1、浙江省 11 市 2015 年中考数学试题分类解析汇编（20 专题）专题 19：综合型问题江苏泰州鸣午数学工作室 编辑1. （2015 年浙江杭州 3 分） 如图，已知点 A，B ，C，D，E，F 是边长为 1 的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 3的线段的概率为【 】A. 14 B. 25 C. 23 D. 59【答案】B.【考点】概率；正六边形的性质.【分析】根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，如答图，正六边形的顶点，连接任意两点可得 15 条线段，其中 6
2、条的连长度为 3：AC 、AE、BD、 BF、CE 、DF，所求概率为 6215.故选 B.2. （2015 年浙江嘉兴 4 分） 如图，抛物线 21yxm交 x轴于点 A（ a，0）和 B（ b， 0） ，交y轴于点 C，抛物线的顶点为 D.下列四个命题：当 0时， y；若 1，则 4；抛物线上有两点 P（ 1x， y）和 Q（ 2x， y） ，若 12y；点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 轴和 轴上，当 m时，四边形 EDFG 周长的最小值为 62. 其中真命题的序号是【 】A. B. C. D. 【答案】C.【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点
3、的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题） ；勾股定理. 【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：从图象可知当 0xb时， 0x时， y”不是真命题；抛物线 21ym的对称轴为 21，点 A 和 B 关于轴对称，若 1a，则3b，故命题 “若 1a，则 4b”不是真命题；故抛物线上两点 P（ 1x， y）和 Q（ 2x， y）有 12x， 21x，又抛物线 2m的对称轴为 ， y，故命题“抛物线上有两点 P（1， y）和 Q（ 2x， y） ，若 12x，则 12” 是真命题；如答图，作点 E 关于 轴的对称点 M，作点 D 关于 y轴的对称点N，连接 MN，ME 和
4、ND 的延长线交于点 P，则 MN 与 x轴和 轴的交点G，F 即为使四边形 EDFG 周长最小的点 . 2m， 3yx的顶点 D 的坐标为（1，4） ，点 C 的坐标为（0，3）.点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 E 的坐标为（2，3）.点 M 的坐标为 2,3 ，点 N 的坐标为 1,4 ，点 P 的坐标为（2，4）. 21,758DE.当 2m时，四边形 EDFG 周长的最小值为 258DEMN.故命题“点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 x轴和 y轴上，当 2m时，四边形 EDFG 周长的最小值为 62” 不是真命题. 综上所述，真命题的序号是.故选
5、C.3. （2015 年浙江宁波 4 分）二次函数 的图象在 20aaa 的值为 1.故选 A.4. （2015 年浙江衢州 3 分）如图，已知等腰 ,ABC ，以 AB为直径的圆交 AC于点 D，过点D的 Oe的切线交 BC于点 E，若 5,4DE，则 Oe的半径是【 】A. 3 B. 4 C. 256 D. 258【答案】D【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用【分析】如答图，连接 OD，过点 B作 FOD于点 ， ABC， . ， A. CA. /BC. E是 e的切线， E. . 90D，且四边形 DBF是矩形. 5,4C ，
6、由勾股定理，得 3.设 Oe的半径是 x，则 ,3, 24BFBExx.由勾股定理，得 2OF，即 23，解得 58x. Oe的半径是 58.故选 D5. （ 2015 年浙江温州 4 分） 如图，点 A 的坐标是（2，0 ） ， ABO 是等边三角形，点 B 在第一象限. 若反比例函数 的图象经过点 B，则 的值是【 】xkykA. 1 B. 2 C. 3 D. 32【答案】C.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；等边三角形的性质；勾股定理.【分析】如答图，过点 B 作 BD 于点 D，x点 A 的坐标是（2，0） ，ABO 是等边三角形，OB=OA=2，OD=1.由勾股定
7、理得，BD= .3点 B 在第一象限，点 B 的坐标是 .1, 反比例函数 的图象经过点 B， .kyx33k故选 C.6. （2015 年浙江温州 4 分） 如图，C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，连结 AC，BC ，分别以 AC，BC 为边向外作正方形 ACDE，BCFG，DE ，FG， 的中点分别是 M，N，P，Q. 若ABC ，MP+NQ=14，AC+BC=18，则 AB 的长是【 】A. 29 B. 790 C. 13 D. 16【答案】C.【考点】正方形的性质；垂径定理；梯形的中位线定理；方程思想、转换思想和整体思想的应用.【分析】如答图，连接 OP、OQ，DE，FG ，
