1、第 六 章 证 明 （ 二 ）一全等三角形1.全等三角形的几个公理：（1）两个三角形的两条对应边及它们的夹角对应相等的三角形全等（SAS）（2）两个三角形的两个对应角及它们的夹边对应相等的三角形全等（ASA）（3）两个三角形的三条边分别对应相等的两个三角形全等（SSS）（4）推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）（5）性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。跟踪训练 1（1） 已知，如图，在ABC 和ABC 中，AB=AB,B=B, C=C.求证：ABCABC 。（2）已知，如图，线段 AB 和 CD 相交于点 O，线段 OA=OD，OC=OB。求证：OACODB。（3
2、）已知：如图，M 是线段 AB 的中点，C=D，1=2。求证：AMCBMD。（4）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，AB=AD。求证：AC 平分BCD。（5）已知：如图，CAB=DBA，AC=BD。求证：C=D，CB=DA。2.（1）两个全等三角形对应边上的高对应相等；两个全等三角形对应角平分线对应相等；两个全等三角形对应边上的中线对应相等。（2）利用全等三角形证明线段相等或角相等，常须添加辅助线构造三角形，构造时有下面两种情况：待证的线段或角，在图形上不在两个全等的三角形之中，需添辅助线构造三角形，使它们分别包括一个所要证的线段或角；有些条件具备的全等三角形，图形中没有直
3、接显示出，需要添加辅助线才能发现。跟踪训练 2（1）已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD 和 CE 相交于点 F。求证：（1）B=C；（2）BEFCDF；（3）BF=CF。（2）如图，ABCDEF，A=50 0，E=20 0，则B=_，DFE=_。（3）如图，已知 AC、BD 交于点 O，AB=DC，AC=BD。求证：OA=OD 。二等腰三角形1.等腰三角形（含等边三角形）的性质（1）定理：等腰三角形的两个底角相等。简述：等边对等角；（2）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，也叫等腰三角形三线合一定理；（3）推论：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60
4、0。这实际上是等边三角形的性质。2.等腰三角形（含等边三角形）的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简述：等角对等边。跟踪训练 3（1）等腰三角形的一个角等于 300，则它的顶角的度数是_。（2）等腰三角形一腰上的中线把周长分成 15 和 12 两部分，则它的底边长是_。（3）如果等腰三角形的一个内角是 700，那么它的其他两个内角的度数是_。CBACBADCBA M21BCDAC BDOABADC2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 1 页 2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 2 页小杰数学材料 第六章 证明（二） 小杰数学材料 第六章 证明（二）CBE F
5、 DADEFCBA CD OBA学校： 海阳市新英杰学校 班级_姓名_（4）如果等腰三角形的一个内角是 1000，那么它的其他两个内角的度数是_。（5）已知：如图，ABC 中，AD 平分BAC，且 BD=CD。求证：AB=AC。3.有一个角是 300 的直角三角形，它所对的直角边等于斜边的一半。4.等边三角形的有关定理（1）有一个角等于 600 的等腰三角形是等边三角形（即等边三角形的判定）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。跟踪训练 4（1）在ABC 中，AB=AC，A=B，则ABC 是_。（2）已知：如图，ABC 是等边三角形，ADBC，CDAD，则ACD=_；若 AD=2 ，则ABC
6、 的周cm长=_。（3）如图，在 RtABC 中，C=90 0，AD 平分BAC，并且 AD=BD。求证；AC= AB。125.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推出矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。6.一般地形为“任何，都有”的命题的否定形式为“存在，不具有” ；形为“存在，具有”的命题的否定形式为“任意一个，都不具有” ；形为“，都”的命题的否定形式为“任意一个，不都” ；形为“，最多有一个”的命题的否定的形式为“，至少有两个” ；形为“，至少有一个”的命题的否定的形式为“，不存在”等等。跟踪训练 5（1）反证法有哪几个步骤_。（2）反证法反设应注意哪些问题
