1、 题型二 规律探索题类型一 数式规律探索1. (15 张家界)任意大于 1 的正整数 m 的三次幂均可“分裂”成 m 个连续奇数的和，如：23=3+5，3 3=7+9+11，4 3=13+15+17+19,，按此规律，则 103分裂出的第一个奇数是( )A. 87 B. 89 C.91 D. 1012. (15 牡丹江)一列单项式： -x2,3x3,-5x4,7x5,按此规律排列，则第 7 个单项式为 .3. (15 安徽)按一定规律排列的一列数： 21，2 2，2 3，2 5，2 8，2 13，若 x、y、z 表示这列数中的连续三个数，猜测 x、y、z 满足的关系式是 .4. (15 东莞)
2、观察下列一组数： ；，根据该组数的排列规律，可以求出4;3579第 10 个数是 .5. (15 孝感)观察下列等式： 1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;,则1+3+5+7+2015 .6. (14 黔南州)已知 = =3, = =10， = 15，,观察以23C1354146C531上计算过程，寻找规律计算 = .87. (15 巴中)a 是不为 1 的数，我们把 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数为 =-1;-121 的差倒数是 = ；已知 a1=3,a2是 a1的差倒数，a 3是 a2的差倒数，a 4是 a3差倒数，()2依此类推，则 a2015= .8.
3、 (15 郴州)计算 + = .13579109. (15 铜仁)请看杨辉三角(1), 并观察下列等式(2)：根据前面各式的规律,则(a+b) 6=10. (16 原创)阅读材料：计算 S=1+2+22+23+210的方法如下：设 S=1+2+22+23+210，则 2S=2+22+23+24+211，将-得， 2SS=2 111，即 S=1+2+22+23+210=2111，请用上面的方法计算：1+2+2 2+23+24+22016.类型二 图形规律探索1. (15 绵阳)将一些相同的“ ”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“ ”的个数,若第 n 个“龟图”中有 245 个“ ”
4、,则 n=( )A. 14 B. 15 C. 16 D. 172. (14 荆州)如图，在第 1 个 A 1BC 中，B=30，A 1B=CB;在边 A1B 上任取一点 D,延长CA1到 A2,使 A1A2=A1D,得到第 2 个A 1A2D;在边 A2D 上任取一点 E,延长 A1A2到 A3，使A2A3=A2E,得到第 3 个A 2A3E,按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数是( )A. ( )n75 B. ( )n-165 C. ( )n-175 D. ( )n851112123. (15 益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第 1 个图案中
5、有 6 根小棒，第 2 个图案中有 11 根小棒，则第 n 个图案中有 根小棒.4. (15 云南省卷)如图，在ABC 中，BC=1，点 P1、M 1分别是 AB、AC 边的中点，点 P2、M 2分别是 AP1、AM 1的中点，点 P3、M 3分别是 AP2、AM 2的中点，按这样的规律下去，PnMn 的长为 (n 为正整数).5. (14 遵义)有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动 90算一次，则滚动第 2014 次后，骰子朝下一面的点数是 .6. (15 衡阳)如图，A 1B1A2，A 2B2A3，A 3B3A4,，A nBnAn+1都是等腰直角三角形，
6、其中点 A1，A 2,An，在 x 轴上，点 B1，B 2，B n在直线 y=x 上.已知 OA11，则 OA2015的长为 .7. (15 衢州)已知，正六边形 ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示，A(-2,0)，点 B 在原点，把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60，经过 2015次翻转之后，点 B 的坐标是 .8. (15 龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，点 A(0， )、B(-1，0)，过点 A 作 AB 的3垂线交 x 轴于点 A1，过点 A1作 AA1的垂线交 y 轴于点 A2，过点 A2作 A1A2的垂线交 x 轴于点A3，按此规
7、律继续作下去，直至得到点 A2015为止，则点 A2015坐标为 .9. (15 德州)如图，四边形 ABCD 中，ABCD，AD=DC=CB a，A=60，取 AB 的中点A1，连接 A1C，再分别取 A1C、BC 的中点 D1、C 1，连接 D1C1，得到四边形 A1BC1D1，如图；同样方法操作得到四边形 A2BC2D2；如图；，如此进行下去，则四边形 AnBCnDn的面积为 .类型一1.C 【解析】2 3的第一个数是 12+13；3 3的第一数是 23+17；4 3的第一数是34+113，则 103的第一数是 910+191.2. -13x8 【解析】由题意可知，每个单项式的系数是奇数