8、的中点分别是 M，N ，P，Q ，ACB ，点 O、P、M 三点共线，点 O、Q 、N 三点共线.ACDE，BCFG 是正方形，AE=CD=AC，BG=CF=BC.设 AB= ，则 .2r,Prr 点 O、M 分别是 AB、ED 的中点，OM 是梯形 ABDE 的中位线. ，即 .111222OMAEBDCBACB12MPrACB同理，得 .NQrA两式相加，得 32Pr.MP+NQ=14，AC+BC=18， .148213rr故选 C.7. （2015 年浙江舟山 3 分） 如图，抛物线 2yxm交 x轴于点 A（ a，0）和 B（ b， 0） ，交y轴于点 C，抛物线的顶点为 D.下列四个
9、命题：当 0时， y；若 1，则 4；抛物线上有两点 P（ 1x， y）和 Q（ 2x， y） ，若 12y；点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 轴和 轴上，当 m时，四边形 EDFG 周长的最小值为 62. 其中真命题的序号是【 】A. B. C. D. 【答案】C.【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短线路问题） ；勾股定理. 【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断：从图象可知当 0xb时， 0x时， y”不是真命题；抛物线 21ym的对称轴为 21，点 A 和 B关于轴对称，若 1a，则 3b
10、，故命题“若 a，则 4b”不是真命题；故抛物线上两点 P（ 1x， y）和 Q（ 2x， y）有 12x， 21x，又抛物线 m的对称轴为 ， 12y，故命题“抛物线上有两点 P（ 1x， y）和 Q（ 2x， y） ，若 12x，则 12y”是真命题；如答图，作点 E 关于 轴的对称点 M，作点 D 关于 轴的对称点 N，连接 MN，ME 和 ND 的延长线交于点 P，则 MN 与 x轴和 y轴的交点 G，F 即为使四边形 EDFG 周长最小的点. 2m， 3y的顶点 D 的坐标为（1，4） ，点 C 的坐标为（0，3）.点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 E 的坐标为（2，3）.
11、点 M 的坐标为 2, ，点 N 的坐标为 1,4 ，点 P 的坐标为（2，4）. 21,3758DE.当 2m时，四边形 EDFG 周长的最小值为 258DEMN.故命题“点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 x轴和 y轴上，当 2m时，四边形 EDFG 周长的最小值为 6” 不是真命题. 综上所述，真命题的序号是.故选 C.1. （2015 年浙江杭州 4 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点 P(1，t )在反比例函数 2yx的图象上，过点 P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，满足 QP=OP，若反比例函数 kyx的图象经过点 Q，则k=
12、 【答案】 25或 2【考点】反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用.【分析】点 P(1，t) 在反比例函数 2yx的图象上， 21t.P(1 ，2).OP= 5.过点 P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Q 在直线 l 上，满足 QP=OP，Q 1,2 或 Q15,2 .反比例函数 kyx的图象经过点 Q，当 Q15,2 时， 1525；Q 1,2 时， 1525k.2. （2015 年浙江湖州 4 分）已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1，以 A1C1 为边向右作正方形A1C1C2D2，延长 C2D2 到 A2，以 A2C2 为边
13、向右作正方形 A2C2C3D3(如图所示) ，以此类推，若 A1C1=2，且点A，D 2， D3，D 10 都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10 的边长是 【答案】8732.【考点】探索规律题（图形的变化） ；正方形的性质；相似三角形的判定和性质.【分析】如答图，设 AD10 与 A1C1 相交于点 E，则 121DE ， 12D.设 1Ax，AD 1=1，A 1C1=2， 211,AEx . 23x.易得 12DE ， 2132DA.设 32Ay，则 2y， 3y即2123CDA.同理可得，31414522,C 正方形 A9C9C10D10 的边长是981073C.3. （2015