7、_。（3）在一个三角形中，不能有两个角是钝角的反设是_。（4）求证：三角形中至少有一个角不大于 600。三直角三角形1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。2.直角三角形的判定定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。3.互逆命题与互逆定理（1）互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。（2）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的定理。4.直角三角形全等的判定定理：
8、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。即HL 定理。跟踪训练 6（1）说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假A.内错角相等，两直线平行。 B.等腰三角形的两个底角相等。C.全等三角形的对应角相等。 D.两边上高相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为_。（3）如图，ABC 中，AB=AC ，BDAC 于 D 点，CEAB 于 E 点，O 是 BD、CE 的交点。求证：BO=CO。（4）如图，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是 CD上一点，且 CN= CD。求证：AMN 为直角三角形。14四线段的垂直平分线1.线段的垂直平
9、分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3.三角形的三条边的垂直平分线的性质定理：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。线段的垂直平分线实质上是线段的一条对称轴。在证题或作图时，要充分运用这个对称性。跟踪训练 7（1）如图，点 D 在ABC 的边 BC 上，且 BC=BD+AD，则点 DCB DACBDAD CABCB ODEADNCMBACDBA2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 3 页 2013-2014 寒假八年级数学下册预习
10、资料第 4 页小杰数学材料 第六章 证明（二） 小杰数学材料 第六章 证明（二）在_的垂直平分线上。（2）在ABC 中，AB=AC， AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E，若ABC 与BEC 的周长分别为 13 ，9 ，则ABC 的边长分别为_。cm（3）如图，ABC 为等边三角形，BD 是中线，延长 BC 到点 E，使 CE=CD。求证：点 D 在线段 BE 的垂直平分线上。五角平分线1.定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2.定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。3.定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。跟踪训练
11、8（1）角平分线上的点到_的距离相等。（2）如图，P 在AOB 的平分线上，在利用角平分线性质定理推证 PD=PE 时，必须满足的条件是_.（3）ABC 中，B=90 0，AD 平分BAC 交 BC 于 D 点，BC=10 ，CD=6 ，则 D 点到 AC 的距离为_。cm（4）如图，ABC 是等腰直角三角形，A=90 0，BD 是ABC 的平分线，DEBC 于E，BC=10 ，求DEC 的周长。（5）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6 ，BC=8 。现将直角边 AC 沿cm直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长。自 我 检 测一选择题1.下列命
12、题为真命题的是（ ）A.有一个锐角和一条直角边相等的两个直角三角形全等。B.腰长相等，有一个角是 800的两个等腰三角形全等。C.两边中垂线的交点在第三边上的三角形是直角三角形。D.三角形一边上的中线等于这边的一半。2.如图，在ABC 中，AB=AC，BAD=30 0，AD=AE，那么EDC 为( )A.7.50 B.100 C.12.50 D.150 3.若ABC 的三内角大小之比为 1:2:3,那么三内角所对边的比为( )A.1:2:3 B.1: :2 C. D. 31:231:24.已知点 P 是ABC 的边 BC 的中点，PDAC，PEAB，垂足分别为 D，E，若 PD=PE，且PDP
13、E，则ABC 是（ ）A.任意直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形5.以 RtABC 的斜边 AB 为斜边，另作一个 RtABD，如果 BC=1,AC= ,AD=2,那么 BD 等b于（ ）A. B. C. D. 23b21b23b256.如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，BD=1 ， A=300，则ABC 的面积为（ cm）A. B. C. D. 25cm245c227.到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条边的中线的交点C.三条角平分线的交点 D.三条高线的交点8.如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，B=
