1、 第 1 页 共 9 页 第七节 生活中的圆周运动课堂探究探究一 火车转弯问题分析问题导引火车在铁轨上转弯可以看成是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。如何解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题呢？提示：火车速度提高，容易挤压外轨，损坏外轨。火车转弯时的向心力由重力和支持力的合力提供，可适当增大转弯半径或者增加内、外轨的高度差。名师精讲1弯道的特点在实际的火车转弯处，外轨高于内轨。若火车转弯所需向心力完全由重力和支持力的合力提供，即 mgtan m ，如图所示，则 v0 ，其中 R 为弯道半径， 为v20R gRtan 轨道平面与水平面的夹角(tan )， v0为转弯处的规定速度。hL2明
2、确圆周平面虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨也是等高的。因而火车在行驶过程中，重心的高度不变，即火车重心的轨迹在同一平面内。故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面。即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。3速度与轨道压力的关系(1)当火车行驶速度 v 时，所需向心力仅有重力和弹力的合力提供，此时gRtan 第 2 页 共 9 页 内外轨道对火车均无挤压作用。(2)当火车行驶速度 v 与规定速度 v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：当火车行驶速度 v 时，外轨对轮缘有侧压力；gRtan 当火车行驶速度 v 时，
3、内轨对轮缘有侧压力。gRtan 特别提醒 汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力，以减小车轮受到地面施加的侧向挤压。【例 1】 有一列重为 100 t 的火车，以 72 km/h 的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为 400 m。( g 取 10 m/s2)(1)试计算铁轨受到的侧压力；(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度 的正切值。点拨：第(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力；第(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向
4、心力。解析：(1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有 FN m v2rN110 5 N。105202400由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于 105 N。(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan mv2r由此可得 tan 0.1。v2rg答案：(1)110 5 N (2)0.1题后反思 (1)处理这类题目需要弄清两个方面的问题：一是向心力来源，二是火车转弯时轨道平面和圆心。(2)汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力。探究二 汽车过桥问题分析问题导引如图所示，在某
5、次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，战第 3 页 共 9 页 车在哪一点对路面的压力最大？在哪一点对路面的压力最小呢？提示：在最低点 B 点时对路面的压力最大；在最高点 C 点时对路面的压力最小。名师精讲1关于汽车过拱形桥问题，用图表概括如下：汽车过凸形桥 汽车过凹形桥受力分析向心力的来源 F mg FN mv2RF FN mg mv2R对桥的压力 FN mg mv2rFN mg mv2r讨论(1)当 v 时， FN0。gr(2)当 0 v 时，0 FN mggr(3)当 v 时，汽车脱离桥面，发生危gr险v 增大， FN增大，由牛顿第三定律知，车对桥面的压力也增大2.汽
6、车在凸形桥的最高点处于失重状态，在凹形桥的最低点处于超重状态。【例 2】 如图所示，质量 m2.010 4 kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为 20 m。如果桥面承受的压力不得超过 3.0105 N，则：第 4 页 共 9 页 (1)汽车允许的最大速率是多少？(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？( g 取 10 m/s2)点拨：首先要确定汽车在何位置时对路面的压力最大，汽车经过凹形路面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形路面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态，所以汽车经过凹形路面最低点时，汽车对路面的压力最大。解析：(1)汽
7、车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得：FN mg mv2r代入数据解得 v10 m/s。(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得：mg FN mv2r代入数据得 FN1.010 5 N。由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力是 1.0105 N。答案：(1)10 m/s (2)1.010 5 N题后反思 在汽车经过拱形桥或类似的物体经过竖直曲线做圆周运动的问题中，一般在轨道的最低点和最高点分析受力列方程，无论该类题目的具体内容如何，通过分析受力，找出提供的向心力列方程求解是最基本的方法。探究三 竖直平面内的圆周运动问题导引小球分别在轻绳(如图甲)和轻杆(如图乙)的一端绕另一端在竖直平面内运动，请
8、思考：(1)小球要在竖直平面内完成圆周运动，经过最高点时的最小速度能为零吗？(2)小球经过最高点时，与绳(或杆)之间的作用力可以为零吗？提示：因为绳不能产生支持力，而杆可以，所以甲图中小球经过最高点时的速度不可能为零，乙图中小球经过最高点的最小速度可以为零；若小球与绳(或杆)之间没有作用力，则只有重力提供向心力，所以在最高点时小球与绳(或杆)之间的作用力可以为零。名师精讲物体在竖直平面内做圆周运动时，通常受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，我们只研究在最高点和最低点两种情形，具体情况又可分为以下两种：第 5 页 共 9 页 模型 临界条件 最高点受力分析小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运