14、 年浙江嘉兴 5 分） 如图，在直角坐标系 xOy中，已知点 A（0，1） ，点 P 在线段 OA 上，以 AP 为半径的P 周长为 1. 点 M 从 A 开始沿P 按逆时针方向转动，射线 AM 交 x轴于点 N（ n，0）. 设点 M 转过的路程为 m（ 01）.（1）当 4时， n= ；（2）随着点 M 的转动，当 从 3变化到 2时，点 N 相应移动的路径长为 【答案】 （1） ；（2） 3.【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等腰直角三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质；含30 度直角三角形的性质.【分析】 （1）当 4m时， 09APM， 045NAO.A（0，1） ， 1
15、O. n.（2）以 AP 为半径的P 周长为 1，当 从 3变化到 2时，点 M 转动的圆心角为 120，即圆周角为60.根据对称性，当点 M 转动的圆心角为 120时，点 N 相应移动的路径起点和终点关于 y轴对称.此时构成等边三角形，且 03OAN. 点 A（0，1） ，即 OA=1， 1.当 m从 3变化到 2时，点 N 相应移动的路径长为 32.4. （2015 年浙江金华 4 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OBCD 的边 OB 在 轴正半轴上，反比例函x数 的图象经过该菱形对角线的交点 A，且与边 BC 交于点 F. 若点 D 的坐标为（6，8），则点ky(x0)F 的坐标是
16、【答案】 .8123 ，【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；菱形的性质；中点坐标；方程思想的应用.【分析】菱形 OBCD 的边 OB 在 轴正半轴上，点 D 的坐标为（6，8），x .点 B 的坐标为（10，0），点 C 的坐标为（16，8）.2ODC681菱形的对角线的交点为点 A，点 A 的坐标为（8，4） .反比例函数 的图象经过点 A， .ky(x0)k432反比例函数为 .32设直线 的解析式为 ， .BCymxnm16n83040直线 的解析式为 .43联立 .40x12y382y点 F 的坐标是 .13 ，5. （2015 年浙江丽水 4 分）
17、 如图，反比例函数 的图象经过点（-1， ） ，点 A 是该图象第一象xky2限分支上的动点，连结 AO 并延长交另一支于点 B，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，顶点 C 在第四象限，AC 与 x轴交于点 P，连结 BP.（1） k的值为 .（2）在点 A 运动过程中，当 BP 平分ABC 时，点 C 的坐标是 .【答案】 （1） ；（2） （2， ）.k【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.【分析】 （1）反比例函数 的图象经过点（-1， ） ，kyx2 .22（2）如答图
18、 1，过点 P 作 PMAB 于点 M，过 B 点作 BN轴于点 N，x设 ，则 .2,Ax 2,Bx - .28BxABC 是等腰直角三角形， ，BAC=45.28BCAxBP 平分ABC， . .PMS 28MBCx . .28AMBx2PAx又 ，28Ox.21Bx易证 ， .ONPM ONBP由 得， ，ONBMP22881xx解得 .2x ， .,A ,2B-如答图 2，过点 C 作 EF 轴，过点 A 作 AFEF 于点 F，过 B 点作 BEEF 于点 E，x易知， ，设 .EAFHL CEy又 ，3,2By 根据勾股定理，得 ，即 .2B223y ，解得 或 （舍去）.20yy
19、y由 ， 可得 .,A 2,-2,C 6. （2015 年浙江绍兴 5 分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1 的正方形 ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（ a， ） .如图，若曲线 3(0)yx与此正方形的边有交点，则 a的取值范围是 【答案】 31a.【考点】反比例函数的性质；正方形的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】根据题意，当点 A 在曲线 3(0)yx上时， a取得最大值；当点 C 在曲线 3(0)yx上时，a取得最小值.当点 A 在曲线 ()x上时， 23（舍去负值）.当点 C 在曲线 3(0)yx上时，易得 C 点的坐标为