14、90 0，AD=12，CD=13，则四边形的面积为（ ）A.72 B.36 C.39 D.78二填空题9.RtABC 中，ACB=90 0，B=30 0，CDAB，垂足为 D，DEAC，垂足为 E，若 AE=2，则 BD=_.10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 300，这个等腰三角形的顶角等于_。11. ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，点 E 在 BC 上，且 BD=BE，DE=CE，则A 的度数为_。12. ABC 中，AB=AC ， BD、CE 是两底的平分线，若 ADE 的周长为 13 ，AB=8cm，则 DE 的长为_ .cmcm13.如图，AE
15、是BAC 的平分线， AE 的中垂线 PF 交 BC 的延长线于点 F，若 AE=AF，CAF=50 0，则B=_。14.直角三角形的三边是 ，其周长为 24 ，,abc则面积为_.15.等腰三角形的周长为 40 ，两边之差为 2 ，则腰长与底边长分别为cm_。三解答证明题16.已知：如图，ABC 的外角CBD 和BCE 的平分线相交于点 F。求证：点 F 必在DAE 的平分线上。ECB DAO EBPAB ECDABEDCA图2图30CEDBA图6图 BDAC图8图 DACB图13图 FCEBPA图16图 ECFDBA2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 5 页 2013-201
16、4 寒假八年级数学下册预习资料第 6 页小杰数学材料 第六章 证明（二） 小杰数学材料 第六章 证明（二）17.已知：如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB，DFAC，垂足分别是 E，F，EF 交AD 于点 G。求证：AD 垂直平分 EF。第 七 章 一 元 二 次 方 程一一元二次方程1.一元二次方程定义：如果方程是只含有一个未知数 的整式方程，并且可以化成x的形式，那么这样的的方程叫做一元二次方程。20,0axbcaa为 常 数2.一元二次方程的一般形式：我们把 称为一元二次20,0xbcaa为 常 数方程的一般形式，其中 分别称为二次项、一次项和常数项， 分别称为二次2,xbc ,
17、b项系数和一次项系数。注：一元二次方程的二次项系数 0a跟踪训练 1（1）下列方程中，哪些是一元二次方程？说说你的理由。 26x251x23xy2130x221x（2）将下列关于 的一元二次方程化为一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。 34xx222,axbxaba（注：一元二次方程中各项的系数均是相对于一元二次方程的一般形式而言的，要明确方程的各项系数应先将方程化为一般形式。在指出方程中的各 项系数时一定要带上它前面的符号。 ）（3）一元二次方程 化成一般形式为_，213xx其中二次项系数是_，一次系数是_，常数项为_。（4）若方程 的一个根是 2，则 =_。27nn（5）已
18、知一个直角三角形三边长为三个连续偶数，求此三角形的三边长分别是多少？（列方程，并化为一般形式）（6）关于 的方程 ，当 =_时，它是一x2462340mxxm元二次方程；当 =_时，它是一元一次方程。（7）方程 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是21350aa_。（8）试求方程 的解。2x（9）已知： 是一元二次方程 的两个根。,mn2310x求 的值。246107二用配方法解一元二次方程1.我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根（解） ，这种解一元二次方程的方法称为配方法。2.完全平方： 222aba3.会利用配方法把二次项系数不为 1 或一次项系数不为偶数的较复杂的一元二
19、次方程，通过两边同除以二次项系数和两边加上一次项系数一半的平方把方程转化成的形式，进一步体会转化思想在配方法中的应用。2xmn跟踪训练 2（1） 22_6x224_xx8_x25224x 283xx（2）解下列方程 70x2430261250y 2495x8x314x 3y26（3）用配方法解方程： 280xa图17图 CBGD FEA2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 7 页 2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 8 页小杰数学材料 第六章 证明（二） 小杰数学材料 第六章 证明（二）（4）实数 满足 ，求 的值。,xy2210xyxy小结用配方法解一元二次方程的一