9、动，如图所示。 v 时，绳或轨道对小球gR产生向下的拉力或压力； v 时，绳或轨道对小球gR刚好不产生作用力；细绳牵拉型的圆周运动小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图所示。小球恰好过最高点时，应满足弹力FT0，即mg m ，则v2R小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度 v。gR v 时，小球不能在竖直gR平面内做圆周运动，小球没有到达最高点就脱离了轨道 v 时，杆或管的外侧产gR生向下的拉力或压力；质点在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图所示。 v 时，球在最高点只受gR重力，不受杆或管的作用力；轻杆支撑型的圆周运动质点被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，如图所示。由于杆和管能对小球
10、产生向上的支持力，故小球能在竖直平面内做圆周运动的临界条件是最高点速度恰好为零 v 时，杆或管的内侧产gR生向上的支持力。特别提醒 解答竖直平面内圆周运动问题时，首先要分清楚是绳模型还是杆模型，绳模型的临界条件是 mg m ，即 v ，杆模型的临界条件是 v0， v 对杆来说是 Fv2R gR gR表现为支持力还是拉力的临界点。【例 3】 长 L0.5 m 质量可忽略的细杆，其一端可绕 O 点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体 A。 A 的质量为 m2 kg，当 A 通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力：第 6 页 共 9 页 (1)A 在最高点的速度为 1 m/s；
11、(2)A 在最高点的速度为 4 m/s。点拨：解析：设物体 A 在最高点的速度为 v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由重力提供，根据牛顿第二定律有mg mv20R解得 v0 m/sgR 5(1)当 A 在最高点的速度为 v11 m/s 时，因小于 v0 m/s，此时物体 A 受到杆向上5的支持力作用，根据牛顿第二定律有Mg F1 mv2L解得 F116 N根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为 16 N，方向向下。(2)当 A 在最高点的速度为 v24 m/s 时，因大于 v0 m/s，此时物体 A 受到杆向下5的拉力作用，根据牛顿第二定律有mg F2 mv2L解得 F244
12、 N根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为 44 N，方向向上。答案：(1)16 N 向下 (2)44 N 向上题后反思 竖直面内的圆周运动多为非匀速圆周运动，关键是要分析清楚在最高点或最低点时物体的受力情况，由哪些力来提供向心力，再对此瞬时状态应用牛顿第二定律的瞬时性，有时还要应用牛顿第三定律求受力。很多时候在最高点往往还会出现临界条件，如弹力刚好为零，要注意充分挖掘这些隐含的或临界的条件。触类旁通 若把本题中细杆换成细绳，则在(1)(2)两种情况下小球能通过最高点吗？若能，此时细绳对小球的拉力为多少？提示：(1) v1 m/s 时不能 (2) v4 m/s 时能 44 N探究四 对离心运
13、动的理解第 7 页 共 9 页 问题导引同学们小的时候都吃过松软可口的“棉花”糖，制作“棉花”糖的器具主要由分布有小孔的内筒和外筒组成，内筒与洗衣机的脱水筒相似，可以在脚的踏动下旋转。在内筒里面加入白砂糖，加热使糖熔化成糖汁。如图所示，一个师傅正在给两位小朋友制作“棉花”糖。试分析制作“棉花”糖的原理。提示：内筒高速旋转时，黏稠的糖汁就做离心运动，从内筒壁的小孔飞散出去成为丝状，到达温度较低的外筒时，迅速冷却凝固，变得纤细雪白，像一团团棉花。名师精讲1离心运动的实质：物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用的缘故。一旦作为向心力的合
14、外力突然消失或不足以提供向心力，物体就会发生离心运动。2离心运动的受力特点：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”也是由效果命名的，实际并不存在。3合外力与向心力的关系(1)如图所示，若 F 合 mr 2或 F 合 ，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足mv2r“需要” 。 (2)若 F 合 mr 2或 F 合 ，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要” 。mv2r(3)若 F 合 mr 2或 F 合 ，则外力不足以将物体拉回到原圆周轨道上，物体逐渐mv2r远离圆心而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足” 。第 8 页 共 9
15、页 (4)若 F 合 0，则物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。特别提醒 (1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供其做圆周运动所需向心力而引起的，是惯性的一种表现形式。(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。(3)圆周运动所需要的向心力越大，即物体的质量越大，速度越大，角速度(转速)越大，半径越小时，物体就越容易发生离心现象。4常见几种离心运动的对比项目 实物图 原理图 现象及结论洗衣机脱水桶当水滴跟物体附着力 F 不足以提供向心力时，即F m 2r，水滴做离心运动汽车在水平路面上转弯当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即 Fmax m，汽车做离心运动v2r用离心机把体温
16、计水银甩回玻璃泡中当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力时，水银柱做离心运动进入玻璃泡内【例 4】 如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法中正确的是( )A物块处于平衡状态B物块受三个力作用C在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘D在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘解析：对物块受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，选项 A 错误、B 正确。根据向心力公式F m 2r 可知，当 一定时，半径越大，所需的向心力越大，越容易脱离圆盘；根据向心力公式 F m( )2r 可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，越2T容易脱离圆盘，选项 CD 错误。第 9 页 共 9 页 答案：B题后反思 当物体随圆盘转动时所需向心力超过物体与圆盘间的最大静摩擦力时，物体就会相对于圆盘发生相对运动。