20、1a， ， 211133aaa（舍去负值）.若曲线 ()yx与正方形的边有 ABCD 交点， 的取值范围是 13a.7. （2015 年浙江义乌 4 分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1 的正方形 ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（ a， ） .如图，若曲线 3(0)yx与此正方形的边有交点，则 的取值范围是 【答案】 31a.【考点】反比例函数的性质；正方形的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】根据题意，当点 A 在曲线 3(0)yx上时， a取得最大值；当点 C 在曲线 3(0)yx上时，a取得最小值.当点 A 在曲线 ()x上时，
21、23（舍去负值）.当点 C 在曲线 30y上时，易得 C 点的坐标为 1a， ， 2111aaa（舍去负值）.若曲线 ()yx与正方形的边有 ABCD 交点， 的取值范围是 31a.8. （2015 年浙江舟山 4 分） 如图，在直角坐标系 xOy中，已知点 A（0，1） ，点 P 在线段 OA 上，以 AP 为半径的P 周长为 1. 点 M 从 A 开始沿P 按逆时针方向转动，射线 AM 交 x轴于点 N（ n，0）. 设点 M 转过的路程为 m（ 01）. 随着点 M 的转动，当 m从 13变化到 2时，点 N 相应移动的路径长为 【答案】 23.【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等
22、边三角形的判定和性质；含 30 度直角三角形的性质.【分析】以 AP 为半径的P 周长为 1，当 m从 13变化到 2时，点 M 转动的圆心角为 120，即圆周角为 60.根据对称性，当点 M 转动的圆心角为 120时，点 N 相应移动的路径起点和终点关于 y轴对称.此时构成等边三角形，且 03OAN. 点 A（0，1） ，即 OA=1， 1.当 m从 3变化到 2时，点 N 相应移动的路径长为 32.1. （2015 年浙江杭州 12 分）方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀速前往 N 地，设乙行驶的时间为 t(h)，甲乙两人之间的距离为 y(km)，y 与
23、t 的函数关系如图 1 所示，方成思考后发现了图 1 的部分正确信息，乙先出发 1h，甲出发 0.5 小时与乙相遇，请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段 BC，CD 所在直线的函数表达式；（2）当 20y30 时，求 t 的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程 S 甲 、S 乙 与时间 t 的函数表达式，并在图 2 所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从 N 地沿同一条公路匀速前往 M 地，若丙经过 h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇.图2图1 t(h)y(km)103 731.54OACDB 110S(km) t(h)【答案】解：（1）设
24、线段 BC 所在直线的函数表达式为 1yktb， 3710,23BC ，10273kb，解得 1406k.线段 BC 所在直线的函数表达式为 406yt.设线段 CD 所在直线的函数表达式为 2kb， 710,43CD ， 21703kb，解得 208k.线段 BC 所在直线的函数表达式为 0yt.（2）线段 OA 所在直线的函数表达式为 21，点 A 的纵坐标为 20.当 03y时，即 204630t或 803t，解得 924t或 5t.当 03y时， t 的取值范围为 924t或 53t.（3） 61St甲 ， 01S乙 .所画图形如答图：（4）当 3t0 时， 803S乙 ，丙距 M 地
25、的路程 丙 与时间 t的函数关系式为 4082Stt丙 .联立 6048St，解得 6013Stt甲 与 tt丙 图象交点的横坐标为 75，丙出发后 75h与甲相遇.【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；解方程组和不等式组；分类思想的应用.【分析】 （1）应用待定系数法即可求得线段 BC，CD 所在直线的函数表达式.（2）求出点 A 的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可.（3）求函数表达式画图即可.（4）求出 S丙 与时间 t的函数关系式，与 6013Stt甲 联立求解.2. （2015 年浙江嘉兴 12 分）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在
