1、- 1 -352山东省曲阜夫子学校 2019届高三数学 12月月考试题 理（考试时间：120分钟 总分：150分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第 I 卷 （ 选 择 题 ， 共 60 分 ）一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求）1.若集合 A x | 1 2 x 1, B 0,1,2,3 ，则 A B （ ）A.0,1B.2,3C.1,2D.1,2,3 12. 若平面向量 a, b 满足 a (a b ) 3 ，且 a ( ,) ，2 2 | b | 2，则 | a b | （ ）A5 B3
2、C18 D253.某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面积（单位：cm）是( )4.A.6 B.10 25 53- 2 -C.10 2D.16 25. 下列说法正确的是（ ）A. 命 题 “若 cos x cos y ， 则 x y ”的逆否命题为真命题B. 命 题 “若 xy 0 ， 则 x 0 ”的 否 命 题 为 “若 xy 0 ， 则 x 0 ”C命题“ x R ，使得 2x2 1 0 ”的否定是“ x R ，都有 2x2 1 0 ”D若 a R ，则“ a 2 ”是“| a | 2 ”的充分不必要条件6. 周 髀 算 经 是 我 国 古 代 的 天 文 学 和 数 学
3、 著 作 。其 中 一 个 问 题 的 大意 为 ： 一 年 有 二 十 四 个 节 气 （ 如 图 ） ， 每 个 节 气 晷 长 损 益 相 同（ 即物 体 在 太 阳 的 照 射 下 影 子 长 度 的 增 加 量 和 减 少 量 相 同 ） 若 冬 至 晷长 一 丈 三 尺 五 寸 ， 夏 至 晷 长 一 尺 五 寸 （ 注 ： 丈 等 于十 尺 ， 一 尺 等于 十 寸 ） ， 则 立 冬 节 气 的 晷 长 为 （ ）A.九尺五寸 B.一丈五寸 C.一丈一尺五寸 D.一丈六尺五寸 x 1 07. 若 x, y 满 足 约 束 条 件 x y 0 x y 4 0y，则 的最大值为（
4、）xA 1- 3 -B1 C2 D37.已 知 a, b R ， 且 2a 3b 6 0 ， 则 4a 118b 的最小值为（ ）1A128 B32C16 D4A. x1 x3 x2B. x1 x2 x3- 4 -3 4 21C. x2 x1 x3D. x3 x1 x2E.9.已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 满 足 f (1 x) f (1 x) 若 f 1 1 ，则f (1) f (2) f (3) f (2019) （ ）A. 1B.0 C.1 D.201910.在 三 棱 柱 ABC A B C 中 ， A AB A AC 60 ， BAC=90，1 1
5、1 1 1AB AC 1 AA ，则 AC 与 A B 所成角的余弦值为（ ）2 1 1 11A. B. C. D.2 3 21 143 14- 5 -)35 5 A. B C6 12 3 612. 在 正 整 数 数 列 中 ， 由 1 开 始 依 次 按 如 下 规 则 ， 将 某 些 整 数 染 成 红 色 。 先 染 1； 再 染 3 个偶数 2，4，6；再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7，9，11，13，15；再染 15 后面最邻近的7 个连续偶数 16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的 9 个连续奇数 29，31，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数
6、列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16， 则在这个红色子数列中，由 1 开始的第 2019 个数是（ ）A3972 B3974 C3991 D3993第 II 卷 （ 非 选 择 题 ， 共 90 分 ）二、填空题：(本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡相应位置)13. 1 (ex 2x)dx .014.已知 tan 2 ，则 sin(2 的值为 .415.已知点 A, B,C, D 在同一个球的球面上， AB 3 ， AC 6 ， BAC 300 .若四面体- 6 -ABCD 体积的最大值为 27 ，则这个球的表面积为 .216.若 x 0, ,不等式
7、 恒成立,则正实数 的取值范围是 .三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分 12 分)在 ABC 中，设内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c （）若3a sin C c cos A c ，求 A ；（）如 图 ， 点 D 为 ABC 外 一 点 ， 若 四 边 形 ABCD 的 内 角 B 与 D互 补 ， 且 AB 6 ， BC 4 ， CD 3 ， AD 1 ， 求 cos D 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f (x) ln x ax2 3x 的图象在点(1, f (1) 处的切线平行于x 轴（）求
8、实数 a 的值； （）求函数 f (x) 的极值19.(本 题 满 分 12 分 )如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ， AB 2 AD ， E 是 CD 的 中 点 ， 以 AE 为折痕把 ADE 折 起 ， 使 点 D 到 达 点 P 的 位 置 ， 且 PB PC ，如图 - 7 -（）求证：平面 PAE 平面 ABCE ； （）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值（）求数列 an ， bn 的通项公式；（）若 对 一 切 n N ， - 8 -1 1b1 b2 1bn恒成立，求实数 的最小值21.(本题满分 12 分)设函数 f (x) (x2 2x)1nx (a 1)x2 2