20、般步骤（1）把一元二次方程化为一般形式；（2）两边同除以二次项系数，使二次项系数为1；（3）把常数项移到方程右边；（4）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方，配成 的形式（5）当 时，两边开平方，求出方程的解；当 时，原方2xmn0n0n程无解。三用公式法解一元二次方程利用公式法可以更为便捷地解一元二次方程，学好这一节的关键是掌握求根公式的推导过程，而掌握推导过程的关键是配方法。学习本节以配方为基础，开平方为手段形成公式，并弄清推导过程中每一步的依据，然后代入求根公式求解。1.用配方法解方程： 20,0axbcaa为 常 数因为二次项系数 ，所以方程两边同除以 ，得02bcxa移项，得 2x
21、a配方，得 即222bcba224bacx因为 ，所以 ，当时， 是一个非负数。0a240a24开平方，得 即2bcx2bacx所以，一般地，对于一元二次方程 ，当20,0a为 常 数时，它的根是： 。即240bac4bcx21x22a上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，称为公式法。跟踪训练 3（1）方程 中， =_, =_, =_。方程的根为251xabc_。（2）用公式法解方程 ，其中285x24_,a1_,x_.x（3）若代数式 的值与 的值相等，则276x1xx（4）选择适当的方法解方程 2350y（5）一个两位数，个位上的数字比十位数字的平方还多 1，若把个位上的数字与十位上的数
22、字对调，所得的两位数比原数大 27，求原两位数。2.用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般式；（2）写出 的数值；（3）求出 的数值，并判别,abc24bac其是不是负数；（4）若 ，用求根公式求出方程的根，若 ，直接240b 0写出原方程无解，不要再代入求根公式。跟踪训练 4（1）一元二次方程 有_个实数根。230x（2）方程 的解为_。2（3）若 是一元二次方程，则 =_，方程的根的情况是215ax a_（4）方程 的根是_20（5）要使 的同类项， 应取何值？2816nna与（6）已知实数 满足 ，求 的值。,b20abab2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 9
23、 页 2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 10 页小杰数学材料 第六章 证明（二） 小杰数学材料 第六章 证明（二）3.对于一元二次方程 ，有20axbca（1） 方程有两个不相等的实根；（2） 方程有24bc240bac两个相等的实根；（3） 方程没有实根。40bac跟踪训练 5（1）一元二次方程 有_个实根。23x（2）若一元二次方程 有一个根是 1，则另一个根为_22130mxm（3）若方程 没有实根，则 的取值范围是 _20xkk（4）关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的范围_k（5）关于 的方程 ，不论 取何值时都是一元二次方程x2210mxm吗？为什么？（6
24、）在方程 的两根中，有一个根是 0，而另一个根不为 0，你能找出满20n足题意的 吗？,4.一元二次方程 的两根为 ，那么有 ，2axbca12,x1212,bcxxa反过来也成立，特别地 时， ，反过来也成立。0pxqpq跟踪训练 6（1）已知方程 的两根为 ，则2761x12,x1212_,_xx（2）如果 的一个根为 ，则它的另一个根为_0m（3）已知方程 的两根为 ，则235x12,x21x（4）设关于 的方程 的两实数根是 ，若 ，0kk12,12x则 的值为_。k（5）已知关于 的方程 ，根据下列条件分别求出 的值。x22430mxm两根互为相反数；两根互为倒数；有一根为 1。四用
25、分解因式法解一元二次方程1.分解因式是解某些一元二次方程较为简便的方法，学习时要注意和多项式的因式分解联系起来，将方程的一边化为零，另一边用提取公因式、完全平方公式或平方差公式分解成两个一次因式相乘的形式，从而把一元二次方程化为两个一元一次方程来解。2.把分解因式法解一元二次方程的步骤：（1）使方程的一边（通常是右边）为 0；（2）把方程的左边分解因式；（3）把方程左边的两个因式都等于零，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，得到原方程的根。跟踪训练 7（1）若代数式 的值为 0，则 =_21xx（2）一个两位数的十位数字是方程 的解，则其十位数字是_28（3）若 是方程 的两根，则
26、,ab25x_ab（4）如果 ，则代数式230323_x（5）用分解因式法解下列方程 2x20x24x2310y 25031五一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）分析题意，找出等量关系；（2）设出合适的未知数，列出一元二次方程；（3）解一元二次方程；（4）根据题意，确定未知数的值；（5）答题。跟踪训练 8（1）两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的两倍大 51。则这两个数为_.（2）一个两位数，个位数字比十位数字大 2，而且这个数乘以它的数字之和等于 144，求这个两位数。（3）一个直角三角形的斜边长为 ，一直角边是另一直角边的 2 倍，求这两条直角边1520