26、15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 6 元. 为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 x天生产的粽子数量为 y只， 与x满足如下关系式： 503125xyx.（1）李明第几天生产的粽子数量为 420 只？（2）如图，设第 x天每只粽子的成本是 p元， 与 x之间的关系可用图中的函数图象来刻画. 若李明第 x天创造的利润为 w元，求 与 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元（利润=出厂价-成本）？【答案】解：（1）设李明第 n天生产的粽子数量为 420 只，根据题意，得 301240，解得 .答：李明第 10 天生产的粽子数量为 420 只.（2）由图象可
27、知，当 09x时， 41p；当 915x时，设 kb，把点（9，4.1） ， （15，4.7）代入止式，得 94.157kb，解得 0.132kb. 0.132px. 5时， 64.1502.6wx，当 5x时， 513w最 大 （元） ； 9x时， .378， 是整数，当 8x时， 684最 大 （元） ； 915x时， 2260.1321037631768wxxx， 30，当 时， 768最 大 （元）.综上所述， w与 x之间的函数表达式为210.65578931xwx，第 12 天的利润最大，最大值是 768 元.【考点】一元一次方程、一次函数和二次函数的综合应用；分类思想的应用.【分
28、析】 （1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解. 本题设李明第 n天生产的粽子数量为420 只，等量关系为：“第 n天生产的粽子数量等于 420 只”.（2）先求出 p与 x之间的关系式，分 05x， 9， 15x三种情况求解即可.3. （2015 年浙江金华 10 分）图 1，图 2 为同一长方体房间的示意图，图 2 为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点 处苍蝇在顶点 B 处时，试在图 1 中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；苍蝇A在顶点 C 处时，图 2 中画出了蜘蛛捉住苍 蝇的两条路线，往天花板 ABCD 爬行的最近路线 和往墙面AGC爬行的最近路线 ，试通过计算
29、判断哪条路线更近？B HC（2）在图 3 中，半径为 10dm 的M 与 相切，圆心 M 到边 的距离为 15dm，蜘蛛 P 在线段 AB 上，D C苍蝇 Q 在M 的圆周上，线段 PQ 为蜘蛛爬行路线。若 PQ 与M 相切，试求 PQ 的长度的范围.【答案】解：（1）如答图 1，连结 ，线段 就是所求作的最近路线.AB两种爬行路线如答图 2 所示，由题意可得：在 Rt ACC2 中， AHC2= (dm)；222AC703580在 Rt ABC1 中， AGC1= (dm)1B46CBAA BEF ，路线 AGC1 更近.580（2）如答图，连接 MQ，PQ 为M 的切线，点 Q 为切点，M
30、QPQ.在 RtPQM 中，有 PQ2=PM2QM 2= PM2100，当 MP AB 时,MP 最短，PQ 取得最小值，如答图 3,此时 MP=30+20=50，PQ= (dm).22PMQ5016当点 P 与点 A 重合时, MP 最长，PQ 取得最大值，如答图 4,过点 M 作 MNAB ，垂足为 N，由题意可得 PN=25，MN=50，在 RtPMN 中， .222PAM50在 RtPQM 中，PQ=(dm).222PQ5015综上所述， 长度的取值范围是 .PQ206dmPQ5d【考点】长方体的表面展开图；双动点问题；线段、垂直线段最短的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理.【分析】
31、（1）根据两点之间线段最短的性质作答.根据勾股定理，计算两种爬行路线的长，比较即可得到结论.（2）当 MP AB 时,MP 最短，PQ 取得最小值；当点 P 与点 A 重合时, MP 最长，PQ 取得最大值.求出这两种情况时的 PQ 长即可得出结论.4. （2015 年浙江金华 12 分）如图，抛物线 与 轴交于点 A，与 轴交于点 B，C 两点2yaxc(0)yx（点 C 在 x轴正半轴上），ABC 为等腰直角三角形，且面积为 4. 现将抛物线沿 BA 方向平移，平移后的抛物线经过点 C 时，与 轴的另一交点为 E，其顶点为 F，对称轴与 轴的交点为 H.x x（1）求 ， 的值；ac（2）
32、连结 OF，试判断OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点 Q 放在射线 AF 或射线 HF 上，一直角边始终过点 E，另一直角边与y轴相交于点 P，是否存在这样的点 Q，使以点 P，Q ，E 为顶点的三角形与POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .【答案】解：（1）ABC 为等腰直角三角形，OA= BC.12又ABC 的面积= BCOA=4，即 =4，OA=2. 12OAA ，B ，C .0（ ， ） 0（ ， ） （ ， ） ，解得 .c24a1a2c .1,2 （2）OEF 是等腰三角形. 理由如下：如答图 1，A ，B ，0（