8、，且第奇数个单项式的系数为负，第偶数个单项式的系数为正，且每个单项式的系数的绝对值比序号的 2 倍少 1，x 的指数比序号大 1，即第 n 个单项式为：(-1) n(2n-1)xn+1，则第 7 个单项式为(-1) 7(27-1)x7+1-13x8.3. xy=z 【解析】观察这一列数可得：23=2122，2 5=2223，2 8=2325，2 13=2528，即从第三个数起每个数都等于前两个数之积 ，由 x、y、z 表示这列数中的连续三个数，则有 xy=z.4. 【解析】第 1 个数的分母是 12+1=3，第 2 个数的分母是 22+1=5，第 3 个数0的分母是 32+1=7，第 10 个
9、数的分母是 102+1=21；分数的分子是1、2、3，第 10 个数的分子是 10，第 10 个数是 .105. 10082 【解析】从前面几个等式可得，等式的左边有几个奇数，等式的右边就为几的平方，1 到 2015 一共有 =1008 个奇数，故为 10082.12056.56 【解析】 = =3, = 10, = =15,3C3541246C531 = =56.587641257. 【解析】a 1=3,a2是 a1 的差倒数，即 a2= =- ,a3是 a2的差倒数，即a3= = ，a 4是 a3差倒数，即 a4=3,a5= =- ，依此类推，120153=6712,a 2015=- .2
10、8. 【解析】 50111357190= ()()()2251()290= ）11= ()0= 21= 59. a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 【解析】通过观察可以看出(a+b) 6的展开式为6 次 7 项式,a 的次数按降幂排列,b 的次数按升幂排列,各项系数分别为 1,6,15,20,15,6,1,故答案为 a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.10. 解：设 S=1+2+22+23+24+22016 ，将等式两边同时乘以 2 得：2S=2+22+23+24+22016+22017 ,将-得，2S-S=2 201
11、7-1，即 S=1+2+22+23+24+22016=22017-1.类型二 1. 【解析】设每一个图形中“”的个数为 an，则根据图形变化具体分析见下表:由表知，这组图的变化规律为 5+n(n-1)，第 n 个图有 245 个“” ，5+n(n-1)=245，解得 n=16 或 n=-15(舍去)，故 n=16.2. C 【解析】在CBA 1中，B=30，A 1B=CB,BA1C 75，180- 2BA 1A2=A1D,BA 1C 是A 1A2D 的外角，DA 2A1= BA 1C 75；同理可得：EA 3A2( )275，FA 4A3( )375，第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度
12、数是( )n-175.3.5n+1 【解析】第 1 个图案中有 15+16 根小棒，第 2 个图案中有 25+2-111 根小棒，第 3 个图案中有 35+3-216 根小棒，第 n 个图案中有 5n+n-(n-1)=5n+1 根小棒.4. 【解析】在ABC 中， BC=1，P 1、M 1分别是 AB、AC 的中点，P 1M1= BC= ,按照12 2题设给定的规律，列表如下：5.3 【解析】观察图形可知,点数 3 与 4 相对,点数 2 与 5 相对且循环周期为 4. 20144=503 余 2,滚动 2014 次后与第二次相同,骰子朝下一面的点数为 3.6. 22014 【解析】OA 1B
13、1，OA 2B2，OA 3B3是等腰直角三角形，且A1B1=OA1=1，A 2B2=2A1B1=2，A 3B3=2A2B2=22，A 4B4=2A3B3=23，AnBn=2 n-1,A 2015B2015=22015-1=22014，OA 2015=A2015B2015=22014.7.(4031, ) 【解析】在正六边形翻转过程中，点 B 翻转时每经过六次翻转就重新落在3x 轴上，正六边形每翻转六次称为一个翻转周期，在一个翻转周期内点 B 平移的距离为12 个单位，一个单位长为 1，又20156=3355，所以 2015 次翻转实际上是 335 个翻转周期零 5 次，因为第 5 次翻转时 B
14、 点的坐标为(11， )，所以 2015 次翻转后 B 点的坐3标为(33512+11， ),即(4031， ).338. (-31008，0) 【解析】A(0, ),B(-1,0),OA= ，OB=1,则可得 tanOAB= =OA,OAB=30,由已知易证OA 1A=OA 2A1=OA 3A2=30,OA 1= = =3=( 3 tan30)2， OA2= = =3 =( )3，OA 3= = =9=( )4，由上31OAtan30 2Otan03可知，OAn=( )n+1,OA 2015=( )2015+1=31008,20154=5033 ，点 A2015在 x 轴负半轴上，A 2015(-31008，0).9. 【解析】先求得题图四边形 ABCD 的面积为 ，题图中，D 1，C 1分2134na 234a别为 A1C，BC 的中点，S 四边形 A1BC1D134S A1BC ，S A1BC = S 四边形 ABCD，S 四边形 A1BC1D1= 1S 四边形 ABCD，即 S 四边形 A1BCD1= = ,S 四边形 A2BC2D2= ,由此规律即41423a24234a可得出 AnBCnDn的面积为 .21n
