是( )A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形6、下列可能是 n 边形内角和的是 （ ）A、300 B、550 C、720 D、9607、一个多边形的每一个外角都等于 24,则这个多边形是 边形.8、一个多边形的内角和与外角和的比是 72，则这个多边形是 边形.9、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( )A、三角形 B、矩形 C、正八边形 D、正六边形10、如图,在
15、ABC 中,AD 是BAC 的平分线，2=35 0,4=65, 求ADB 的度数.能力提高11、用边长相等的正多边形进行密铺，下列正多边形能和正八边形密铺的是 A、正三角形 B、正六边形 C、正五边形 D、正四边形12、如果一个三角形的各内角与一个外角的和是 225,则与这个外角相邻的内角是_度.13、如图,若A=32,B=45,C=38,则DFE 等于( )A.120 B.115 C.110 D.105FEDCBADCBA13 题 15 题14、一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个15、.如图所示,A=50,B=40,C=30,则BDC=_
16、.16、一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的 3 倍还多 20，求这个多边形对角线ACB DE14321D CBA第 8 页 共 11 页的条数。17、如图所示,ABC 两外角的平分线 BP、CP 交于点 P,已知A=50 0，求P 的度数.(3)PCBA探究创新18、如图，求1+2+3 +4+5+6+7 的度数。19.如图，在ABC 中，ABC=345，BD、CE 分别是边 AC、AB 上的高，BD、CE 相交于点 H，求BHC 的度数。ABCDEH20.如图，把ABC 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，探索A 与12 有什么数量关系？并说明理由。12ABCDE21.
17、如图所示,在ABC 中,ABC 的内角平分线与外角平分线交于点 P,试说明P1/2A.(2)PCBA单元检测题123456 7第 9 页 共 11 页一、选择题1、下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是（ ）2下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的图是（ ）（A）图（1） （B）图（2） （C）图（3） （D ）图（4）3下列图形能说明12 的是（ ）1 2 12 1 2 1 2A B C D4如右图，工人师傅砌门时，常用木条 EF固定矩形门框 AB，使其 不变形，这种做法的根据是（ ）两点之间直线段最短 矩形的稳定性矩形四 个角都是直角 三 角形的稳定性5.下列长度的各组线 段中，能
18、组成三角形的是（ ）A. 1，1，2 B. 3，7，11 C. 6，8，9 D. 3，3，66下列判断中正确的是（ ）A四边形的外角和大于内角和B若多边形边数从 3 增加到 n（n 为大于 3 的自然数），它们外角和的度数不变C 一个多边形的内角中，锐角的个数可以任意多D一个多边形的内角和为 18807.如右图，在 AC 中， D是 B上的一点， E是 AC上一点，E，相交于 F， 70 ， 20AC ， 28B ， 则 FE 的度数为（ ）BE A C（1）BA E CBAEC（3）（2）BE A C（4）（第 2 题图）第 10 页 共 11 页 62 68 78 908.如右图， 1 ，
19、 ， 3 ， 4 恒满足的关系式是（ ） 1243 4 二、填空题9.已知等腰三角形的两边长分别是 4cm 和 5cm，则它的周长是_ _，若它的两边长分别是 4cm 和 9cm，则它的周长是_。10、如右图所示，图中有_个三角形；其中以 AB 为边的三角形有_ _；含ACB 的三角形有_；在BOC 中，OC 的对角是_，OCB 的对边是_ _。11如图 6， 123456 等于（ ）12.已 知A = B =3C，则A= 13如右图，正方形 ABCD 中，截去B、D 后，1、2、3、4 的和 为 14.一个多边形的每个外角都为 30，则这个多边形的边数为 ；一个多边形的每个内角都为 135，则这个多边形的边数为 三、解答题15. 如图直线 AD 和 BC 相交于 O，ABCD，AOC=95 ，B=50，求A 和D。16.如右图，已知在 ABC 中， 的平分线与 ACE 的平分线交于 D点，若 80A ，求 D 的度数B AC D21 34A BC DO第 11 页 共 11 页17.如右图，已知在 ABC 中， O是高 AD和 BE的交点，观察图形，试猜想 C 和DOE之间具有怎样的数量关系，并论 证你的猜想