9、(1 a)x a .2（）讨论 f (x) 的单调性； （）当 a 2 时，讨论 f (x) 的零点个数.请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分.作 答 时 请 用 2B 铅 笔在 答 题 卡 上 将 所 选 题 号 后 的 方 框 涂 黑 。22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程- 9 -123.(本题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲已知不等式| x 2 | | 3x 1| 5 的解集为 a, b()求 a b 的值； ()若 x 0, y 0,4bx y a 0 ，求证： x
10、y 9xy 高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A C D B D D A B C B D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. e 14.2 15. 481016. ,)e三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17.(本 题 满 分 12 分 )解 ：（）3a sin C c cos A c- 10 -)正弦定理得3 sin Asin C sin C cos A sin C2 分 sin C 0 ， 所 以 整 理 得 sin(
11、 A 63 sin A cos A 1 123 分5 分 A (0, ) ， A 36 分（）因为四边形 ABCD 的内角 B 与 D 互补 cos B cos D .7分在 ACD 中，由余弦定理得 AC 2 AD2 CD2 2 AD CD cos D 10 6 cos D8分在 ABC 中，由余弦定理得 AC 2 AB2 BC 2 2 AB BC cos B 52 48 cos B.9分- 11 -由解得cos D 7918. (本 题 满 分 12 分 )解 ： （）依 题 意 得 f (x) 12ax3 x12 分2 分 f (1) 12a30，解得a1 5 分函数 f (x)的定义域
12、为( 0， )， 令 f (x) 0， 得x 1或x1 9分- 12 -故 函 数 f (x)的 极 小 值 为 f (1) 2， 极 大 值 为 12分19.(本 题 满 分 12分 )解 （ 1） 取 AE的 中 点 O， BC的 中 点 F， 连 接 PO， OF， PF。 1分由已知得，四边形 ABCE 是梯形，ABCE，ABBC OFAB， OFBC PB=PC， PFBC又 PF OF F ， BC平面POF .3 分BCPO由已知得 PA=PE，POAE又AE与BC相交 PO平面 ABCE.5 分 PO 平面 PAE， 平面 PAE平面 ABCD.6 分（2）建立空间直角坐标系
13、O xyz ，如图所示。设 AB 4 ，则- 13 -20. (本 题 满 分 12 分 )解 ： （ 1） - 14 -S 1 (an 4 n 1)2- 15 -21. (本 题 满 分 12 分 )解 :(I)f (x) 2(x 1) (1nx a)(x 0).1 分 当 a 0 时，f (x) 2(x 1)1nx ， 当 0 x 1时，f (x) 0 ，当 x 1 时，f (x) 0 ， 当 x 1 时，f (x) 0 . f (x) 在 (0, ) 递增 2 分- 16 - 当 a 0 时 ， 令 f (x) 0 ， 得 x 1, x e a ，此时 e a 1.1 2易知 f (x)
14、 在 (0, e a ) 递增， (e a ,1) 递减， (1, ) 递增 4分当 a 0 时， e a 1.易知 f (x) 在 (0,1) 递增， (1, e a ) 递减， (e a , ) 递增 6分()当 a 2 时，由(I)知 f (x) 在(0,1) 上递增， (1, e a ) 上递减， ( e a , ) 上递增，1 3且 f (1) a 2(1 a) a 0 ，2 2将 x e a 代入 f (x) ，得f (x) f (e a ) (x2 2x)( a) (a 1)x2 2(1 a) x a 2- 17 -32a 11 (x 2)2 a 22 a 2, f (e a )
15、 0 ， .8 分下面证明 当 x (0,1) 时存在 x0 ，使 f (x0 ) 0 .首先，由不等式1n x x 1 ，1n 1 1 1 1 x ，1n x 1 x ,1nx 1 x .x x x x x考虑到 x2 2x x(x 2) 0 ， f (x) (x2 2x)1nx (a 1 )x2 2(1 a)x a (x2 2x) 1 x (a 1 )x22 x 22(1 a) x a (a 1)(x 1) 2 3 .2 2再令 (a 1 )(x 1)2 3 0 ，可解出一个根为 x 1 ，2 2- 18 -由零点存在定理及 f (x) 在(0,1) 上的单调性，可知 f (x) 在(0,
16、1) 上有且只有一个零点. 由 f (1) 0, f (e a ) 0 ，及 f (x) 的单调性，可知 f (x) 在(1, e a ) 上有唯一零点.由 不 等 式 ex x 1 ， 则 e a a ( a 1) a 0 ， 即 f (x ) 0 . 根 据 零 点 存 在 定 理 及 函 数 单 调 性 知 f (x) 在 (e a , ) 有一个零点.综上可知， f (x) 当 a 2 时，共有 3个零点 .12分 x 122.(本题满分 10 分)解：()曲线 C 的参数方程为 y 1曲线 C 的普通方程为( x 1)2 ( y 1)2 2 x cos2 cos（ 为参数）2 sin
17、2 分将 y sin代入并化简得曲线 C 的极坐标方程为 2 cos 2sin5 分- 19 -3（）将 , 5 分别代入曲线 C 的极坐标方程 2 cos 2sin3 6得 到 | OA |3 1,| OB | 17 分又 AOB 15 6 3 21 S AOB 2 OA OB 2 (1) （ 1) 1即 AOB 的面积为1 .10分33- 20 - a b 05 分（）证明：由()知 4 x y 1 0 ，即 4 x y 1，且 x 0, y 0 x y 1 1 ( 1 1 )(4x y) 4x 1 4 y 2 5 9xy y x y x y x当且仅当 x 1 , y 1 时取“=” .9 分6 3 x y 9xy10 分4x y y x