33、， ） 0（ ， ）直线 AB 的函数表达式为 ，yx2又平移后的抛物线顶点 F 在射线 BA 上，设顶点 F 的坐标为（m ，m+2 ）.平移后的抛物线函数表达式为 .21y(xm)抛物线过点 C ，20（ ， ） ，解得 .1(m)120(6舍 去 ） ，平移后的抛物线函数表达式为 ，即 yx)8221yx0当 y=0 时， ，解得 .2x612,0E（10，0），OE=10.又 F（6，8），OH=6 ，FH=8. ， ，22OH681022EFH845OE=OF，即OEF 为等腰三角形.（3）存在. 点 Q 的位置分两种情形：情形一：点 Q 在射线 HF 上，当点 P 在 轴上方时，如
34、答图 2.xPQE POE， QE=OE=10.在 RtQHE 中， ,22HE104Q .(6,21)当点 P 在 x轴下方时，如答图 3，有 PQ=OE=10,过 P 点作 于点 K，则有 PK=6.F在 RtPQK 中， ,22PQ1068 ， .E90HE9 ， .H又 ， .PKQPKQ ， 即 ，解得 .E6843Q .63，情形二：点 Q 在射线 AF 上，当 PQ=OE=10 时，如答图 4，有 QE=PO,四边形 POEQ 为矩形，Q 的横坐标为 10.当 时， ， Q .x10yx21(0,12)当 QE=OE=10 时，如答图 5.过 Q 作 轴于点 M，过 E 点作 x
35、 轴的垂线交 QM 于点 N，设 Q 的坐标为 ， .(x,2) ,10,Ex2 在 中，有 , RtEN2QN即 ，解得 .2210()()x4当 时，如答图 5， ，Q .x4y261(41,64) 当 时，如答图 6， ， .综上所述，存在点 Q 或 或 或 或(6,21) 3， (10,2) (41,64) ，使以 P,Q,E 三点为顶点的三角形与 POE 全等.(41,64) 【考点】二次函数综合题；线动平移和全等三角形存在性问题；等腰直角三角形的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.【
36、分析】 （1）由ABC 为等腰直角三角形求得点 A、B、C 的坐标，应用待定系数法即可求得 ， 的值.ac（2）求得平移后的抛物线解析式，从而求得点 E、F 的坐标，应用勾股定理分别求出 OE、OF、EF的长，从而得出结论.（3）分点 Q 在射线 HF 上和点 Q 在射线 AF 上两种情况讨论即可.5. （2015 年浙江丽水 8 分）某运动品牌对第一季度 A、B 两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：（1）一月份 B 款运动鞋的销售量是 A 款的 ，则一月份 B 款运动鞋销售了多少双？45（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=
37、销售单价销售量）；（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。【答案】解：（1） ，450一月份 B 款运动鞋销售了 40 双.（2）设 A、B 两款运动鞋的销售单价分别为 元，,xy 则根据题意，得 ，解得 .504062xy405三月份的总销售额为 （元）.5239（3）答案不唯一，如：从销售量来看，A 款运动鞋销售量逐月上升，比 B 款运动鞋销售量大，建议多进 A 款运动鞋，少进或不进 B 款运动鞋 .从总销售额来看，由于 B 款运动鞋销售量逐月减少，导致总销售额减少，建议采取一些促销手段，增加 B 款运动鞋的销售量 .【考点】开放型；代数和统计的综合
38、题；条形统计图和折线统计图； 二元一次方程组的应用.【分析】 （1）根据条形统计图 A 款运动鞋的销售量和 B 款运动鞋的销售量是 A 款的 即可列式求解.45（2）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解.本题设 A、B 两款运动鞋的销售单价分别为 元，等量关系为：“一月份 A、B 两款运动鞋的总销售额 40000 元”和“二月份,xy A、B 两款运动鞋的总销售额 50000 元”.（3）答案不唯一，合理即可.6. （2015 年浙江宁波 12 分）如图 1，点 P 为MON 的平分线上一点，以 P 为顶点的角的两边分别与射线OM，ON 交于 A，B 两点，如果APB 绕
39、点 P 旋转时始终满足 2OBA，我们就把APB 叫做MON 的智慧角.（1）如图 2，已知MON=90，点 P 为MON 的平分线上一点，以点 P 为顶点的角的两边分别与射线OM，ON 交于 A，B 两点，且APB=135. 求证：APB 是MON 的智慧角；（2）如图 1，已知MON= （0 90），OP=2 ，若APB 是MON 的智慧角，连结 AB，用含的式子分别表示APB 的度数和AOB 的面积；（3）如图 3，C 是函数 )(3xy图象上的一个动点，过点 C 的直线 CD 分别交 x轴和 y轴于点 A，B两点，且满足 BC=2CA，请求出AOB 的智慧角APB 的顶点 P 的坐标.