27、13-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 11 页 2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 12 页小杰数学材料 第六章 证明（二） 小杰数学材料 第六章 证明（二）的长。（4）将长为 22 的铁丝围成面积为 30 的矩形，求矩形的长和宽。若矩形的面积为cm2cm31 ，你认为办得到吗？为什么？2c2.列方程解应用题的三个重要环节（1）整体地、系统地审清问题；（2）把握题中的等量关系；（3）正确求解方程并检验解的合理性。跟踪训练 9（1）某商厦二月份的销售额为 100 万元，三月份销售额下降了 20%，商厦从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到 135.2 万元
28、，求四、五两月的平均增长率。（2）某种服装，平均每天可销售 20 件，每件盈利 44 元。若每件降价 1 元，则每天可多销售 5 件。如果每天要盈利 1600 元，每件应降价多少元？（3）某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结盟 1000 个桃子，现准备多种植一些桃树以提高产量。试验发现，每多种植一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个桃子。如果要使产量增加 15.2%，那么应多种植多少棵桃树？（假设桃子大小不变）（4）小明存入银行人民币 200 元，年利率为 ，两年到期，本利为 元，则xy=_；若利率为 7%，两年到期的本利为_元。y（5）某商场去年的营业额为 万元，今年预计比去年增长 2
29、0%，则今年的营业额为m_；若明年要想再增长 20%，则明年的营业额为_。3.学习一元二次方程解应用题关键是要学会分析题中的数量关系，可运用列表法、画图法等分析题意。另外，还要注意实际问题的解，不仅要满足所列方程，还应符合实际问题的具体题意，因此，求出方程的解后，一定要进行检验，以确定问题的答案，而且这个过程必须体现在解题过程之中。跟踪训练 10（1）春秋旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下收费标准：人数如果不超过 25 人，人均旅游费用为 1000 元；如果人数超过 25 人，每增加 1 人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费不得低于 700 元。某单位组织员工去旅游，共支付给
30、旅行社旅游费用 27000 元，请问该单位这次共有多少员工去风景区旅游？（2）商店把进货价为 8 元的商品按每件 10 元售出，每天可销售 200 件。现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价 0.5 元，其销售量就减少 10 件，问应将售价定为多少时，才能使每天所得利润最大，并求最大利润。4.列方程解应用题的基本类型（1）行程问题；（2）工程问题；（3）浓度问题；（4）利润或利润率问题；（5）数字问题；（6）几何问题；（7）增长率（或下降率）问题；（8）其他问题。5.应注意的问题（1）在审清题意的过程中，必须掌握每种类型应用题所隐含的关系式，如工程问题中有“总工作量=工作
31、时间工作效率”等。在较复杂的问题中，必须借助列表、画图等不同的方法来分析解题思路。（2）寻求等量关系是整个过程中最关键的一环。因此应反复阅读文字，抓关键词句。（3）必须对方程的解加以检验，看它是否有实际意义，并舍去没有实际意义的方程的解。自 我 检 测一填空题1.当 满足_ 条件时，关于 的方程 是一元二次方程。kx230kx2.方程 的解是_2231x3.方程 的根是_04.已知 是方程 的一个根，则 =_2x250xkk5.把方程 化成 的形式为_412m6.若 是关于 的二次方程，则 的范围是_223mxxm7.若代数式 和 的值相等，则 的值是_958.若一个一元二次方程的常数项为 0
32、，则此方程必有一根为_9.制造某种产品，经过两年使成本降低 36%，则平均每年降低_10.有一矩形铁片，长 30 ，宽 20 ，中间挖去 144 的矩形，剩下的铁框四周一样cm2cm宽，若设宽度为 ，那么挖去的矩形的长为 _ ，宽为_ 依题意可x cm列方程为_2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 13 页 2013-2014 寒假八年级数学下册预习资料第 14 页小杰数学材料 第六章 证明（二） 小杰数学材料 第六章 证明（二）二解答题11.解方程（1） （2）3164xx214xx（3） 25012.国家为了加强对香烟产量的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策，现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为 70 元，不加收附加税时，每年产销 100 万条，若国家征收附加税，每销售 100 元征税 元（叫做税率 %） ，则每年的产销量将减少 10 万条。xxx要使每年对此项经营所收取附加税金为 168 万元，并使香烟的产销量得到宏观控制，年产销量不超过 5000 万元，问税率应确定为多少？