40、【答案】解：（1）证明：MON =90，点 P 为MON 的平分线上一点， .1452AOPBMON ， .80A 135APO ， . .13513PBPB . ，即 .APB O2APB 是MON 的智慧角.（2）APB 是MON 的智慧角， ，即 .2OPABP点 P 为MON 的平分线上一点， .12 . .AB OAPB .1802PA如答图 1，过点 A 作 AHOB 于点 H， .2111sinsin22AOBSHOBAP ， .PsiAB（3）设点 ，则 .如答图，过 C 点作 CHOA 于点 H.,Cab 3i）当点 B 在 轴的正半轴时，y如答图 2，当点 A 在 轴的负半
41、轴时， 不可能.x2BA如答图 3，当点 A 在 轴的正半轴时， ， .BC13B ， . . .HOO 13CHAB3,2OBbAa .927AabAPB 是AOB 的智慧角， .276PAAOB= 90，OP 平分AOB，点 P 的坐标为 .3,2 ii）当点 B 在 轴的负半轴时，如答图 4y ， .2CACAOB= AHC= 90，BAO=CAH， .ACHBO . .1,2OBHba 132OabAPB 是AOB 的智慧角， .6PAOB= 90，OP 平分AOB，点 P 的坐标为 .3,2 -综上所述，点 P 的坐标为 或 .3,2 ,【考点】新定义和阅读理解型问题；单动点和旋转问
42、题；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.【分析】 （1）通过证明 ，即可得到 ，从而证得APB 是MON 的智慧角.AOPB 2OPAB（2）根据 得出结果.2111sinsin22BSH（3）分点 B 在 轴的正半轴，点 B 在 轴的负半轴两种情况讨论.yy7. （2015 年浙江宁波 14 分）如图，在平面直角坐标系中，点 M 是第一象限内一点，过 M 的直线分别交x轴， y轴的正半轴于 A，B 两点，且 M 是 AB 的中点. 以 OM 为直径的P 分别交 x轴， y轴于 C，D 两点，交直线 AB 于点 E（位于点 M
43、 右下方），连结 DE 交 OM 于点 K.（1）若点 M 的坐标为（3， 4），求 A，B 两点的坐标； 求 ME 的长；（2）若 KO，求OBA 的度数；（3）设 xBAtan（0 1）， yKO，直接写出 y关于 x的函数解析式.【答案】解：（1）如答图，连接 ，,DMC 是P 的直径， .O90O ， ， .90ABAB点 M 是 AB 的中点，点 D 是 AB 的中点，点 C 是 OA 的中点.点 M 的坐标为（3，4）， .28,26OBAD 点 B 的坐标为（0，8），点 A 的坐标为（6，0）.在 中， ，Rt,8OB由勾股定理，得 .1点 M 是 AB 的中点， .52MA
44、， ， . .BOEDBEDOBED BMOE . .486.5 6.451（2）如答图，连接 ，P ， . .3KM,4OKM PK ， 是 的中位线. .,BDBODBMPKE又 . . .PEEAS E 是P 的直径， . .OcosPK ， . .2DM1cos2DPK60,30DO 在 中，点 M 是 AB 的中点， . .RtABBMBAM（3） 关于 的函数解析式为 .yx21yx【考点】圆的综合题；圆周角定理；平行的性质；点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定和性质；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰三角形的性质；由实际问题列函数
45、关系式；方程思想的应用.【分析】 （1）连接 ，由三角形中位线定理求得 A，B 两点的坐标.,DMC 要求 ME 的长，由 知只要求出 和 的长即可， 的长可由 长的EBMEMBA一半求得，而 长可由勾股定理求得； 的长可由 的对应边成比例列式求得.ABOD（2）连接 ，求得 得到 ，由 得到DPKEMAS DKE2PME，即 因此求得 .1cosK60,30OB（3）如答图，连接 ，C 是P 的直径， .OM90NE （0 1），不妨设 ，tanBAx1B在 中， .REtanOAx设 ，则 .mMm在 中， ， .tO221x21 ., 4MEDPB ， .DPK 221xKME .222131xxM点 P 是 MO 的中点， .2OPKx .22231xOKy 关于 的函数解析式为 .x2yx8. （
